必修5等差数列练习题

《等差数列》同步练习
基础达标: 1.等差数列 40,37,34 中的第一个负数项是( ) A.第 13 项 B.第 14 项 C.第 15 项 D.第 16 项 2.在-1 与 7 之间顺次插入三个数,使这五个数成等差数列,则此数列为________. 3.单调递增等差数列{an}中,若 a3+a6+a9=12, a3·a6·a9=28, 则 an=______. 4.数列{an}中,an=3n-5, 则 S9=__________. 5.等差数列{an}中,已知 a2+a9+a12+a19=100, 则 S20=________. 6.等差数列{an}中,a1>0, d≠0, S20=S30, 则 Sn 取得最大值时的 n 的值为_____. 7.在公差 d=

1 的等差数列{an}中,已知 S100=145,则 a1+a3+a5+……+a99 的值为_____. 2

8.把 20 分成四个数成等差数列,使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为 2∶3,则这四 个数从小到大依次为____________. 9. -401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 10.求等差数列 10,8,6,……的第 20 项. 11.在等差数列{an}中,已知 a4=1,a7+a9=16,求通项公式. 12.在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8.
2 2 13.已知数列{an}是等差数列,令 bn ? an ?1 ? an ,求证:{bn}也是等差数列.

能力提升: 14.等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则 a10 为( A.27 B.28 C.29 D.30

)

15、已知等差数列 {an } 的前 3 项依次为 a ? 1 , a ? 1 , 2a ? 3 ,则通项公式 an ? ( A. 2n ? 5 B. 2n ? 3 C. 2n ? 1 D. 2n ? 1

).

16.已知等差数列{an}满足:a3a7=-12,a4+a6=-4,则通项公式 an=________. 17、已知等差数列 {an } 中, am ? n , an ? m ,且 m ? n ,则 am? n ? __________. 18、首项为 ?24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差的取值范围是__________. 19、等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? _________. 20、已知 ?ABC 中,角 A,B,C 依次成等差数列,则 cos A ? cos C 的取值范围是__________.
2 2

21.已知等差数列{an}满足:S10=310,S20=1220,求 an. 22.已知等差数列{an}中,a3+a13=4,求 S15. 23.一个有 n 项的等差数列,前四项和为 26,最后四项和为 110,所有项之和为 187,求项数 n. 24.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……成等差数列. 25.已知等差数列{an}满足,Sp=q,Sq=p,(p≠q),求 Sp+q. 26.已知等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,求 Sn 何时取最小值. 综合探究: 27. 求 证 : 数 列 {lg(100 sin
n ?1

?
4

)} 是等差数列,并求它的前 n 项和的最大值.(精确到十分位,

lg 2 ? 0.3010 )
参考答案: 基础达标: 1.C 2. -1,1,3,5,7 3. n-2; 提示:由 a3+a6+a9=12 得 3a6=12 即 a6=4, 又 a3·a6·a9=28 有(4-3d)·4·(4+3d)=28,解得 d=±1(舍负), ∴an=a6+(n-6)d=n-2. 4. 90; 提示:依题意知数列{an}成等差数列,故 S9 ? 5. 500; 提示:∵a2+a19=a9+a12=a1+a20=50, ∴S20=

9( a1 ? a9 ) ? 90 . 2

20( a1 ? a 20 ) =500. 2

6. 25; 2 2 提示:等差数列前 n 项和 Sn=an +bn 可判断 a<0,故考查函数 S(x)=ax +bx. 由 S(20)=S(30)知抛物线对称轴 x= 故 n=25. 7. 60; 提示:原式=(145-50d)×

20 ? 30 即 x=25, 2

1 =60. 2

8. 2,4,6,8; 提示:设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d. 9.解析: 由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 ,得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1) . 令 ? 401? ?5 ? 4(n ? 1) ,解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项. 10.解析: 根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即 an =-2n+12, ∴ a 20 =-2×20+12=-28. 11.解析: 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则

17 ? a1 ? ? ? ?a1 ? 3d ? 1 ? 4 ,解方程组得 ? ? ?2a1 ? 14d ? 16 ?d ? 7 ? 4 ?
∴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ?

7 n?6. 4

12. 解析: 解法一:统一成关于 a1,n,d 的表达式. 设{an}的首项和公差分别为 a1 和 d,则 a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450

a 2 ? a8 ? 2a1 ? 8d ?

解法二:am+an=ap+aq ? m+n=p+q 由等差数列的性质可知 a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5 ∴ a 2 ? a8 ? 2a1 ? 8d ? 13.证明: 设{an}公差为 d,则

2 2 ? (5a1 ? 20 d ) ? ? 450 ? 180 . 5 5

2 2 ? (a3 ? a7 ? a 4 ? a6 ? a5 ) ? ? 450 ? 180 . 5 5

2 2 2 2 bn?1 ? bn ? an ? 2 ? an?1 ? (an?1 ? an )

=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d =d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)] =d·(an+2-an) =d·2d 2 =2d 2 ∵2d 是与 n 无关常数 ∴{bn}是等差数列. 能力提升: 14.C; 15、B

16.an=2n-12 或 an=-2n+8; 17.0; 18. ( , 3] ; 19.27; 20. ( , ] 21.解析: 解法一:利用公式 S n ? na1 ?

8 3

1 5 2 4

S10 ? 10 a1 ? S 20

10 ? 9 ? d ? 310 ① 2 20 ? 19 ? 20 a1 ? ? d ? 1220 ② 2

n(n ? 1) d ,列方程组求 a1,d. 2

①、②联立解方程得 a1=4,d=6 ∴an=4+6(n-1)=6n-2. 2 解法二:利用公式 Sn=An +Bn

设 S n ? An ? Bn ?
2

d 2 d n ? (a1 ? )n 2 2

∴?

? S10 ? 100 A ? 10 B ? 310 ?A ? 3 ,解方程得 ? ?B ? 1 ? S20 ? 400 A ? 20 B ? 1220
2

∴Sn=3n +n

?d ?3 ? ?a ? 4 ?2 ?? 1 ∴? ?a ? d ? 1 ?d ? 6 1 ? ? 2
∴an=6n-2. 22.解析: 解法一:统一成关于 a1,n,d 的表达式. a3+a13=4,∴2a1+14d=4 即 a1+7d=2

S15 ? 15a1 ?

15 ? (15 ? 1)d ? 15 ? (a1 ? 7d ) ? 15 ? 2 ? 30 . 2

解法二:利用 a1+a15=a3+a13.

S15 ?

(a1 ? a15 ) ? 15 (a3 ? a13 ) ? 15 4 ? 15 ? ? ? 30 . 2 2 2

23.解析: a1+a2+a3+a4=2(a1+a4)=26,∴a1+a4=13 an-3+an-2+an-1+an=2(an-3+an)=110,∴an-3+an=55 a1+a4+an-3+an=2(a1+an)=13+55,∴a1+an=34

Sn ?

(a1 ? a n ) ? n 2 ? 187 ? 11 . ? 187 ,∴ n ? 34 2

24.证明: 取数列 Sn,S2n-Sn,……中的第 k+1 项和第 k 项作差: (S(k+1)n-Skn)-(Skn-S(k-1)n) =akn+1+akn+2+…+a(k+1)n-(a(k-1)n+1+…+akn) =(akn+1-a(k-1)n+1)+(akn+2-a(k-1)n+2)+…+(a(k+1)n-akn)
2 ? nd ?? nd ?? ?? ?? nd ?? ? ? ??n d n个

故 Sn,S2n-Sn,……成公差为 n d 的等差数列. 25.解析:

2

p ( p ? 1) d ?q ① 2 q (q ? 1) d S q ? qa1 ? ?p ② 2 d 2 2 ①-②得 ( p ? q)a1 ? ( p ? p ? q ? q) ? q ? p 2 S p ? pa1 ?

d ( p ? q)( p ? q ? 1) ? q ? p 2 d p≠q,∴ a1 ? ( p ? q ? 1) ? ?1 2 d S p ? q ? ( p ? q)a1 ? ? ( p ? q)( p ? q ? 1) ? ?( p ? q ). 2
即 ( p ? q)a1 ? 26.解析: S12-S9=a10+a11+a12=0 ∴3a1+30d=0 ∴a1=-10d,a1<0,∴d>0

n (n ? 1) d d 2 d ? ? n ? (a1 ? ) ? n ,d>0, 2 2 2 d 2 d ∴ f ( x ) ? x ? (a1 ? ) x 是开口向上的二次函数且 f (9) ? f (12) 2 2 d a1 ? 9 ? 12 1 2 ? 10 1 ? 10 ,∴ ? ∴ f ( x) 的图象对称轴为 x ? d 2 2 2 2? 2 Sn ? na1 ?
又 n∈N ,故 n=10 或 11 时 Sn 最小 ∴S10 和 S11 最小. 综合探究: 27. 解析: (1)证明:∵ an ? lg(100sin ∴ an ?1 ? an ? lg(100sin ∴数列 {lg(100sin
n ?1 n n ?1
*

?
4

),

?

?
4

? ? 1 ) ? lg(100sin n ?1 ) ? lg(sin ) ? ? lg 2 4 4 4 2

)} 是等差数列.
1 lg 2 ? 0 . 2

(2)解:∵ a1 ? lg100 ? 2 ? 0 , d ? ?

4 ? ? n ?1 ? n ? 1? ? 15 a ? lg(100sin ) ? 0 ? n ? lg 2 ? ? 4 ∴由 ? ,解得 ? , ? 4 n ? a ? lg(100sin ) ? 0 ?n ? 1 ? ? 14 n ?1 ? ? ? 4 lg 2 ?
∴数列 {lg(100sin
n ?1

?
4

)} 从第 15 项起,它及其后每一项都是负数,前 14 项都为正数. 14(14 ? 1) 1 (? lg 2) ? 14.3 . 2 2

故它的前 n 项和的最大值为前 14 项的和 S14 ? 14 ? 2 ?


相关文档

高中数学:《等差数列》同步练习题(新人教A版必修5)
最新-高二数学《等差数列》练习题新人教A版必修5 精品
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等差数列复习课
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等差数列复习课-新整理
精品新版高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等差数列复习课
高中数学新人教A版必修5习题 2.3 等差数列的前n项和
高中数学北师大版必修5习题:第一章数列 等差数列复习课
新版高中数学北师大版必修5习题:第一章数列 等差数列复习课
推荐-2018学年高一数学必修5等差数列练习题苏教版 精品
2019年高中数学北师大版必修5习题:第一章数列等差数列复习课
电脑版