2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第一章 1.4.1 &1.4.2 全称量词 存在量词_图文

知识点一

理解教材新知
知识点二

1.4

第 一 章

1.4. 1 & 1.4. 2

考点一

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

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1.4.1 &1.4.2

全称量词

存在量词

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观察下列语句:

(1)x≤2;
(2)2x是偶数; (3)对于所有的x∈R,x≤2; (4)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数. 问题1:以上语句是命题吗? 提示:(1) (2)不是命题,(3) (4)是命题,且(3)是假命题, (4)是真命题.
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问题2:语句(3)与(1)有什么不同? 提示:语句(3)在(1)的基础上,加了对x范围的限定条件 “对所有x∈R”.

问题3:语句(3)和(4)有什么共同特点?
提示:都有对变量x的限定条件:“对所有的x∈R”,“ 对任意一个x∈Z”.

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全称量词和全称命题 全称量词 符号 全称命题 形式 所有的 、任给 、 每一个 、 对一切 ? 含有 全称量词 的命题

“对M中任意一个x,有p(x)成立” ,
可简记为“?x∈M,p(x) ”

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1.观察下列语句:

(1)4x+2=10;
(2)x能被5,8整除; (3)存在一个x0∈R,使2+x0+2=10; (4)至少有一个x0∈R,使x0能被5和8整除.

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问题1:以上语句是命题吗? 提示:(1) (2)不是,(3) (4)是,且都是真命题.

问题2:语句(3),(4)有什么特点?
提示:含有对变量x取值的限定条件“存在一个x0∈R”, “至少有一个x0∈R”.

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存在量词和特称命题 存在量词 存在一个 、 至少有一个 、有一个 对某个 、有些 ?



符号表示
特称命题

含有 存在量词 的命题 “存在M中的一个x0,使p(x0)成立”, 可用符号记为“ ?x0∈M,p(x0) ”

形式

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判断一个语句是全称命题还是特称命题时,首先要判

断语句是否是命题,然后分析命题中所含量词,含有全称
量词的是全称命题,含存在量词的是特称命题.有些全称 命题中虽然不含有全称量词,但我们可根据命题所涉及的 意义去判断,如“实数的绝对值是非负数”,省略了“任 意”,但它仍然是全称命题.

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[例1] 判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)有一个实数α,使tan α无意义; (2)任何一条直线都有斜率吗?

(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径;
(4)圆内接四边形的对角互补; (5)指数函数都是单调函数. [思路点拨] 先判断量词类型,再判断命题类型.

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π [精解详析] (1)是特称命题.α= 时,tan α 不存在. 2 (2)不是命题. (3)含有全称量词,所以该命题是全称命题. (4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内 接四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题. (5)虽然不含逻辑联结词,但其实是指“所有的指数函数都 是单调函数”,省略了“所有的”,所以该命题是全称命题.
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[一点通] 三个步骤:

判断一个语句是全称命题还是特称命题可分

(1)判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全 称命题或特称命题.

(2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量
词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实 质.
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1.下列语句是特称命题的是 A.整数 n 是 2 和 5 的倍数 B.存在整数 n 能被 11 整除 7 C.若 3x-7=0,则 x=3 D.?x∈M,p(x)

(

)

解析:B中含有存在量词“存在”. 答案:B
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2.下列语句是全称命题的是________(填序号). ①三角形两边之和大于第三边;

②所有的x∈R,x3+1>0;
③有些函数为奇函数; ④平行四边形对角相等. 解析:③为特称命题,①④为省略了全称量词的全称 命题,②为全称命题.

答案:①②④
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[例2]

将下列命题用量词符号“?”或“?”表示.

(1)整数中1最小; (2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一个负根;

(3)对于某些实数x,有2x+1>0;
(4)若l⊥α,则直线l垂直于平面α内任一直线. [思路点拨] 用符号表示. 先判断命题是全称命题还是特称命题,再

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[精解详析]

(1)?x∈Z,x≥1.

(2)?x0<0,ax2+2x0+1=0(a<1). 0 (3)?x0∈R,2x0+1>0. (4)若 l⊥α,则?a?α,l⊥a.

[一点通]

全称命题表示为“?x∈M,p(x)”的形式;

特称命题表示为“?x0∈M,p(x0)”的形式.

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3.用量词符号“?”“?”表述下列命题: (1)凸 n 边形的外角和等于 2π. (2)有一个有理数 x0 满足 x2=3. 0 (3)对任意角 α,都有 sin2α+cos2α=1.

解:(1)?x∈{x|x 是凸 n 边形},x 的外角和是 2π. (2)?x0∈Q,x2=3. 0 (3)?α∈R,sin2α+cos2α=1.
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[例 3]

给出下列四个命题:

①?x∈R,x2+2>0; ②?x∈N,x4≥1;
3 ③?x0∈Z,x0<1; 2 ④?x0∈Q,x0=3.

其中是真命题的是________(把所有真命题的序号都填 上).

[思路点拨]

首先正确理解命题的含义,再采用举反

例等方法给予判断.
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[精解详析]

①?x∈R,都有x2≥0,

因而有x2+2≥2>0,即x2+2>0. 所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题. ②0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.

所以命题“?x∈N,x4≥1”是假命题.

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③-1∈Z,当 x=-1 时,x3<1 成立. 所以命题“?x0∈Z,x3<1”是真命题. 0 ④使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数. 因此,没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题“?x0∈Q,x2=3”是假命题. 0

[答案] ①③

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[一点通] (1)全称命题的真假判断:要判定一个全称命题是真命 题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要

判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=
x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反 例”). (2)特称命题的真假判断:要判定一个特称命题是真命 题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即

可;否则,这一特称命题就是假命题.
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4.下列命题中的假命题是 A.?x0∈R,lg x0=0 C.?x∈R,x3>0

(

)

B.?x0∈R,tan x0=1 D.?x∈R,2x>0

π 解析: 选项 A, x=0?x=1; lg 选项 B, x=1?x=4+kπ(k tan ∈Z);选项 C,x3>0?x>0;选项 D,2x>0?x∈R.

答案:C

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5.已知以下三个命题: ①?x∈R,x2-3x+2=0;
2 ②?x0∈Q,x0=2;

③?x∈R,4x2>2x-1+3x2. 其中真命题的个数为 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

解析:①中当且仅当 x=1 或 2 时,x2-3x+2=0 成立;②中 当 x2=2 时,x0=± 2?Q;③中不等式变形为 x2-2x+1>0,即 0 (x-1)2>0,当 x=1 时不成立,故选 A.

答案:A

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6.判断下列命题的真假. (1)?x∈{1,3,5},3x+1 是偶数;
2 (2)?x0∈R,x0-6x0-5=0; 2 (3)?x0∈R,x0-x0+1=0;

(4)?x∈R,|x+1|>0.

解:(1)∵3×1+1=4,3×3+1=10, 5×3+1=16,均为偶数,∴是真命题. (2)∵x2-6x0-5=0 中,Δ=36+20=56>0, 0 ∴方程有两个不相等的实根,∴是真命题.
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(3)∵x2-x0+1=0 中,Δ=1-4=-3<0, 0 ∴x2-x0+1=0 无解, 0 ∴是假命题. (4)∵x=-1 时,|-1+1|=0,∴是假命题.

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1.要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所 有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则 该全称命题是假命题.

2.要确定一个特称命题是真命题,举出一个例子说明
该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素 都不成立,则该特称命题是假命题.

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