“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT_图文

导入新课 二项定理:一般地,对于n ?N*有 (a ? b) ? C a ? C a b ? C a n 0 n n 1 n ?1 n 2 n? 2 2 n b ? ?C a b ? r n n? r r ?C b n n n 观察 (a ? b) (a ? b)2 3 (a ? b) 4 (a ? b) 5 (a ? b) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (a ? b) 6 1 6 15 20 15 6 1 (1)上述的表叫做二项式系数的表,观察表中 二项式系数的规律,并加以归纳. (2)继续观察,归纳每行二项式系数的特点 (即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质. 1.3.2“杨辉三角” 与 二项式系数的性质 教学目标 知识目标 (1)掌握二项式系数的性质; (2)进一步认识组合数、组合数的性质. 能力目标 (1)使学生建立“杨辉三角”与二项式 系数之间的直觉,并探索其中的规律,培养 学生的探索精神和创新意识; (2)能运用函数观点分析处理二项式系 数的性质,提高学生分析问题、发现问题、解 决问题的能力,激发学生的学习兴趣. 情感目标 结合 “杨辉三角”,对学生进行 爱国主义教育,激励学生的民族自豪 感和为国富民强而勤奋学习的热情. 教学重难点 重点 通过探究提炼二项式系 数的性质和讨论它的一些方 法,如:赋值法 、递推法、 图象法. 用函数的角度研究二项 式系数的性质和对赋值法的 灵活运用. 通过画出函数图 象,数形结合地进行思考. 难点 1、杨辉三角 杨 辉 南宋末年钱塘人,是 当时有名的数学家和教育 家,杨辉一生编写的数学 书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州 一带,曾当过地方官,到过 苏州、台州等地,他每到 一处都会有人慕名前来 请 教数学问题. 本节课的课题《二项式定理》就是研究 (a+b)的平方,(a+b)的三次方…… (a+b)的n次 方的乘法展开式的规律, 法国数学家帕斯卡在17 世纪发现了它,国外把这一规律称为帕斯卡三角. 其实,我国数学家杨辉早在1261年在他的《详解 九章算法》中就有了相应的图表. 《九章算术》 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表 2、二项式系数性质 (a ? b) 展开式的二项式系数依次是: n 0 2 n Cn , C1 , C , … , C n n n r 可看成是以r为自变量的 从函数角度看, Cn 函数 f ( r ) ,其定义域是: 0,1,2,?, n ? ? 当 n ? 6 时,其图象是右图中的7个孤立 点. 由以上分析可以画出如下图: 观察 结合杨辉三角和上图来 研究二项式系数的一些性质. 知识要 点 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式 系数相等. 这一性质可直接由 公式Cnm=Cnn-m 得到. 两部分,它是图像的对称轴 n 直线r ? 将函数 f(r) 的图像分成对称的 2 知识要 点 2.增减性与最大值 n(n - 1)(n - 2) …(n - k + 1) 由于: Ck = n k ? (k - 1)! =C k -1 n n -k +1 ? k 所以 C k n 相对于 n k + 1 C 的增减情况由 决定. k k ?1 n n -k +1 由: >1 k ? n +1 k< 2 n +1 可知,当k < 时, 2 二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知 它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最 大值. 因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C n 2 取得最大值; n n-1 2 n 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 、 C n+1 2 相等,且同时取得最大值. n 知识要 点 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn 令x=1,则 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn 例题 证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析: 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+… 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+… 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数, 因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上 述两个系数和. 证明: 在二项展开式中,令a=1,b=-1,则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以 Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证. 课堂小结 1.二项式系数的三条性质 (1)对称性; (2)增减性与最大值; (3)各二项式系数的和; (4)递推性(杨辉三角中). 2. 数学思想方法 (1)函数法; (2)特殊值法 ; (3)赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者,只有二项式系数最大的 才是中间项,而系数最大的不一定是中间项. 高考链接 1. (2004年上海春季高考卷)如图1,在由 二项式系数所构成的杨辉三角中,第______ 34 行中 从左到右第14与第15个数的比为2:3 . 解析: 0 由图1我们能发现,第1行中的数是 C1 ,C1 1 0 1 2 第2行中的数是 C2,C2,C2 0 1 2 3 C , C , C , C 第3行中的数是 3 3 3 3 0 2 n ,C1 , C , , C 则第n行中的数是 Cn n n n 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为 2 : 3 14 n = 34 · C 则 C13 n n = 2 : 3 ,解得 2.(2003年湖北)(1-x3)?(1+x)10的展开式中含x4 的项的系数为_____( 200 用数字作答). 解析: ∵(1-

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