【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第13节 定积分_图文

第十三节 考纲传真 定积分与微积分基本定理 1.了解定积分的实际背景, 了解定积分的基本 思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义. 1.定积分的概念与性质 (1)定积分的定义: 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b] 等分成 n 个小区间, 在每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2, ?, n b-a n ?f(ξi)Δx= ? n f(ξi) n),作和式 i=1 ,当 n→∞时,上述和式 i= 1 无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上 的定积分,记作 ?b ? ? ? f(x)dx a b- a ,即 f(x)dx=linm f(ξi). →∞ ? n i= 1 ?b ? ? ?a n (2)定积分的几何意义: b ①当 f(x)≥0 时,定积分? ? f(x)dx 表示由直线 ? ?a x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积. ②当 f(x)在[a,b]上有正有负时,如图 2-13-1 所示, 图 2-13-1 b 则定积分? ? f(x)dx 表示介于 x 轴,曲线 y=f(x)以及直线 ? ?a x=a,x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即 ?b ? ? ?a f(x)dx= A1+A3-A2-A4 . (3)定积分的基本性质: b k? ? f(x)dx ? b ? ①? (k 为常数). ? kf(x)dx= a ? ? a b ②? f2(x)]dx= ? [f1(x)± ? ?a ?b ? ? ?a ?c ? ? ? ?b ? ? ? a ?b f1(x)dx± ? f2(x)dx ? ? a . f(x)dx b ③ f(x)dx= a +? ? f(x)dx(其中 a<c<b). ? ?c 2.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是在区间[a, b]上的连续函数, 且 F′(x) b =f(x),那么? ? f(x)dx= F(b)-F(a) .这个结论叫做微积分基 ? ?a 本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. ?b F(x)? ? ?a ,即 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 ?b ? ?b ? f(x)dx=F(x)? ? ?a ? a =F(b)-F(a). 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) b ?b (1) 设函数 y = f(x) 在区间 [a , b] 上连续,则 ? ? f(x)dx = ? ? ? ? a ? a f(t)dt( ) ?a b (2)若? ? f(x)dx<0,那么由 y=f(x),x=a,x=b 以及 x 轴 ? 所围成的图形一定在 x 轴下方( ) a ?a (3)若 f(x)是偶函数,则? ? f(x)dx=2? f(x)dx( ? ? ?-a ?0 ) a (4)若 f(x)是奇函数,则? ? f(x)dx=0( ? ? ) -a 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.(人教 A 版教材习题改编)已知质点的速度 v=10t, 则从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( A.10t2 0 10 2 C. t0 3 【解析】 ? ? 0 ? ?0 ) B.5t2 0 52 D. t0 3 S= t vdt= t 10tdt=5t ? ? 0 ? ?0 2?t0 ? ? ?0 =5t2 0. 【答案】 B 3.设 ( ) A. C. ?1 ? ? ? 2 ? x ? f(x) = ? x ? ?2 ?x≥0?, 1 则? ? - 1f(x)dx 的 值 是 ? ?x<0?, ? -1 B. D. ?1 ? ? ? -1x2dx 1 x -1x2dx+? ? 2 dx ? ?0 -12xdx 1 2 -12xdx+? ? x dx ? ?0 -1 -1 ?0 ? ? ?-1 ?0 ? ? ?-1 【解析】 ? 由分段函数的定义及积分运算性质, ? x 1 ?1 2 ∴? ? -1f(x)dx=?0-12 dx+? x dx. ? ? ? -1 0 【答案】 D 1 2 x 4. (2013· 江西高考)若 S1= x dx, S2= dx, S3=? ? e dx, ? x ? ?2 ? ? ? 2 1 ?2 ? ? ? 1 1 则 S1,S2,S3 的大小关系为( ) A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 C.S2<S3<S1 D.S3<S2<S1 2 ? 1 3? 1 1 7 3 ?2 2 【解析】 S1=? x dx= x ? = ×2 - = , ? 3 ?1 3 3 3 ? 1 S2= dx=ln x? ? =ln 2, x ?1 ?2 ? ? ? 1 ?2 ?2 x? 2 x S3=? ? e dx=e ? ? ?1 ? 1 1 =e2-e=e(e-1),ln 2<ln e=1, 7 7 且 <2.5<e(e-1),所以 ln 2< <e(e-1), 3 3 即 S2<S1<S3. 【答案】 B π π 5.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成 3 3 的封闭图形的面积为________. 【解析】 ?π ?3 x? ?- π ? 3 π π 封闭图形的面积为 S = ∫ - cos xdx = sin 3 3 ? π? π =sin -sin?-3 ?= 3. 3 ? ? 【答案】 3 考向 1 【例 1】 定积分的计算 (1)(2014· 佛山模拟)若 ) B.1 D.- 3 (sin x+acos x)dx= 2,则实数 a 等于( A.-1 C. 3 2 3 (2)定积

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