【原创二轮精品】上海市17区县2013届高三一模(数学理科)分类汇编:专题八 数列

专题八 数列

2013 年 2 月
(杨浦区 2013 届高三一模 理科)18. 已知数列?an? 是各项均为正数且公比不等于1的等比

数列( n?N* ). 对于函数 y ? f (x) ,若数列?ln f (an )?为等差数列,则称函数 f (x) 为

“保比差数列函数”. 现有定义在 (0, ??) 上的如下函数:① f (x) ? 1 , ② f (x) ? x2 , x

③ f (x) ? ex ,

④ f (x) ? x , 则 为 “ 保 比 差 数 列 函 数 ” 的 所 有 序 号



………( )

( A) ①②. (B) ③④. (C) ①②④. (D) ②③④ .

18. (C) .

(浦东新区 2013 届高三一模 理科)17.若 x1 ,x2 ,x3 , ,x2013 的方差为 3 ,则 3( x1 ?2) ,

3 (x2 ? 2) , 3 (x3 ? 2), , 3 (x2013 ? 2) 的方差为 ( D )

( A) 3

(B) 9

(C) 18

(D) 27

(黄浦区 2013 届高三一模 理科)3. 若数列 {an} 的通项公式为 an ? 2n ?1(n ? N*) ,则

lim a1 ? a2 ? ? an ?

.3. 1 ;

n→?

nan

2

(虹口区

2013

届高三一模)18、数列{an }

满足

an

?

?n, ? ?ak

,

当n ? 2k ?1 ,其中 k ? N ? ,设
当n ? 2k

f (n) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n ,则 f (2013) ? f (2012) 等于(

).

A. 22012

B. 22013

C. 42012

D. 42013

18、C;

(杨浦区 2013 届高三一模 理科)8. 设数列{an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程

4x2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则数列{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.8.

2013;

(奉贤区 2013 届高三一模)17、(理)已知 Sn 是等差数列{an}(n? N*) 的前 n 项和,且

S6 ? S7 ? S5 ,有下列四个命题,假.命.题.的是(



A.公差 d ? 0 ; C.满 足 S n ? 0 的 n 的个数有 11 个;

B.在所有 S n ? 0 中, S13 最大;

D. a ? a ; 6

7

[来源:Z_xx_k.Com]

17. 理 C

(奉贤区 2013 届高三一模)17、(文)已知 Sn 是等差数列{an}(n? N*) 的前 n 项和,且

S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列结论错误的是 (



A. S 6 和 S 7 均为 S n 的最大值.

B. a7 ? 0 ;

C.公差 d ? 0 ;

D. S9 ? S5 ;

文D

(金山区 2013 届高三一模)10.A、B、C 三所学校共有高三学生 1500 人,且 A、B、C 三

所学校的高三学生人数成等差数列,在一次联考后,准备用分层抽样的方法从所有高三学

生中抽取容量为 120 的样本,进行成绩分析,则应从 B 校学生中抽取_________人. 10.40

(松江区 2013 届高三一模 理科)5.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ,则 a3 ?

▲ .5. 5

(奉贤区

2013

届高三一模)14、(理)设函数

f

(x)

?

2x

? cos

x

,{an

}

是公差为

? 8

的等差

数列, f (a1) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a5 ) ? 5? ,则[ f (a3 )]2 ? a1a5 ?

.14.理 13 ? 2 16

? ? (浦东新区 2013 届高三一模 理科)7.等差数列 an 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的

前13 项和 S13 ? 52

.

( 浦 东 新 区 2013 届 高 三 一 模 理 科 ) 14 . 1, 2, , n 共 有 n! 种 排 列 a1, a2 , , an ( n ? 2, n ? N ? ),其中满足“对所有 k ? 1, 2, , n

都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有 2 ?3n?2 种.
(嘉定区 2013 届高三一模 理科)13.观察下列算式:
13 ? 1 , 23 ? 3 ? 5 ,

33 ? 7 ? 9 ?11, 43 ? 13 ?15 ?17 ?19 ,
…………
若某数 m3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ 2013”这个数,则 m ? _______.13.45

(嘉定区 2013 届高三一模 理科)5.在等差数列{an } 中,a1 ? ?10 ,从第 9 项开始为正数,

则公差 d 的取值范围是__________________.

5. ?? ?

5 4

,

10 7

? ??

(嘉定区 2013 届高三一模 理科)4.一组数据 8 , 9 , x ,11,12 的平均数是10 ,则这

组数据的方差是_________.

4. 2

(金山区 2013 届高三一模)14.若实数 a、b、c 成等差数列,点 P(–1, 0)在动直线 l:ax+by+c=0

上的射影为 M,点 N(0, 3),则线段 MN 长度的最小值是

. 14. 4 ? 2

(虹口区 2013 届高三一模)9、在等比数列 ?an? 中,已知 a1a2 ? 32 , a3a4 ? 2 ,则

nli?m?(a1 ? a2 ? ?? an ) ?

. 9、 ?16 ;

(青浦区 2013 届高三一模)8.若三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的

位置后变成一个等比数列,则此等比数列的公比为

(写出一个即

可). ? 2或 - 1 . 2

(奉贤区

2013

届高三一模)6、设无穷等比数列

?a

n

?

的前

n

项和为

Sn,首项是

a1

,若

lim
n??

Sn



1 a1

, a1

? ????0,

2 2

????

,则公比

q

的取值范围是



6. ?? 1 ,1?? ?2 ?

(崇明县 2013 届高三一模)13、数列{a n}满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则{a n}的前 60 项和

等于

. 13、1830

? ? (虹口区 2013 届高三一模)12、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 am?1 ? am?1 ? am2 ? 0 ,

S2m?1 ? 38 ,则 m ?

.12、10;

(长宁区

2013

届高三一模)7、从数列{

1 2n

}(n

?

N

*

)

中可以找出无限项构成一个新的等比

数 列 {bn } , 使 得 该 新 数 列 的 各 项 和 为

1 7

, 则 此 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为

7、 bn

?

1 8n

? ? ( 宝 山 区 2013 届 期 末 ) 11. 若 数 列 an 的 通 项 公 式 是 an ? 3?n ? (? 2?)n?1 , 则

lni?m?(a1

?

a2

???

an ) =_______.

7 6

?1

(崇明县

2013

届高三一模)9、数列 ?an ?

的通项公式是 an

?

?? n ? ?

?1 1

?? 3n

(n ? 1, 2) ,
(n ? 2)



n

项和为

Sn

,则

lim
n??

Sn

?

.

9、 8

9

(长宁区 2013 届高三一模)3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16 个小球,其中 8 个

白球、8 个黑球,则从口袋中任意摸出 8 个球恰好是 4 白 4 黑的概率为

. (结果

精确到 0.001) 3、 0.381

(宝山区 2013 届期末)15.现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的 排法的种数为……( C)

(A) P53 ? P33

(B) P88 ? P66 ? P33

(C) P63 ? P55 (D) P88 ? P64

(松江区 2013 届高三一模 理科)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分

已知递增的等差数列{an} 的首项 a1 ? 1,且 a1 、 a2 、 a4 成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式 an ;

(2)设数列{cn}对任意 n ? N*

,都有

c1 2

?

c2 22

?

值.

?

cn 2n

? an?1 成立,求 c1 ? c2

?

? c2012 的

(3)若 bn

?

an?1 an

(n ? N * ) ,求证:数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积.

22.解:(1)∵?an? 是递增的等差数列,设公差为 d (d ? 0) ……………………1 分

a1 、 a2 、 a4 成等比数列,∴ a22 =a1 ? a4 由 ( 1? d 2) ? ?1 ?( 1d 3 及) d ? 0 得 d ?1

……………………2 分 ……………………………3 分

∴ an ? n(n ? N*)

……………………………4 分

(2)∵ an?1

?

n ?1,

c1 2

?

c2 22

?

?

cn 2n

? n?1

对 n ? N* 都成立

当n

? 1 时,

c1 2

?

2 得 c1

?

4

……………………………5 分

当n

?

2 时,由

c1 2

?

c2 22

?

?

cn 2n

? n ?1①,及

c1 2

?

c2 22

?

?

cn?1 2n?1

?

n②

①-②得

cn 2n

? 1 ,得 cn

?

2n

…………7 分



cn

?

?4 ?? 2n

(n ? 1) (n ? 2)

……………8 分

∴ c1 ? c2 ?

? c2012 ? 4 ? 22 ? 23 ?

? 22012 ? 4 ? 22 (1? 22011) ? 22013 …………10 分 1? 2

(3)对于给定的 n ? N* ,若存在 k, t ? n, k, t ? N * ,使得 bn ? bk ?bt

………11 分

∵ bn

?

n ?1 n

,只需

n ?1 n

?

k

?1? k

t

?1 t



…………………12 分

即1? 1 ? (1? 1 ) ? (1? 1) ,即 1 ? 1 ? 1 ? 1

n

k

t

n k t kt

即 kt ? nt ? nk ? n, t ? n(k ?1) 取 k ? n ?1,则 t ? n(n ? 2) …………………14 分 k ?n

∴对数列{bn}中的任意一项 bn

?

n

? n

1

,都存在

bn?1

?

n?2 n ?1

b 和 n2 ?2n

?

n2 ? 2n ?1 n2 ? 2n

使得 bn ? bn?1 ? bn2 ?2n

………………………16 分

(浦东新区 2013 届高三一模 理科)22.(本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分)
定义数列 {xn} ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 (xn?1 ? p)(xn ? p) ? 0 成立,
那么我们称数列{xn} 为“ p ? 摆动数列”.
(1)设 an ? 2n ? 1, bn ? qn ( ?1 ? q ? 0 ), n ? N? ,判断数列{an} 、{bn}是否为“ p ?

摆动数列”, 并说明理由;

(2)已知“

p

?

摆动数列 ” {cn } 满足

cn ?1

?

1 cn ?


1

c1

?

1,求常数

p

的值;

(3)设 dn ? (?1) n ?( 2 n ?1) ,且数列{dn} 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列{Sn} 是“ p ? 摆动
数列”,
并求出常数 p 的取值范围.
解:(1)假设数列{an} 是“ p ? 摆动数列”,

即存在常数 p ,总有 2n ?1 ? p ? 2n ?1对任意 n 成立,

不妨取 n ?1时则1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在,

所以数列{an} 不是“ p ? 摆动数列”; ……………………………………………2 分

由 bn ? qn ,于是 bnbn?1 ? q2n?1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 .

所以数列{bn}是“ p ? 摆动数列”. ………………………………………………4 分

(2)由数列{cn}为“ p ? 摆动数列”,

c1

?

1

?

c2

?

1 2



即存在常数

1 2

?

p

? 1,使对任意正整数 n

,总有 (cn?1

?

p)(cn

?

p)

?

0 成立;

即有 (cn?2 ? p)(cn?1 ? p) ? 0 成立.则 (cn?2 ? p)(cn ? p) ? 0 ,………………6 分

所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2n?1 ? p .……………………………………7 分

同理 c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2n ? p .…………………………………………8 分

所以 c2n

?

p

?

c2 n ?1

?

1 c2n?1 ? 1

?

c2n?1 ,解得 c2n?1

?

5 ?1即 p ? 2

5 ? 1 .…9 分 2

同理

1 c2n ? 1

?

c2n

,解得 c2n

?

5 ? 1 ;即 p ? 2

5 ? 1 . 综上 p ? 2

5 ? 1 .……………11 分 2

(3)证明:由 dn ? (?1)n ? (2n ? 1) ? Sn ? (?1)n ? n ,…………………………………13 分

显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 SnSn?1 ? (?1)2n?1 ? n(n ? 1) ? 0 成立,

所以数列{Sn} 是“ p ? 摆动数列”; …………………………………………………14 分 当 n 为奇数时 Sn ? ?n 递减,所以 Sn ? S1 ? ?1,只要 p ? ?1即可 当 n 为偶数时 Sn ? n 递增, Sn ? S2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ?1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 (?1,2) .………………………………………16 分

(取 (?1,2) 中的任意一个值,并给予证明均给分)

如取

p

?

1 2

时, (Sn

?

1 2

)(Sn

?1

?

1) 2

?

[(?1)n n

?

1 ][(?1)n ?1 (n 2

? 1)

?

1] 2

? (?1)2n?1 ? n(n ?1) ? 1 (?1)n ? 1 ? ?n(n ?1) ? 1 (?1)n ? 1 .

2

4

2

4

因为

?

1 4

?

1 2

(?1)n

?

1 4

?

3 4



?

n(n

? 1)

?

?2

,存在

p

?

1 2

,使

(Sn

?

1 2

)(Sn

?1

?

1) 2

?

0



立.

所以数列{Sn} 是“ p ? 摆动数列”.

(黄浦区 2013 届高三一模 理科)20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满 分 8 分,第 2 小题满分 6 分.
在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列.
( 1)若 AB ? BC ? ?3, 且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值;
(2)若 M ? 2 sin C ,求 M 的取值范围. 1 sin A

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分.

解:(1) A、B、C 成等差数列,∴ 2B ? A ? C, 又 A? B ? C ?? ,∴ B ? ? ,
3
由 AB ? BC ? ?3得, c ? a cos 2? ? ?3 ,∴ ac ? 6 ① 3
又由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? , 3

…………………………2 分 ………………………4 分

∴18 ? a2 ? c2 ? ac ,∴ a2 ? c2 ? 24



………………………6 分

由①、②得, a ? c ? 6

……………………………………8 分

(2)由(1)得 B ? ? ,∴ A ? C ? ? ? B ? 2? ,即 A ? 2? ? C ,

3

3

3

故 M ? 2 sin C ? 2sin A? sinC = 2sin(2? ? C) ? sin C ……………………………10 分

1 sin A

3

? 2( 3 cosC ? 1 sin C) ? sin C = 3 cos C ,

…………………………12 分

2

2

由 A ? 2? ? C ? 0 且 C ? 0 ,可得 0 ? C ? 2? ,∴ ? 1 ? cosC ?1 ,

3

3

2

即 M ?(? 3 , 3) ,∴ M 的取值范围为 (? 3 , 3) .

2

2

…………………………14 分

(青浦区 2013 届高三一模)20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分.

? ? 已知数列 an 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2n (n ? N * ) .

(1)设 bn

?

an ? 2n 3n

证明:数列?bn ?为等差数列,并求数列?an ?的通项公式;

(2)求数列?an ?的前 n 项和 S n .

解:(1)? bn?1

? bn

?

an?1 ? 2n?1 3n?1

?

an ? 2n 3n

? 3an ? 3n?1 ? 2n ? 2n?1 ? an ? 2n

3n?1

3n

? 1,……

2分

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 .……………………………………………

4分

?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .………………………………………………………………………

6分

(2)设Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ? ? (n ?1) ? 3n ,则

3Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

?

? 2Tn

? 32

??? 3n

? (n ?1) ? 3n?1

?

9(1 ? 3n?1 ) 1?3

? (n ?1) ? 3n?1 .…………………10



?

Tn

?

9 ? 3n?1 4

?

(n ?1) ? 3n?1 2

?

(2n ? 3) ? 3n?1 4

?9.

? ? ? Sn ? Tn ? 2 ? 22 ? ? ? 2n

? ?2n ? ?3 3n?1 ? 2n?3 ? 1 .
4

14 分

…………………………

(金山区 2013 届高三一模)23.(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小

题 8 分)

已知数列{an}满足

a1

?

?

6 7

,1?

a1

?

a2

?

? an ? ?an?1 ? 0 (其中 λ≠0 且 λ≠–1,n∈N*),

S n 为数列{an}的前 n 项和.

(1) 若 a22 ? a1 ? a3 ,求 ? 的值;

(2) 求数列{an}的通项公式 an ;

(3)

当?

?

1 3

时,数列{an}中是否存在三项构成等差数列,若存在,请求出此三项;若不存在,

请说明理由.

23.解:(1)

令 n ? 1,得到 a2

?

1 7?

,令 n ? 2 ,得到 a3

?

1 7?

?

1 7?2

。…………2 分

由 a22

?

a1

? a3 ,计算得 ?

?

?7 6

.……………………………………………………4 分

(2) 由题意1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? ?an ?1 ? 0 ,可得:

1 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? ?an ? 0(n ? 2) ,所以有

(1 ? ?)an ? ?an?1 ? 0 (n ? 2) ,又 ? ? 0, ? ? ?1 ,……………………5 分

得到:

an?1

?

1? ? ?

an

(n

?

2) ,故数列{an } 从第二项起是等比数列。……………7



又因为 a2

?

1 7?

,所以 n≥2

时, an

?

1 7?

(1 ? ? )n?2 ……………………………8 分 ?

所以数列{an}的通项 an

?

????

6 7

? ?

1

??7?

(1

?? ?

)n?2

n ? 1,
…………………………………10 分
n ? 2.

(3) 因为 ? ? 1 3

所以 an

?

????

6 7

? ? ??

3 7

?

4

n?2

n ? 1,
……………………………………11 分
n ? 2.

假设数列{an}中存在三项 am、ak、ap 成等差数列,

①不防设 m>k>p≥2,因为当 n≥2 时,数列{an}单调递增,所以 2ak=am+ap

即:2?( 3 )?4k–2 = 3 ?4m–2 + 3 ?4p–2,化简得:2?4k - p = 4m–p+1

7

7

7

即 22k–2p+1=22m–2p+1,若此式成立,必有:2m–2p=0 且 2k–2p+1=1,

故有:m=p=k,和题设矛盾………………………………………………………………14 分

②假设存在成等差数列的三项中包含 a1 时,

不妨设 m=1,k>p≥2 且 ak>ap,所以 2ap = a1+ak ,

2?( 3 )?4p–2 = – 6 + ( 3 )?4k–2,所以 2?4p–2= –2+4k–2,即 22p–4 = 22k–5 – 1

7

77

因为 k > p ≥ 2,所以当且仅当 k=3 且 p=2 时成立………………………………………16 分

因此,数列{an}中存在 a1、a2、a3 或 a3、a2、a1 成等差数列……………………………18 分

(长宁区 2013 届高三一模)23.(本题满分 18 分)
(理)已知函数 f (x) ? kx ? m,当x ?[a1,b1] 时,f (x) 的值域为[a2 , b2 ] ,当 x ?[a2 ,b2 ]

时, f (x) 的值域为 [a3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ?[an?1, bn?1 ] 时, f (x) 的值域为

[an , bn ] ,其中 k、m 为常数,且 a1 ? 0,b1 ? 1.

(1)若 k=1,求数列{an},{bn} 的通项公式;

(2)若

m=2,问是否存在常数 k

?

0

,使得数列{bn

}

满足

lim
n??

bn

?

4? 若存在,求

k

的值;

若不存在,请说明理由;

(3)若 k ? 0,设数列{an },{bn} 的前 n 项和分别为 Sn,Tn,

求 (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? (S1 ? S2 ? ? ? S2013 ).
? ? (文)设 f (x) ? x3 ,等差数列?an ?中 a3 ? 7 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,记 S n = f 3 an?1 ,

令 bn

? anSn

,数列{ 1 bn

}

的前

n

项和为

Tn

.

(1)求?an ?的通项公式和 S n ;

(2)求证: Tn

?

1; 3

(3)是否存在正整数 m, n ,且1 ? m ? n ,使得T1,Tm ,Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的

值,若不存在,说明理由.

23、(理)解:(1)因为 f (x) ? x ? m,当x ?[an?1,bn?1 ]时, f (x)为单调增函数 ,

所以其值域为[an?1 ? m, bn?1 ? m] …………2 分

于是 an ? an?1 ? m, bn ? bn?1 ? m(n ? N * , n ? 2) …………4 分

又 a1 ? 0,b1 ? 1,所以an ? (n ?1)m,bn ? 1 ? (n ?1)m.

…………6 分

(2)因为 f (x) ? x ? mf (x) ? kx ? m(k ? 0),当x ?[an?1,bn?1 ]时, f (x)为单调增函数

所以 f (x)的值域为[kan?1 ? m, kbn?1 ? m],因m ? 2,则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ……8 分

法一:假设存在常数 k ? 0 ,

使得数列

{bn

}满足

lim
n??

bn

?

4,



lim
n??

bn

?

k

lim
n??

bn?1

? 2 ,…………10 分

得 4 ? 4k ? 2,则k ? 1 符合。…………12 分 2

法二:假设存在常数

k>0,使得数列{bn

}

满足

lim
n??

bn

?

4. 当 k=1 不符合。……7 分

当k

? 1时,bn

?

k bn?1

? 2(n

?

2)

?

bn

?

2 k ?1

?

k (bn?1

?

2 )(n k ?1

?

2) ,…………9 分

则 bn

?

(1 ?

2 )k n?1 k ?1

?

2 ,当0 k ?1

?

k

?

1时,

lim
n ??

bn

?2 1? k

?

4, 得k

?

1 符合. 2

…………12 分

( 3 ) 因 为 k ? 0,当x ?[an?1, bn?1 ]时, f (x)为单调减函数 , 所 以 f (x) 的 值 域 为

[kbn?1 ? m, kan?1 ? m]

…………13 分

于是 an ? kbn?1 ? m, bn ? kan?1 ? m(n ? N * , n ? 2)

则 bn ? an ? ?k (bn?1 ? an?1 ) …………14 分

因此?bn ? an ?是以 ? k 为公比的等比数列,

?i, (k ? ?1)

又 b1

? a1

? 1则有Ti

? Si

?

? ?1 ? (?k)i ?? 1? k

, (k

?

0, k

?

?1)

…………16 分

进而有

?

2027091, (k ? ?1)

(T1

?

T2

? ? ? T2013 )

?

(S1

?

S2

???

S2013 )

?

? ?

2013

?

2014k

??

(1 ? k)2

?

k

2014

, (k

?

0, k

?

?1)

…………18 分

(文)解:(1)设数列?an ?的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 ,

a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 .解得 a1 ? 1 , d =3 ,

……………2 分

∴ an ? 3n ? 2
? ? ∵ f (x) ? x3 , ∴Sn= f 3 an?1 = an?1 ? 3n ? 1.

……………4 分 ……………6 分

(2) bn ? an Sn ? (3n ? 2)(3n ? 1)

∴1 ?

1

? 1( 1 ? 1 )

bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

……………8 分

∴ Tn

?

1 (1? 3

1) 3n ?1

?

1 3

(3)由(2)知, Tn

?

n 3n ?1

比数列.

∴ ( m )2 ? 1 n 3m ?1 4 3n ?1

……………10 分

∴ T1

?

1 4 ,Tm

?

m 3m ?

1



Tn

?

n 3n ?

1

,∵

T1

,

Tm

,

Tn

成等

……………12 分



6m ?1 m2

?

3n ? n

4

当 m ? 1时,7 ? 3n ? 4 ,n =1,不合题意;当 m ? 2 时,13 ? 3n ? 4 ,n =16,符合题意;

n

4n

当 m ? 3 时, 19 ? 3n ? 4 , n 无正整数解;当 m ? 4 时, 25 ? 3n ? 4 , n 无正整数解;

9n

16 n

当 m ? 5 时, 31 ? 3n ? 4 , n 无正整数解;当 m ? 6 时, 37 ? 3n ? 4 , n 无正整数解;

25 n

36 n

……………15 分

当 m ? 7 时,m2 ? 6m ?1 ? (m ? 3)2 ?10 ? 0

,则 6m ? 1 ? 1,而 3n ? 4 ? 3 ? 4 ? 3,

m2

n

n

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得T1 ,Tm ,Tn 成等比数列. ……………17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得T1 ,Tm ,Tn 成等比数列. ……………18 分

另解:

(3)由(2)知, Tn

?

n 3n ?1

∴ T1

?

1 4 ,Tm

?

m 3m ?

1



Tn

?

n 3n ?1

∵ T1 ,Tm ,Tn 成等比数列.



( m )2 ? 1 ? n , 3m ?1 4 3n ?1

……………12 分

取倒数再化简得

6m ?1 m2

?

3n ? n

4

当 m ? 2 时, 13 ? 3n ? 4 , n =16,符合题意; 4n

……………14 分

m ? 3时,0 ? 1 ? 1 m3

,

6m ?1 ? 6 ? 1 m2 m m2

?

? ??

1 m

?

2

3

? ?

?

?

9

?

19 9

?

3



而 3n ? 4 ? 3 ? 4 ? 3,

n

n

所以,此时不存在正整数 m、n , 且 1<m<n,使得T1 ,Tm ,Tn 成等比数列. ……………17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得T1 ,Tm ,Tn 成等比数列. ……………18 分

(虹口区 2013 届高三一模)22、(本题满分 16 分)数列?an?的前 n 项和记为 Sn ,且满足

Sn ? 2an ?1 .
(1)求数列 ?an ?的通项公式;

(2)求和 S1 ? Cn0 ? S2 ? Cn1 ? S3 ? Cn2 ? ? ? Sn?1 ? Cnn ;
(3)设有 m 项的数列 ?bn?是连续的正整数数列,并且满足:

lg

2

?

lg(1 ?

1 b1

)

?

lg(1

?

1 b2

)

?

?

?

lg(1

?

1 bm

)

?

lg(log

2

am )



问数列 ?bn ?最多有几项?并求这些项的和.

22、(16 分)解:(1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn?1 ? 2an?1 ? 1,相减得 an?1 ? 2an?1 ? 2an ,即

an?1 ? 2an .

又 S1 ? 2a1 ?1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,?数列?an?是以 1 为首项 2 为公比的等比数列,? an ? 2n?1 .
………………………………………………5 分
(2)由(1)知 Sn ? 2n ? 1 .

? S1 ? Cn0 ? S2 ? Cn1 ? S3 ? Cn2 ? ? ? Sn?1 ? Cnn ? (21 ?1) ? Cn0 ? (22 ?1) ? Cn1 ? (23 ?1) ? Cn2 ? ? (2n?1 ?1) ? Cnn

? 2(Cn0 ? 2Cn1 ? 22 Cn2 ? ? ? 2n Cnn ) ? (Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ? ? Cnn ) ? 2(1? 2)n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n
………………………………………………10 分

(3)由已知得 2 ? b1 ? 1 ? b2 ? 1 ??? bm ? 1 ? m ?1 .

b1

b2

bm

又 ?bn?是连续的正整数数列,?

bn

?

bn ?1

? 1.?上式化为

2(bm ? 1) b1

?

m

? 1.……

又 bm ? b1 ? (m ?1) ,消 bm 得 mb1 ? 3b1 ? 2m ? 0 .

m

?

3b1 b1 ? 2

?

3

?

b1

6 ?

2

,由于

m?

N?

,?

b1

?

2 ,?

b1

?

3

时,

m

的最大值为

9.

此时数列的所有 项的和为 3 ? 4 ? 5 ???11? 63 ……………………16 分
(崇明县 2013 届高三一模)21、(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)
已知数列?an? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? ? ? ?an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ?????? ?an?1 ,

C(n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? ? ? ? ? ?an?2 , (n ?1, 2,3,......) ,并且对于任意 n ? N? ,恒有 an ? 0 成立.

(1)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N? ,三个数 A(n), B(n),C(n) 组成等差数列,求数列?an?
的 通项公式;
(2)证明:数列?an? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N? ,三个数
A(n), B(n),C(n) 组成公比为 q 的等比数列.
21、解:(1) 2B(n)=A(n)+C(n)

? an+2 -an?1 =a2 -a1 =4,n ? N* ,所以{an} 为等差数列。

?an =4n-3,n ? N*

(2)(必 要性)若数列 {an} 是公比为

q

的等比数列,则 B(n) = a2 +a3 + A(n) a1+a2 +

+an+1 =q , an

C(n) = a3 +a4 + +an+2 =q ,所以 A(n)、B(n)、C(n)组成公比为 q 的等比数列。 B(n) a2 +a3 + an+1

(充分性):若对于任意 n ? N? ,三个数 A(n), B(n),C(n) 组成公比为 q 的等比数列,

则 B(n) ? qA(n),C(n) ? qB(n) ,

于是 C(n) ? B(n) ? q?B(n) ? A(n)?, 得 an?2 ? a2 ? q(an?1 ? a1), 即

an?2 ? qan?1 ? a2 ? a1.

由 n ?1 有 B(1) ? qA(1), 即 a2 ? qa1 ,从而 an?2 ? qan?1 ? 0 .[来源:

学科网 ZXXK]

? ? 因为 an

? 0 ,所以 an?2 an?1

?

a2 a1

? q ,故数列

an

是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列。

综上,数列{an} 是公比为 q 的等比数列的充要条件是对任意的 n ? N* ,都有 A(n)、B(n)、
C(n)组成公比为 q的等比数列。

(嘉定区 2013 届高三一模 理科)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
设数列{an } 的前 n 项和为 S n ,已知 Sn?1 ? pSn ? q( n ? N* ,p 、q 为常数),a1 ? 2 ,
a2 ? 1, a3 ? q ? 3p . (1)求 p 、 q 的值; (2)求数列{an } 的通项公式;
(3)是否存在正整数 m , n ,使得 Sn ? m ? 2m 成立?若存在,请求出所有符 Sn?1 ? m 2m ? 1
合条件的有序整数对 (m , n) ;若不存在,请说明理由.

22.(本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

(1)由题意,得

?S ??S

2 3

? ?

pa1 pS2

?q ?q

,……(2

分)



?3 ??3

? ?

2 q

p ?

?q 3p

?

3

p

?

q

,解得

? ?

p

?

?

1 2

??q ? 2

.…………(4 分)

(2)由(1)知, Sn?1

?

1 2

Sn

?

2



当n

?

2时, Sn

?

1 2

S n?1

?2



…………(1 分)

①-②,得 an?1

?

1 2

an



n

?

2),又 a2

?

1 2

a1

,…………(3

分)

所以数列{an

} 是首项为

2

,公比为

1 2

的等比数列.…………(4

分)

所以{an } 的通项公式为 an

?

?? 1 ??n?2 ( n ? N* ).…………(6 分) ?2?

(3)由(2),得 Sn

?

4??1 ? ?

1 2n

?? ,…………(1 分) ?

由 Sn ? m ?

2m

,得

4??1 ?

?

1 2n

?? ?

?

m

?

2m

,即 (4 ? m) ? 2n ? 4 ?

2m



Sn?1 ? m 2m ? 1

4??1 ?

?

1 2 n ?1

?? ?

?

m

2m ?1

(4 ? m) ? 2n ? 2 2m ?1



2

? 1 .因为 2m ? 1 ? 0 ,所以 (4 ? m) ? 2n ? 2 ,

(4 ? m) ? 2n ? 2 2m ? 1

所以 m ? 4 且 2 ? (4 ? m) ? 2n ? 2m?1 ? 4 , (*)

因为 m ? N* ,所以 m ? 1或 2 或 3 .……………………(2 分)

当 m ? 1时,由(*)得 2 ? 3? 2n ? 8 ,所以 n ? 1; …………(3 分)

当 m ? 2 时,由(*)得 2 ? 2 ? 2n ? 12 ,所以 n ? 1或 2 ; …………(4 分)

当 m ? 3 时,由(*)得 2 ? 2n ? 20 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 . …………(5 分)

综上可知,存在符合条件的正整数 m 、 n ,所有符合条件的有序整数对 (m , n) 为:

(1 , 1) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 2) , (3 , 3) , (3 , 4) . …………(6 分)
(宝山区 2013 届期末)23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
已知定义域为 R 的二次函数 f (x) 的最小值为 0,且有 f(1?x)?f(1?x),直线

g(x)?4(x?1 )被 f (x) 的 图 像 截 得 的 弦 长 为 4 17 , 数 列 ?an? 满 足 a1 ?2 ,
? ? ? a n ? 1 ? a n ?g ? a n ?? f? a n ?? 0 n ? N *
(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 b n? 3 f?a n ?? g ?a n ? 1 ?,求数列 ?bn ? 的最值及相应的 n
23 解:(1)设 f (x) ? a?x ?1?2 ?a ? 0?,则直线 g(x) ? 4(x ?1) 与 y ? f (x) 图像的两个交点

为(1,0),

???

4 a

?1,1a6???

…………………………………………………2 分

? ?? 4 ??2 ? ??16 ??2 ? 4 17?a ? 0? ,? a?1 , f(x)??x? 1 ?2………………4 分 ?a? ? a ?

(2) f?a n ?? ?a n ? 1 ?2 , g ?a n ?? 4 ?a n ? 1 ?

? ? a n ? 1 ? a n ? · 4 ? a n ? 1 ?? ? a n ? 1 ? 2 ? 0

? ?a n ? 1 ??4 a n ? 1 ? 3 a n ? 1 ?? 0 ………………………………………5 分

? a 1 ? 2 , ? a n ? 1 , 4 a n ? 1 ? 3 a n ? 1 ? 0 ………………………………6 分

? an? 1?1?4 3?an?1 ?, a 1?1?1

? ? 数列

an

?1

是首项为

1,公比为

3 4

的等比数列……………………………8 分

? an?1?? ? ?4 3? ? ?n?1, an?? ? ?4 3? ? ?n?1?1………………………………………10 分

(3)

b n? 3 ?a n? 1 ?2? 4 ?a n ? 1? 1 ?? 3

?? ??

???

3 4

n?1
?

?

2

??

? ??

?

4 ???

3 4

n
? ??

?

3

???? ????????

3 4

n?1
?

?

2

??

? ??

?

? ??

3 4

n?1
?

??

??

? ??

令 bn ?y,u????43???n?1, 则 y?3? ? ? ? ?? ? ?u?2 1? ? ?2?4 1? ? ? ? ??3? ? ?u?2 1? ? ?2?4 3…………12 分

? n?N*,?u的值分别为1,3,9,27……,经比较 9 距 1 最近,

4 16 64

16 2

∴当 n?3时, bn

有最小值是 ?

189 256

,……………………………………15



当 n?1时, bn 有最大值是 0 …………………………………………18 分

(奉贤区 2013 届高三一模)22、(文)等.比.数.列.?cn ?满足 cn?1 ? cn ? 10 ? 4n?1 , n ? N * , 数列 ?an ?满足 cn ? 2an

(1)求?an ?的通项公式;(5 分)

? ? ? ? (2)数列

bn

满足 bn

?

an

1 ? an?1

, Tn

为数列

bn

的前

n

项和.求

lim
n??

Tn

;(5

分)

(3)是否存在正整数 m, n?1 ? m ? n? ,使得T1,Tm ,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n

的值;若不存在,请说明理由.(6 分)

22、解:(1)解: c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 c1 ? 4c1 ? 10 计算出 c1 ? 2 cn ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1 ? an ? 2n ?1

2分 3分
4分 5分

(2) bn

?

1 2

? ??

1 2n ?1

?

1? 2n ?1 ??

6分

于是 Tn

?

1 2

??????1?

1 3

? ??

?

? ??

1 3

?

1 5

? ??

?

?

? ??

1 2n ?1

?

1 2n ?1

?? ????

?

n 2n ?1

8分

lim
n??

Tn

=

1 2

10 分

(3)假设否存在正整数 m, n?1 ? m ? n? ,使得T1,Tm ,Tn 成等比数列,则

? ??

m ?2 2m ?1??

?

1 3

?

n 2n ?1



可得 3 ? ?2m2 ? 4m ?1 ? 0 ,

n

m2

12 分

由分子为正,解得1? 6 ? m ? 1? 6 ,

2

2

由 m ? N ?, m ? 1,得 m ? 2 ,此时 n ?12 ,

当且仅当 m ? 2 , n ?12 时,T1,Tm ,Tn 成等比数列。

16 分

说明:只有结论, m ? 2 , n ?12 时, T1,Tm ,Tn 成等比数列。若学生没有说明理由,
则只能得 13 分

(杨浦区 2013 届高三一模 理科)23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满 分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用记号 x

表示,对于实数 a ,无穷数列?an? 满足如下条件:

a1 ? a

,

?1

a n ?1

?

? ?

an

, an ? 0 ,

? ?

0

, an ? 0.

其中 n ? 1, 2 , 3,? ? ? .

(1)若 a ? 2 ,求数列?an? ;

(2)当 a

?

1 4

时,对任意的 n ? N* ,都有 an

?

a ,求符合要求的实数 a 构成的集合 A .

(3)若 a 是有理数,设 a ? p ( p 是整数,q 是正整数, p 、q 互质),问对于大于 q 的 q

任意正整数 n ,是否都有 an ? 0 成立,并证明你的结论.
23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

解:(1) a1 ?

2?

2 ?1 , a2 ?

1 a1

?

1? 2 ?1

2 ?1 ? 2 ?1,

…2 分

ak ?

2 ?1,则 ak?1 ?

1 ak

?

2 ?1 ? 2 ?1

所以 an ? 2 ?1.

………4 分

(2) a1 ?

a

? a ,所以 1 ? a ? 1,所以? ? 4

1 a

? 4,

①当

1 2

?

a

? 1,即? ?

1 a

?

2 时, a2

?

1 a1

?

1 a

? 1 ?1 ? a ,所以 a2 ? a ?1 ? 0 , a

解得 a ? ?1? 5 ( a ? ?1? 5 ? (1,1) ,舍去).

2

2

2

………6 分

②当

1 3

?

a



1 2

,即

2≤

1 a

?

3 时,

a2

?

1 a1

?

1 a

? 1 ? 2 ? a ,所以 a2 ? 2a ?1 ? 0 , a

解得 a ? ?2 ? 8 ? 2 ?1 ( a ? ? 2 ?1? (1,1] ,舍去).

2

32

………7 分

③当

1 4

?

a≤

1 ,即 3≤ 3

1 a

?

4 时, a2

?

1 a1

?

1 a

? 1 ? 3 ? a ,所以 a2 ? 3a ?1 ? 0 , a

解得 a ? ?3 ? 13 ( a ? ?3 ? 13 ? (1,1] ,舍去).

2

2

43

综上,a?? ?1? 5a,? 2 ?1a,? ?3 ? 13 ?.

2

2

(3)成立.

………11 分

(证明 1)

………9 分 ………10 分

由 a 是有理数,可知对一切正整数 n , an 为

0

或正有理数,可设 an

?

pn qn

( pn 是非负整

数, qn 是正整数,且

pn qn

既约).

………12 分

①由 a1 ?

p q

?

p1 q1

,可得 0

?

p1

?

q;

………13 分

②若 pn ? 0 ,设 qn ? ?pn ? ? ( 0 ? ? ? pn ,? , ? 是非负整数)

则 qn ? ? ? ?

pn

pn

,而由 an

?

pn qn

1

an

?

qn pn

an?1 ?

1 an

?

qn pn

?

? pn

,故 pn?1

? ? , qn?1

?

pn ,可得 0 ?

pn?1

?

pn

………14 分

若 pn ? 0 则 pn?1 ? 0

………15 分

若 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 均不为 0,则这 q 正整数互不相同且都小于 q ,

但小于 q 的正整数共有 q ?1个,矛盾.

………17 分

故 a1 ,a2 , a3 ,? ? ?, aq 中至少有一个为 0,即存在 m (1 ? m ? q) ,使得 am ? 0 .

从而数列?an ?中 am 以及它之后的项均为 0,所以对不大 q 于的自然数 n ,都有 an ? 0 .

(证法 2,数学归纳法)

………18 分


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