《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.7.1


§ 1.7
1.7.1
一、基础过关

定积分的简单应用

定积分在几何中的应用

1. 用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是 A.?c af(x)dx B.|?c af(x)dx|
b C.?a f(x)dx+?c bf(x)dx b D.?c bf(x)dx-?af(x)dx

(

)

1 2. 由 y= ,x=1,x=2,y=0 所围成的平面图形的面积为 x A.ln 2 C.1+ln 2 B.ln 2-1 D.2ln 2

(

)

3. 曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成图形的面积等于
3 A.?1 -1(x-x )dx 3 C.2?1 0(x-x )dx 1 3 B.?- 1(x -x)dx 3 D.2?0 -1(x-x )dx

(

)

4. 曲线 y=x2-1 与 x 轴所围成图形的面积等于 1 A. 3 C.1 2 B. 3 4 D. 3

(

)

5.由曲线 y= x与 y=x3 所围成的图形的面积可用定积分表示为________. 1 6.由 y=x2,y= x2 及 x=1 围成的图形的面积 S=________. 4 二、能力提升
2 ? x∈[0,1], ?x , 2 7.设 f(x)=? 则 ?0 f(x)dx 等于 ?2-x, x∈?1,2], ?

(

)

3 A. 4 5 C. 6

4 B. 5 D.不存在 ( )

2 8.若两曲线 y=x2 与 y=cx3(c>0)围成图形的面积是 ,则 c 等于 3 1 A. 3 1 B. 2 C.1 2 D. 3

9.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的 概率为________. 10.求曲线 y=6-x 和 y= 8x,x=0 围成图形的面积. 11.求曲线 y=x2-1(x≥0), 直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的封闭图形的面积. 12.设点 P 在曲线 y=x2 上,从原点向 A(2,4)移动,如果直线 OP,曲 线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积分别记为 S1、S2. (1)当 S1=S2 时,求点 P 的坐标; (2)当 S1+S2 有最小值时,求点 P 的坐标和最小值. 三、探究与拓展 4 13.已知抛物线 y=x2-2x 及直线 x=0,x=a,y=0 围成的平面图形的面积为 ,求 a 的值. 3

答案
1.D 2.A 3.C 4.D
3 5.?1 0( x-x )dx

6.

1 4

7.C 8.B 9. 1 3

10.解 作出直线 y=6-x,曲线 y= 8x的草图,所求面积为图中阴 影部分的面积.

?y=6-x 解方程组? 得直线 y=6-x 与曲线 y= 8x交点的坐标为 ? y = 8x
(2,4),直线 y=6-x 与 x 轴的交点坐标为(6,0). 因此,所求图形的面积 S=S1+S2
6 =?2 0 8xdx+?2(6-x)dx

2 3 1 = 8× x |2 +(6x- x2)|6 3 20 2 2 = 16 1 1 16 40 +[(6×6- ×62)-(6×2- ×22)]= +8= . 3 2 2 3 3

11.解 如图所示,所求面积:
2 S=?2 0|x -1|dx 2 2 2 =-?1 0(x -1)dx+?1(x -1)dx

1 1 =-( x3-x)|10+( x3-x)|21 3 3 1 8 1 =1- + -2- +1=2. 3 3 3 12.解 (1)设点 P 的横坐标为 t(0<t<2), 则 P 点的坐标为(t,t2), 直线 OP 的方程为 y=tx. 1 S1=?t0(tx-x2)dx= t3, 6 8 13 2 S2=?2 t (x -tx)dx= -2t+ t . 3 6 因为 S1=S2, 4 4 16 所以 t= ,点 P 的坐标为( , ). 3 3 9

1 8 1 (2)S=S1+S2= t3+ -2t+ t3 6 3 6 1 8 = t3-2t+ ,S′=t2-2, 3 3 令 S′=0 得 t2-2=0. ∵0<t<2,∴t= 2, 因为 0<t< 2时,S′<0; 2<t<2 时, S′>0. 所以,当 t= 2时, 8 4 2 S1+S2 有最小值 - ,此时点 P 的坐标为( 2,2). 3 3 13.解 作出 y=x2-2x 的图象如图. (1)当 a<0 时,
2 S=?0 a(x -2x)dx

1 a3 2 4 =( x3-x2)|0 a=- +a = , 3 3 3 ∴(a+1)(a-2)2=0. ∵a<0,∴a=-1. (2)当 a>0 时, ①若 0<a≤2,则
a 2 S=-?0 (x -2x)dx

1 a =-( x3-x2)|0 3 1 4 =a2- a3= , 3 3 ∴a3-3a2+4=0 ∴(a+1)(a-2)2=0. ∵a>0,∴a=2. ②当 a>2 时,不合题意. 综上 a=-1,或 a=2.


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