高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.2演绎推理课件新人教A版选修12

第二章

推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理

[学习目标] 1.理解演绎推理的意义(重点).2.掌握演 绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理(重 点、难点).3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 (难点).

1.演绎推理 (1)含义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.三段论 一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做出的判 断 常用格式 M是P S是M S是P

温馨提示 演绎推理中,大前提正确,结论不一定正 确.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)演绎推理的结论一定正确.( )

(2) 演 绎 推 理 是 由 特 殊 到 一 般 再 回 到 特 殊 的 推 理.( )

(3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程 正确,则结论正确.( )

解析:(1)错,演绎推理的结论不一定正确.(2)错, 演绎推理是由一般到特殊的推理.(3)对.根据演绎推理 的概念知说法正确. 答案:(1)× (2)× (3)√

2. “所有金属都能导电, 铁是金属, 所以铁能导电”, 这种推理方法属于( A.演绎推理 C.合情推理 答案:A ) B.类比推理 D.归纳推理

3.某西方国家流传这样的一个政治笑话: “鹅吃白 菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅” .结论 显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 ) B.小前提错误 D.非以上错误

解析:推理形式不符合三段论推理的形式.三段论 的形式是:M 是 P,S 是 M,则 S 是 P,而上面的推理形 式则是:M 是 P,S 是 P,则 S 是 M. 答案:C

4 .推理过程“大前提 ________ ,小前提:四边形 ABCD 是矩形,结论:四边形 ABCD 的对角线相等.” 应补充的大前提是_______________________________. 解析:由“三段论”的一般模式,可知应补充的大前 提是:矩形的对角线相等. 答案:矩形的对角线相等

5- 1 5.已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满 2 足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系是________. 5-1 解析: 当 0<a<1 时, 函数 f(x)=a 为减函数, a= 2
x

∈ (0 , 1) , 所 以 函 数 f(m)>f(n),得 m<n.

? ? f(x) = ? ?

5- 1 ? ?x ? 为减函数,故由 2 ?

答案:m<n

类型 1 用三段论的形式表示演绎推理(自主研析) [典例 1] 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角 形的底角,则∠A=∠B; (2)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.

[自主解答](1)等腰三角形的两底角相等,(大前提) ∠A,∠B 是等腰三角形的底角,(小前提) ∠A=∠B.(结论) (2)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数, 则{an}为等差数列,(大前提) 通项公式为 an=2n+3 时,

则 an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),(小前 提) 通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列. (结论)

归纳升华 1.用三段论写演绎推理的过程,关键是明确大前提、 小前提,大前提提供了一个一般性的原理,在演绎推理的 过程中往往省略, 而小前提指出了大前提下的一个特殊情 况,只有将二者结合起来才能得到完整的三段论.

2.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条 件作为大前提.

[变式训练] (1)正弦函数是奇函数, f(x)=sin x2 是正 弦函数,所以 f(x)=sin x2 是奇函数,以上“三段论”中 的________是错误的. (2)把推理“因为△ABC 三边的长为 3,4,5,所以 △ABC 是直角三角形”写成三段论的形式. 解析:(1)由于 f(x)=sin x2 不是正弦函数,所以推理 中小前提错误. 答案:小前提

(2)解:一条边长的平方等于其他两条边长的平方和 的三角形是直角三角形,(大前提) △ABC 三边的长依次为 3,4,5,且 32+42=52,(小 前提) 所以△ABC 是直角三角形.(结论)

类型 2 用三段论证明几何问题(误区警示) [典例 2] 如图所示,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证∠ACD>∠BCD.

易错提示:本题的证明,可以正确运用大前提,即在 同一个三角形中,大边对大角,但易忽略 AD 与 BD 并不 是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,致使 推理过程错误.

防范措施:利用三段论推理时,(1)大前提必须是真 命题;(2)小前提是大前提的特殊情形.

[规范解答]因为 CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC= 90°, 所以∠A+∠ACD=∠B+∠BCD=90°, 在△ABC 中,AC>BC,所以∠B>∠A, 所以∠ACD>∠BCD.

归纳升华 1.三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们 以前学过的平面几何与立体几何的证明, 都不自觉地运用 了这种推理, 只不过在利用该推理时, 往往省略了大前提. 2.几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理, 都可以分析出大前提和小前提, 将一般性原理应用于特殊

情况,就能得出相应结论.

[类题尝试] 已知空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分 别是 AB,AD 的中点. 求证:EF∥平面 BCD. 证明:因为 E,F 是 AB,AD 的中点, 所以 EF 是△ABD 的中位线, 所以 EF∥BD. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 那么这条直线与此平面平行, 因此 EF?平面 BCD,BD?平面 BCD,EF∥BD, 所以 EF∥平面 BCD.

类型 3 演绎推理在代数证明中的应用 x-2 [典例 3] 已知函数 f(x)=a + (a>1),证明函数 x+1
x

f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证明:设 x1,x2 是(-1,+∞)上的任意两实数,且 x1 - 2 x2 - 2 则 f(x1)-f(x2)=ax1+ -ax2- x1+1 x2 + 1

x1-2 x2-2 =ax1-ax2+ - x1+1 x2+1 =ax1-ax2+ , (x1+1)(x2+1) ∵a>1,且 x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0. 又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0. 3(x1-x2)

∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

归纳升华 1.数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一 连串的三段论, 解决这类问题关键是找到每一步推理的依 据——大前提、小前提,注意前一推理的结论往往会作为 下一个三段论的前提.

2.在代数证明问题中,首先找出与物体相关的一般 性原理(如基本不等式、函数的性质等),这是大前提,然 后利用“三段论”进行推理.

[变式训练] 在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+ 1,n∈N*. (1)证明:数列{an-n}是等比数列. (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 证明:(1)因为 an+1=4an-3n+1, 所以 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*, 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,公比为 4 的等比数列.

(2)由第一问可知 an-n=4 ,所以 an=4 +n(n∈ N*). 4n-1 n(n+1) 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= + (n∈ 3 2 N*).

n- 1

n-1

1.演绎推理的三个特点: (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的 结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实. (2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系, 只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也 必定是正确的. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理.

2.对“三段论”的两点说明: (1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前 提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般 性原理与特殊情况的内在联系, 从而得到第三个命题—— 结论.

(2)“三段论”推理的结论正确与否,取决于两个前 提是否正确和推理形式(即 S 与 M 的包含关系)是否正确.

3.演绎推理与合情推理的区别: (1)从推理形式上看,归纳是由部分到整体、由个别 到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推 理是由一般到特殊的推理. (2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定 正确.演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要 思维过程.


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