平面向量部分常见的考试题型总结

平面向量部分常见的题型练习
类型(一) :向量的夹角问题 1.平面向量 a, b ,满足 a ? 1, b ? 4 且满足 a.b ? 2 ,则 a与b 的夹角为 2.已知非零向量 a, b 满足 a ? b , ? b ? 2a ,则 a与b 的夹角为 b ( ) 3.已知平面向量 a, b 满足 a ? b .(2a ? b) ? ?4且 a ? 2, ? 4 且,则 a与b 的夹角为 ( ) b 4.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c ,则 ? a, b ?? 5.已知 a ? 2, b ? 3, a ? b ?

7 , 求a与b的夹角。

6.若非零向量 a, b 满足 a ? b , a ? b).b ? 0, 则 a与b 的夹角为 (2 类型(二) :向量共线问题 1. 已知平面向量 a ? 2, ) ( ? ), ( 3x ,平面向量 b ? ? 2, 18 若 a ∥ b ,则实数 x 2. 设向量 a ? 2, b ? 2, 若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共线,则 ? ? ( 1 ), ( 3) ? 3.已知向量 a ? 1 1 b ? 2,x) a ? b与4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是( 若 (, ), ( A.-2 B.0 C.1 D.2 )

4. 已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4, OC ? (?k ,10),且 A,B,C三点共线, 5), 则k ? _____

1 3),B( ? 2, 3), C(x, ,设 AB ? a , BC ? b 且 a ∥ b ,则 x 的值为 ( ? 7) 5.已知 A( ,
(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18

)

6.已知 a =(1,2) b =(-3,2)若 k a +2 b 与 2 a -4 b 共线,求实数 k 的值; , 7.已知 a , c 是同一平面内的两个向量,其中 a =(1,2)若 c ? 2 5 ,且 a ∥ c ,求 c 的坐标 8.n 为何值时,向量 a ? n, 与 b ? (4, n) 共线且方向相同? ( 1 ) 9.已知 a ? 3, b ? (1,2),且 a ∥ b ,求 a 的坐标。 10.已知向量 a ? 2, 1 b ? ? 1 m) ? (?1,2) ,若( a ? b )∥ c ,则 m= ( ? ), ( , , c 11.已知 a, b 不共线, c ? k a ? b, d ? a ? b ,如果 c ∥ d ,那么 k= 12. 已知向量 a ? 1 2),? ? 2,m) a ∥ b ,则 2a ? 3b ? (, b ( ,且 , c 与 d 的方向关系是

1

类型(三): 向量的垂直问题 1.已知向量 a ? x,, b ? (3,6)且a ? b ,则实数 x 的值为 ( 1 ) 2.已知向量 a ? 1 n),? ? 1 n),若2a ? b与b垂直,则a ? (, b ( , 3.已知 a =(1,2) b =(-3,2)若 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直,求实数 k 的值 , 4.已知 a ? 2, b ? 4 ,且 a与b 的夹角为

? ,若 k a ? 2b与k a ? 2b垂直,求 的值 。 k 3

5.已知 a ? (1,0), b ? (1,1), 求当 ? 为何值时, a ? ? b与a 垂直? 6.已知单位向量 m和n的夹角为

?
3

,求证:( 2n ? m) m ?

7.已知 a ? 4, , 求与 a 垂直的单位向量的坐标。 ( 2) 8. 已知向量 a ? ? 3, , b ? (?1,0)且向量? a ? b与a ? 2b垂直,则实数 的值为 ( 2) ? 9. a ? 3,, b ? (1,3),? (k ,2),若( ? c ? b (1 ) c a ) ,则k ? 10. a ? 1 2) ? (2,?3),若向量 满足于( ? a ∥ b , c ? a ? b ( ),则c ? ___ (, , b c c ) 类型(四)投影问题 1. 已知 a ? 5, b ? 4, a与b 的夹角 ? ? , 2. 在 Rt △ ABC 中, ?C ?

2? ,则向量 b 在向量 a 上的投影为 3

?
2

, AC ? 4, 则 AB. AC ?

3.关于 a.b ? a.c 且 a ? 0 ,有下列几种说法: ① a ? (b ? c) ; ② b ? c ;③ a.(b ? c) ? 0 方向上的投影 ;⑤ b ? ? a ;⑥ b ? c 其中正确的个数是 ( (A)4 个 (B)3 个 ) (C)2 个 (D)1 个 ④ b 在 a 方向上的投影等于 c 在 a

类型(四)求向量的模的问题 1. 已知零向量 a ? 2,, a.b ? 10, a ? b ? 5 2,则b ? ( 1 ) 2. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a ? b ? 2,则 a ? b ? 3. 已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?2,0),则 a ? b ?

2

4.已知向量 a

? (1, sin ? ), b ? (1, cos? ),则 a ? b 的最大值为

5. 设点 M 是线段 BC 的中点, A 在直线 BC 外, 点 (A) 8 (B) 4

??? ? BC

2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ? ? 16, AB ? AC ? AB ? AC , 则 AM ? (
(D) 1



(C) 2

6. 设向量 a , b 满足 a ? b ? 1 及 4a ? 3b ? 3 ,求 3a ? 5b 的值 7. 已知向量 a, b 满足 a

? 2, b ? 5, a.b ? ?3, a ? b 和 a ? b 求

8. 设向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 2, a ? (a ? 2b),则 2a ? b 的值为 类型(五)平面向量基本定理的应用问题 1.若 a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,-2) , , ,则 c 等于 ( )

1 3 a? b 2 2 3 1 (C) a ? b 2 2
(A)

?

1 3 a? b 2 2 3 1 (D) ? a ? b 2 2
(B) ?

2.已知 a ? 1 0),? 11 c ? ? 1 0),求?和?的值,使 ? ? a ? ?b (, b (, ), ( , c 3.设

e ,e
1

是平面向量的一组基底,则当

2

? ? _____,?
1
2

2

? _____时, ?1 e ? ? 2 e ? 0
1 2

4.下列各组向量中,可以作为基底的是( ) (A) (C)

e

1

? (0,0), e ? (1,?2)
2
1

(B) (D)

e
e

1

? (?1,2), e ? (5,7)
? ( 2,?3), e ? (
2

e

? (3,5), e ? (6,10)
2

1

1 3 ,? ) 2 4

5. a ? 11 b ? ? 11 c ? 4, (, ), ( , ), ( 2),则c ? () (A) 3a ? b (B) 3a ? b (C) ? a ? 3b (D) a ? 3b

6.已知 a ? 3, b ? 2, a与b的夹角为 , ? a ? 2b, ? ma ? 6(m ? R) c d b 3 ( )当m为何值时, c ? d ?(2)若c与d平行, 求 c ? d 1
类型(六)平面向量与三角函数结合题

?

?? ? ?? ? x x x 1.已知向量 m ? (2sin ,cos ) , n ? (cos , 3) ,设函数 f ( x) ? m ? n 4 2 4 ⑴求函数 f ( x) 的解析式 (2)求 f ( x) 的最小正周期; (3)若 0 ? x ? ? ,求 f ( x) 的最大值和最小值.

3

2. 已 知

?
2

?? ?

3? , A 、 B 、C 在同 一 个 平 面 直 角坐 标 系中 的 坐 标 分 别 为 A(3, 0) 、 B(0,3) 、 2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2sin 2 ? ? sin(2? ) 的值。 C (cos ? ,sin ? ) 。(I)若 | AC |?| BC | ,求角 ? 的值;(II)当 AC ? BC ? ?1 时,求 1 ? tan ?

3. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别是 a、b、c,平面向量 m ? (1, sin(B ? A)) ,平面 向量 n ? (sin C ? sin(2 A),1). (I)如果 c ? 2, C ?

?
3

, 且?ABC 的面积 S ? 3 , 求 a 的值;

(II)若 m ? n, 请判断 ?ABC 的形状.

4. 已知向量 a ? (2, sin x),b ? (sin2 x,2 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b

(1)求 f (x) 的周期和单调增区间; (2)若在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , ( 2a ? c) cos B ? b cosC ,求 f ( A) 的取 值范围。

4

5.已知平面向量a ? (sin ? ,?2), b ? (1, cos? )相互垂直,其中 ? 0, ) ? ( 2 ( )求 sin ?和 cos?的值; 1 (2)若 sin(? ? ? ) ? 10 ? ,0 ? ? ? , 求 cos?的值. 10 2

?

6.已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? (1,?2), 且m.n ? 0 (1)求 tan A的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R)的值域 .

A A A A 7.已知a,b,c分别为?ABC的内角A,B,C的对边, ? ? cos , m ( sin ), ? cos , n ( sin ),且 2 2 2 2 1 m.n ? .(1)求角A的大小; (2)若a ? 2 3 , ?ABC的面积为S ? 3 , 求b ? c的值. 2

8.已知a ? sin ?, ?)(0 ? ? ? ?), ? 1,3)( )当?为何值时,向量 , ( cos b ( 1 ab 不能作为平面向量的一 组基底?( )求 a ?b 的取值范围。 2
2

5


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