高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件3北师大必修4

1.4.4

单位圆的对称性与诱导公式

【知识提炼】 1.角的终边的对称性 x轴 对称; (1)角α 与-α 的终边关于____

原点 对称; (2)角α 与α ±π 的终边关于_____
y轴 对称. (3)角α 与π -α 的终边关于____

2.正弦函数和余弦函数的诱导公式
sinα

cosα

-sinα -sinα

cosα

cosα

sinα

-cosα -cosα

-sinα cosα

-sinα

cosα

sinα

【即时小测】 1.思考下列问题 (1)诱导公式中的角α 一定是锐角吗? 提示:不一定,α 是任意角. (2)诱导公式中哪些函数的名称改变,哪些函数的名称不改变? 提示:诱导公式α 与2kπ +α ,α 与2π -α ,α 与-α ,α 与π -α ,α 与 π +α 不变名称;α 与 ? ±α 需要改变名称.
2

2.cos (- 5? ) 等于
A. 1 2
4

(
C. 2 2

)
D.-

2 2 【解析】选D.cos(-5? ) ? cos 5? ? cos(? ? ? ) ? -cos ? ? - 2 . 4 4 4 4 2 B.-

1 2

3.若 sin( 5? ? ?) ? m, 则 sin( 2? -? ) =____________.
7 2? 5? 5? 【解析】 sin( -?) ? sin[?-( ? ?)] ? sin( ? ? ) ? m. 7 7 7 7

答案:m

4.sin

6 5? ? ? 1 【解析】sin ? sin(?- ) ? sin ? , 6 6 6 2 ? ? 3 cos(- ) ? cos ? , 6 6 2 所以 sin 5? <cos(- ? ). 6 6

5? 6

____________cos (- ? ) ( 填“<”“>”或“=”).

答案:<

5.已知cosα = 1 ,求
4

sin(

3? ? ?)cos(-? ? ?) 2 的值. cos(-?-?)

? sin[? ? ( ? ?)]cos(?-?) 2 【解析】原式= cos(? ? ?)

? -sin( ? ?)(-cos?) cos 2? 1 2 ? ? ? -cos? ? - . -cos? -cos? 4

【知识探究】 知识点 正、余弦函数的诱导公式

观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:如何理解记忆正、余弦函数的诱导公式?

问题2:应用诱导公式化简、求值的顺序是什么?

【总结提升】 正、余弦函数的诱导公式 1.对诱导公式的三点说明 (1)在角度制和弧度制下,公式都成立; (2)公式中的角α 可以是任意角; (3)诱导公式的基本思路是将求任意角的三角函数值转化为0°到90° 上的三角函数值求解,体现了化归思想.

2.对诱导公式的记忆

【题型探究】 类型一 给角求值
3

【典例】1.(2015· 宜昌高一检测) sin( 2 015? 的值等于 )
A. 1 2 B. ? 1 2 C. 3 2 D. ? 3 2

(

)

2.求sin(-1200°)· cos 1290°+cos(-1020°)· sin(-1050°)的值.

【解题探究】1.题1中的 2 015 π 如何转化才能运用诱导公式? 提示:先把 2 015 π 化为整数与分数的和的形式,再选择合适的诱导
3 3

公式. 2.题2中的角如何选择诱导公式? 提示:按负化正、大化小的顺序选择.

【解析】1.选D. sin( 2 015? ) ? sin(670? ? ? ? 2? )
3 3

? sin(? ?

2? 2? ? 3 ) ? ?sin ? ?sin ? ? . 3 3 3 2

2.原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°·sin1050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) =-sin 120°·cos210°-cos300°·sin330° =-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°30°) =sin 60°cos30°+cos 60°sin 30°=
3 3 1 1 ? ? ? ? 1. 2 2 2 2

【方法技巧】求任意角的正弦、余弦函数值的一般步骤

【变式训练】(2015· 枣庄高一检测)sin
A. 3 2 B. ? 3 2
6

(?

C.

1 2
6

D. ?

1 2

13? 的值是( ) 6

)

【解析】选D.sin( ? 13? ) ? ?sin 13? ? ?sin ? ? ? 1 .
6 2

类型二

给值求值
2 5

【典例】1.(2015· 黄山高一检测)已知 sin( 5? ? ?) ? ? 1那么 cosα , 等于
A. ? 2 5

(

)
B. ? 1 5 C. 1 5 D. 2 5

2.(2015· 上饶高一检测)若cos(5π +α )=

1,则sin ? =_______. ( ? ?) 2 3

【解题探究】1.sin ( 5? ? ? ) 与cosα 有什么关系?
2 提示: sin( 5? ? ?) ? sin( ? ? ?) ? cos?. 2 2 2.题2中cosα 与 sin( ? ? ?) 有什么关系? 2 ? 提示: sin( ? ?) ? cos?. 2

5? ? ? ?) ? sin( ? ?) ? cos?, 故cosα=- 1 . 2 2 5 2.cos(5π+α)=cos(π+α)=-cosα= 1 . 3 1 所以cosα=. 3 又因为sin ( ? ? ? ) =cosα, 2 所以 sin( ? ? ?) ? - 1 . 2 3 答案:- 1 3

【解析】1.选B. sin(

【延伸探究】典例1中,若 sin( 5? ? ?) ? ? 1 , 求cosα .
2 5 【解析】因为 sin( 5? ? ?) ? sin( ? ? ?) ? cos?, 2 2 1 故cosα = 5

【方法技巧】解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数 名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知 式转化.

【变式训练】已知cosα = 2 ,则 sin(?- ? )sin( 3? ? ?) =__________. 【解题指南】先化简 sin(?- ? )sin( 3? ? ?) 再求值.
? 3? 【解析】 sin(?- )sin( ? ?) 2 2 ? ? ? -sin( -?)sin[? ? ( ? ?)] 2 2 ? 4 ? cos?sin( ? ?) ? cos 2? ? . 2 9 答案: 4 9 2 2

3

2

2

类型三

? cos(? ? ) 2 · 【典例】1.(2015· 东莞高一检测)化简 sin(α 9? sin( ? ?) 2 2π )· cos(2π -α )的结果等于________.

三角函数式化简、求值

2.(2015· 九江高一检测)已知sin(α -3π )=2cos(α -4π ),求
sin( ? ? ?) ? 5cos(2? ? ?) 的值. 3? 2sin( ? ? ) ? sin( ??) 2

【解题探究】1.sin(α -2π )应如何化简? 提示:方法一:sin(α -2π )=sinα ;方法二:sin(α -2π )= -sin(2π -α )=-sin(-α )=sinα . 2.由sin(α -3π )=2cos(α -4π )可以得到什么等式. 提示:由sin(α -3π )=2cos(α -4π ),可得sinα =-2cosα .

【解析】1.原式= 答案:sin2α

sin? ·sinα·cosα=sin2α. cos?

2.因为sin(α-3π)=2cos(α-4π), 所以-sin(3π-α)=2cos(4π-α), 所以sinα=-2cosα,且cosα≠0. 所以原式= sin? ? 5cos? ? ?2cos? ? 5cos? ? 3cos? =- 3 . 答案:- 3
4 4
?2cos? ? sin? ?2cos? ? 2cos? ?4cos?

? sin( ? ?)sin(? ? ?) 2 【延伸探究】题2中若条件不变,改为求 , ? cos( ? ?)sin(2? ? ?) 2 则结果如何?

【解析】原式=

cos?(?sin?) ?sin?cos? 1 ? ? . (?sin?)sin(??) sin?sin? 2

【方法技巧】化简三角函数式的策略 (1)化简时要使函数类型尽量少,角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量 小,特殊角的正弦、余弦函数要求出值. (2)要认真观察有关角之间的关系,根据需要合理选择诱导公式变角.

【变式训练】(2015· 延安高一检测)化简:cos sin(π +α )-sin(-α )=________.

(

? +sin(π -α )? ?) 2

【解析】cos ( ? ? ? ) +sin(π -α )-sin(π +α )-sin(-α )
2

=-sinα +sinα +sinα +sinα =2sinα . 答案:2sinα

【补偿训练】(2015· 渭南高一检测 ) 已知角 α 的终边在第一象限且与 单位圆的交点为 A( 3 , m ).
5

(1)求m的值.
? cos( ? ?)sin(? ? ?) 2 (2)求 的值. cos(2? ? ?)

【解析】(1)角α的终边在第一象限且与单位圆的交点为 A( 3 , m),
5

故 ( 3 )2 ? m2 ? 1, 解得m ? 4 .
5

5 (2)由点 A( 3 , 4 ),故sin? ? 4 ,cos? ? 3 , 5 5 5 5 4 4 ? sin ? sin ? 16 原式= ?5 5? . 3 cos? 15 5

易错案例

利用诱导公式求值
2

【典例】(2015· 九江高一检测)已知sin(α +75°)= 1 ,则cos(α -

15°)等于
A. 3 2

(
B. ? 3 2

)
C. 1 2 D. ? 1 2

【失误案例】

【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是在利用诱导公式求值时符号错误 ,导致结果错 误.

【自我矫正】选C.因为cos(α-15°) =sin[90°+(α-15°)] =sin(α+75°)=
1 . 2

【防范措施】利用诱导公式求值 1.利用角度之间的关系求值 利用诱导公式解决给值求值问题时 ,应分析已知角与未知角之间的联 系,函数名称的差异,从而选择恰当的诱导公式求值.例如,本题就是利 用90°+(α -15°)=α +75°,即角之间的联系选择诱导公式解题.

2.准确应用诱导公式 应用诱导公式时一定要关注函数名称、符号的变化, 准确应用公式才 能准确求值.如本题就是在应用诱导公式时符号出错.


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