高中数学 第1章三角函数的图象与性质 第1课时正弦、余弦函数的图象与性质课件 苏教版必修4_图文


第1章

三角函数

1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质 第 1 课时 正弦、余弦函数的图象 与性质

[情景导入] 前面我们学习了三角函数的诱导公式, 我们是借助于单位圆推导出来的. 思考: 我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得 出三角函数的一些性质呢?

[学习目标] 1.掌握三角函数图象的作法,会用“五 点法”作出正弦函数、余弦函数的图象. 2.掌握正弦函 数、余弦函数的图象和性质.

1.正弦函数、余弦函数的图象.

函数 图象 图象 画法

y=sin x

y=cos x

“五点法”

“五点法”

π π ( ,1) ( ,0) , 2 (0,0),________ ,(0,1),_______ 2
关键 (π,0), 五点 3π ( ,-1) 2 _________ , (2π,0) (π,-1),

3π ( ,0) , _________ 2
(2π,1)

2.作正弦函数的图象可分两步:一是画出 y=sin_x, x∈[0,2π]的图象,二是把这一图象向左右连续平行移动 (每次平移 2π 个单位长度). 3.正弦函数、余弦函数的定义域为实数集 R,值域 为[-1,1],两个函数都是周期函数,且周期是 2π. 4.正弦曲线关于原点对称;正弦函数是奇函数;余 弦曲线关于 y 轴对称,余弦函数是偶函数.

? π π? ?2kπ- ,2kπ+ ?(k∈Z) 2 2? 5 .正弦函数在每一个闭区间?___________________

上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间
? π 3 ? ?2kπ+ ,2kπ+ π?(k∈Z) 2 2 ? ? _____________________________ 上都是减函数,其值从

1 减小到-1.

6.余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上 都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. π 2kπ+ (k∈Z) 时取得最 7.正弦函数当且仅当 x=______________ 2 π 2kπ- (k∈Z) 时取得最小值-1. 大值 1,当且仅当 x=______________ 2 8. 余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时取得最大值 1, 当且仅当 x=2kπ+π(k∈Z)时取得最小值-1.

一、五点法画图 函数 y=sin x 在 x∈[0,2π]的图象上,起着关键作用 的点只有以下五个:
?π ? ?3π ? (0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0). ? ? ? ?

事实上, 描出这五个点后, 函数 y=sin x 在 x∈[0, 2π] 的图象的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不 太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲 线将它们连接起来,就可得到正弦函数的简图.今后, 我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.

同样,在函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,起着 关键作用的点是以下五个:
?π ? ?3π ? (0,1),?2,0?,(π,-1),? 2 ,0?,(2π,1). ? ? ? ?

与画函数 y=sin x,x∈[0,2π]的简图类似,通过这 五个点,可以画出函数 y=cos x 在 x∈[0,2π]的简图.

二、正弦函数、余弦函数的性质 1.正弦函数、余弦函数的奇偶性: (1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在 图象上,正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴 对称. (2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对 称图象.

? π ? π 2.正弦函数在?-2+2kπ,2+2kπ?(k∈Z)上都是增 ? ?

函数,其值从-1 增大到 1;在每一个区间
?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ?(k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 ?2 ?

到-1;类似地,余弦函数在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上 都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每个区间[2kπ,2kπ +π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1.

π 3.正弦函数在区间(0, )上是增函数,但不能说正 2 π π 弦函数在第一象限内是增函数.例如 x1= +2π,x2= , 6 3 1 3 都是第一象限角, 而 sin x1= , sin x2= , 从而有 x1>x2, 2 2 sin x1<sin x2,这不符合增函数的定义.所以正弦函数、 余弦函数的单调性,只能针对区间而言,不能针对象限 而言.

4.正弦、余弦函数都不是单调函数,但是它们有无 数个单调区间,利用其单调性,可以比较同一个单调区 间内两个角的同名三角函数值的大小. 5.研究形如 y=Asin(ωx+φ)的性质,常利用“整体 代换”,令 ωx+φ=z,将函数 y=Asin(ωx+φ)转化为 y =Asin z,进一步研究函数的性质.

题型 1 正弦函数、余弦函数的图象 [典例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图: (1)y=-sin x;
? π? (2)y=sin?x-3?. ? ?

解:(1)列表:
π 2 1 3π π 2π 2 0 -1 0 1 0

x sin x

0 0

-sin x 0 -1 0

描点画图,然后由周期性得整个图象,如图所示:

(2)列表:

x π x- 3
? π? y=sin?x-3? ? ?

π 5π 4π 11π 7π 3 6 3 6 3 π 0 2 0 1 π 3π 2π 2

0 -1 0

描点、连线得

? π? y=sin?x-3?在一个周期内的图象,然 ? ?

后由周期性得整个图象,如图所示:

规律方法 画函数的图象一般先根据函数的解析式判断函数的 特点,再采用列表、描点的方法进行画图.根据与其有关 的已知曲线的特点列出关键的五个点,再描点连线即 可.用“五点法”作图要注意画出一个周期的图象后,再 利用周期性作平移才能得到整个函数的图象.

[变式训练] 作函数 y= 1-sin2x的简图. 解:因为 y= 1-sin2x=|cos x|,
? ? π π ? 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?, ?cos x? 2 2 ? ? 所以 y=? ? ? ?-cos x?π+2kπ<x<3π+2kπ,k∈Z?. 2 ? ?2 ?

函数 y 的图象如图所示.

题型 2 三角函数奇偶性的判断 [典例 2] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?; ? ?

(2)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x). 解:(1)函数定义域为 R, 且 f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?= ? ? ? π? 2sin?2x+2?= ? ?

2cos 2x,

显然有 f(-x)=f(x)恒成立. 所以函数 f(x)=
? 5 ? 2sin?2x+2π?为偶函数. ? ?

(2)函数定义域为 R. f(-x)=lg(-sin x+ 1+sin2x)=
2 lg =- lg(sin x + 1 + sin x)=-f(x), 2 sin x+ 1+sin x

1

所以函数 f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x)为奇函数.

规律方法 1.判断函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关 于原点对称的区间. 如果是, 再验证 f(-x)是否等于-f(x) 或 f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数为 非奇非偶函数.

2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公 式先将函数式化简后再判断.

[变式训练] (1)下列函数中为偶函数的是( A.y=x2sin x C.y=|ln x| B.y=x2cos x D.y=2
-x

)

(2)判断函数 f(x)= 1-sin x+ sin x-1的奇偶性.
(1)解析:因为 y=x2 是偶函数,y=sin x 是奇函数,y =cos x 是偶函数,所以 A 选项为奇函数,B 选项为偶函 数;

C 选项中函数图象是把对数函数 y=ln x 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方,其余部分的图象保持不变,
?1?x 故为非奇非偶函数;D 选项为指数函数 y=?2? ,是非奇非 ? ?

偶函数. 答案:B

? ?1-sin x≥0, (2)解:由? 得 sin x=1, ? ?sin x-1≥0,
? ? π 所以函数的定义域为?x?x=2kπ+2 ? ? ? ? ,k∈Z. ?

所以函数 f(x)的定义域关于原点不对称. 所以函数 f(x)为非奇非偶函数.

题型 3 求正弦、余弦型函数的单调区间 [典例 3] 求下列函数的单调增区间: (1)y=cos 2x;
?π ? (2)y=2sin?4-x?. ? ?

解:(1)函数 y=cos 2x 的单调递增区间由下面的不等 式确定: 2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z), π 所以 kπ- ≤x≤kπ(k∈Z), 2
? ? π 所以函数 y=cos 2x 的单调递增区间为?kπ-2,kπ? ? ?

(k∈Z).

?π ? ? π? (2)y=2sin?4-x?=-2sin?x-4?, ? ? ? ?

因为 y=sin x(x∈R)的单调递减区间为 π 3 [2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z). 2 2 π π 3 由 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 4 2 3 7 得 2kπ+ π≤x≤2kπ+ π(k∈Z), 4 4

?π ? 所以函数 y=2sin?4-x?的单调递增区间为 ? ? ? 3 7 ? ?2kπ+ π,2kπ+ π?(k∈Z). 4 4 ? ?

规律方法 求形如 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx + φ)( 其中 A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方 法去解答.列不等式的原则是:(1)把“ωx+φ(ω>0)”视 为一个“整体”;(2)A>0(A<0)时,所列不等式的方向 与 y=sin x(x∈R), y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等

式方向相同(反).

[变式训练]

?π ? 求函数 y=cos?3-2x?的单调递减区间. ? ?

?π ? ? π? 解:y=cos?3-2x?=cos?2x-3?, ? ? ? ?

π 由 2kπ≤2x- ≤2kπ+π,k∈Z 得: 3 π 2 kπ+ ≤x≤kπ+ π,k∈Z, 6 3

?π ? 所以函数 y=cos?3-2x?的单调递减区间是 ? ? ? π 2π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 6 3? ?

题型 4 正弦、余弦函数的最值(或值域) [典例 4] 求下列函数的最大值和最小值,并写出取 得最值时的 x 取值集合.
? π? (1)y=3+2sin?2x+3?; ? ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4.

? π? 解:(1)因为-1≤sin?2x+3?≤1, ? ? ? π? 所以当 sin?2x+3?=1 时,ymax=5, ? ?

π π π 此时 2x+ = +2kπ(k∈Z),即 x= +kπ(k∈Z), 3 2 12
? ? π ? ? 故 x 的取值集合为 x x=12+kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

? π? 当 sin?2x+3?=-1 时,ymin=1, ? ?

π π 5π 此时 2x+ =- +2kπ(k∈Z),即 x=- +kπ, 3 2 12
? ? 5π ? ? 故 x 的取值集合为 x x=-12+kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

(2)y=2cos2x+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-
? 5?2 9 2?sin x-4? + . ? ? 8

因为 sin x∈[-1,1],所以当 sin x=-1, π 即 x=- +2kπ(k∈Z)时,y 有最小值-9, 2
? ? π 此时 x 的取值集合为?x?x=-2+2kπ ? ? ? ?; ,k∈Z ?

π 当 sin x=1,即 x= +2kπ(k∈Z)时,y 有最大值 1, 2
? ? π 此时 x 的取值集合为?x?x=2+2kπ ? ? ? ? ,k∈Z. ?

规律方法 1. 求有关 y=Asin(ωx+φ)+b, x∈R 的最值或值域这 类题目的关键是充分利用好正弦函数 y=sin x 的有界性, 即|sin x|≤1.

2.对求解形如 y=psin2x+qsin x+r(p≠0)形式的三 角函数的最值问题常利用二次函数的思想, 转化成在给定 区间[m,n]上求二次函数最值的问题,解答时依然采用数 形结合的思想加以分析, 必要时要分区间讨论转化成常见 的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.

[变式训练] 求函数 y=sin 域.

2

? π π? x+cos x?-4≤x≤4?的值 ? ?

? 2 ? π π ? ? 解:设 t=cos x,因为- ≤x≤ ,则 t∈? ,1?, 4 4 ?2 ?

所以 y=sin2x+cos x=1-cos2x+cos
? 2 ? 5 ? ? ,t∈? ,1?. 4 ?2 ?

? 1?2 x=-?t-2? + ? ?

1+ 2 2 π 故当 t= ,即 x=± 时,y 取最大值 ; 2 4 2 当 t=1,即 x=0 时,y 取最小值 1.
? 1+ ? 所以函数的值域为?1, 2 ?

2? ?

?. ?


相关文档

高中数学 第一章 三角函数 1_3_2 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质课件 苏教版必修4
2018版高中数学第一章三角函数1.3.2第1课时正弦函数余弦函数的图象与性质课件苏教版必修4
版高中数学第一章三角函数1.3.2第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质课件苏教版必修4
高中数学探究导学课型第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质一课件新人教版必修4
高中数学教学能手示范课第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质一课件新人教版必修4
新人教版必修四高中数学精讲优练课型第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质一课件
高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教版必修4
高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教版必修4
高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课件 新人教版必修4
高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课件 新人教版必修4
电脑版