2013届高考数学(理)一轮复习单元测试第3章导数及其应用


2013 届高考数学(理)一轮复习单元测试 第三章导数及其应用
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符 合题目要求)
1、若对任意 x,有 f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数为( A.f(x)=x4 B.f(x)=x4-2 C.f(x)=x4+1 D.f(x)=x4+2 )

2、 (山东省日照市 2012 届高三 12 月月考)设函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ,则 f (x) 在 x ? 0 处的切线 斜率为( ) (A)0

(B)-1
x

(C)3

(D)-6 ( )

3 . (2012 陕西理)设函数 f ( x) ? xe ,则 A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

4. (2012 厦门市高三上学期期末质检)函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区是( ) A.(-∞,0) B. (0,+∞) C. (-∞,-3)和(1,+∞) D. (-3,1)
5 . (2012 新课标理)已知函数 f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

6 . (2012 浙江理)设 a>0,b>0.





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A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

7、 (2012 吉林市期末质检) 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10, 则

a 的值为( b 2 A. ? 3

) B. ? 2 C. ? 2 或 ?

2 3

D. 不存在

8 . 【广东省肇庆市 2012 届高三上学期期末理】6.函数 f ( x) ? x ? A. (?1,1) B. (?1,0) ?(0,1) C. (?1,0) , (0,1)

1 的单调递减区间是( ) x D. (??, ?1) , (1, ??)

9、 【2012 浙江瑞安期末质检理】已知函数 f ? (x), g? (x) 分别是二次函数 f(x) 和三次函数 g(x) 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数

h(x) ? f(x) ? g(x) ,则( )
A. h(1) ? h(0) ? h(?1) C. h(0) ? h(?1) ? h(1) B. h(1) ? h(?1) ? h(0) D. h(0) ? h(1) ? h(?1)

1 3 10. 【广东省高州市第三中学 2012 届高考模拟一理】曲线 y= x +x 3 ? 4? 在点?1, ?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ? 3? 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3

)

11、 (2012 延吉市质检)定义方程 f ( x) ? f '( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的“新驻点”,若函 数 g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), ? ( x) ? x33 ? 1 的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系 ) ? x ?1 为 ( ) B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D.

A. ? ? ? ? ?

? ?? ??

π 1 12.函数 f(x)=sinx+2xf′( ),f′(x)为 f(x)的导函数,令 a=- ,b=log32,则下列关系正确 3 2 的是( ) A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.f(|a|)<f(b)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
2 3 13. 【2012 深圳中学期末理】已知曲线 y ? x ? 1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x 在

x ? x0 点处的切线互相平行,则 x0 的值为



14、 (2012 广东理)曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 ?1,3 ? 处的切线方程为___________________. 15. (2012 山东理) a ? 0 .若曲线 y ? 设

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,

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则 a ? ______. 16、函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ? ? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =
3



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
17.(本题满分 10 分)设函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的 切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
3

18.(本题满分 12 分) (2012 北京理)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ( a ? 0 ), g ( x) ? x ? bx .
2

3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值
2

19.(本题满分 12 分) 【广东省东莞市 2012 届高三数学模拟试题(1)理】

20.(本题满分 12 分)【山东省枣庄市 2012 届高三上学期期末理】已知函数 f ?x ? ? x ln x. (1)求函数 f ? x ? 的极值点; (2)若直线 l 过点(0,—1) ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1? ,其中 a ? R ,求函数 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值.(其中 e 为 自然对数的底数)

21.(本题满分 12 分) (2012 广东理)设 a ? 1 ,集合 A ? x ? R x ? 0 ,

?

?

B ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 ,D=A∩B.
(Ⅰ)求集合 D (用区间表示);

?

?

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(Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x3 ? 3 ?1 ? a ? x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

22.(本题满分 12 分) (2012 山东理)已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是 ex

自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) , 其 中 f ' ( )为 f ( x) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 x
2

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

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祥细答案 1、答案 B 解析 用 f(1)=-1 验证即可 2、 【答案】D 解析: f (x) 在 x=0 处的切线斜率为 f ?(0) ? (2 x ? 6) | x ?0 ? ?6 3、 【答案】D 解析: f ?( x) ? ( x ? 1)e ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1 , x < - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为减函
x x

数; x > - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为增函数,所以 x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点,选 D.
x

4、 【答案】D 【解析】 本题主要考查导数的计算及导数与单调性的关系、 二次不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考查.

y? ? ?2 xe x ? (3 ? x 2 )e x ? e x (? x 2 ? 2 x ? 3) ? 0 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ? 1
∴函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区是(-3,1) 5、 【解析】选 B

x 1? x ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0, g ?( x) ? 0 ? x ? 0 ? g ( x) ? g (0) ? 0 ?g g ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? g ?( x) ? ?
得: x ? 0 或 ?1 ? x ? 0 均有 f ( x) ? 0
6、 【答案】A
b 【 解 析 】 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b , 必 有 2a ? 2 ? 2 ? b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则 a 2

排除 A, C , D

f ? ? x ? ? 2 x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其

余选项用同样方法排除. 7、 【答案】A 【解析】 由题 f '( x) ? 3x ? 2ax ? b , ? 则
2

0 ?3 ?2 a ? b ? 7 ? 0 ?1 ? a ? b ? a ? a 1
2

, 解得 ?

? a ? ?2 ? a ? ?6 , ? 或 , ?b ? 1 ?b ? 9

经检验 ?

? a ? ?6 a 2 满足题意,故 ? ? ,选 A。 b 3 ?b ? 9

8、 【答案】C 【解析】函数 f ( x) ? x ?

1 1 的定义域为 x ? 0 的实数,令 f ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 解得 x ? ?1 , x x

当 ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的单调递减区间是 (?1,0) , (0,1) . 9、 【答案】D 【解析】取特殊值,令 f ( x) ? 10、 【答案】A

1 2 1 x , g ( x) ? x3 , 则 h(0) ? h(1) ? h(?1) 。 2 3

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? 4? 2 2 【解析】 y′=x +1,曲线在点?1, ?处的切线斜率 k=1 +1=2, . 3? ? 4? 4 ? 故曲线在点?1, ?处的切线方程为 y- =2(x-1). 3 ? 3? 1 ? ? 2? ? 该切线与两坐标轴的交点分别是? ,0?,?0,- ?. 3? ?3 ? ?
1 1 2 1 故所求三角形的面积是: × × = .故应选 A. 2 3 3 9 11、 【答案】C

x 【解析】 因为满足方程 f ( x) ? f '( x) 的实数根 0 叫做函数 f ( x) 的 “新驻点”, 所以 g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), ? (
的新驻点是 ? ? 1; h( x) ? ln( x ? 1) 的新驻点为

ln( x ? 1) ?

1 3 x ? 1 的根 ? ; ? ( x) ? x ? 1 的新

3 2 驻点为 x ? 3x ? 1 ? 0 的根 ? ;作出图像得 ? ? ? ? ? 。

12、答案 A π π f(x)=sinx+2xf′( ) ∴f′(x)=cosx+2f′( ) 3 3 π π π π π 1 ∴f′( )=cos +2f′( ) ∴f′( )=-cos =- 3 3 3 3 3 2 ∴f′(x)=cosx-1≤0,∴f(x)为减函数 1 ∵b=log32>log31=0>- =a ∴f(a)>f(b). 2 二、填空题 解析 13、 【答案】 x0 ? 0 或 x0 ? ?

2 3 2 3

2 【解析】 2 x0 ? 3x0 , 解得 x0 ? 0 或 x0 ? ?

14、答案: 2 x ? y ? 1 ? 0

解析: y? |x ?1 ? 3 ?12 ? 1 ? 2 ,所以切线方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 15、答案:

4 9

【解析】由已知得 S ? 16、答案:4

?

a

0

2 2 2 4 a x ? x 2 |0 ? a 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? . 3 3 3 9

3

3

1

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用.若 x=0,则不论 a 取何值, f ? x ? ≥0 显然成立; 当 x>0 即 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为, a ?
3

设 g ? x? ?

3 ?1 ? 2x ? 3 1 , 所以 g ? x ? ? 3 ,则 g ' ? x ? ? 2 x4 x x ?1 ? ?1? ? 2 ,1? 上单调递减,因此 g ? x ?max ? g ? 2 ? ? 4 ,从而 a ≥4; ? ? ? ?
3

3 1 ? x 2 x3 ? 1? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,在区间 ? 2?

当 x<0 即 ? ?1, 0 ? 时, f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 ≥0 可化为 a ?

g ? x ? 在区间 ? ?1, 0 ? 上单调递增,因此 g ? x ?ma n

3 ?1 ? 2x ? 3 1 ? 3 , g' ? x? ? ?0 2 x4 x x ? g ? ?1? ? 4 ,从而 a ≤4,综上 a =4

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三、解答题 17、解 (1)∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c,∴c=0, ∵f′(x)=3ax2+b 的最小值为-12,∴b=-12, 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此,f′(1)=3a+b=-6, ∴a=2,b=-12,c=0. (2)单调递增区间是(-∞,- 2)和( 2,+∞). f(x)在[-1,3]上的最大值是 18,最小值是-8 2. 18、解:(1)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得: f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a ,
g ( x) ? x3 ? bx ,则 g ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,? 2a ? 3 ? b ①

?a ? 3 又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ? . ?b ? 3
1 (2)? a 2 ? 4b ,?设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 4 1 a a 则 h?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 6 4 2

? a ? 0 ,? ? ? ? ,

a 2

a 6

综 上 所 述 : 当 a ? ? 0 ,2? 时 , 最 大 值 为 h(1) ? a ?
? a? h? ? ? ?1 . ? 2?

a2 ; 当 a ? ?2 , ? ?? 时 , 最 大 值 为 4

19、解:每月生产 x 吨时的利润为
1 f ( x) ? (24200 ? x 2 ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x3 ? 24000 x ? 50000 5
5 5

( x ? 0)

由 f ?( x) ? ? 3 x 2 ? 24000 ? ? 3 ( x ? 200 )( x ? 200 ) 得当

0 ? x ? 200时, f ?( x) ? 0,当

x ? 200时, f ?( x) ? 0,

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∴ f (x) 在(0,200)单调递增,在(200,+∞)单调递减,

1 故 f (x) 的最大值为 f (200 ) ? ? (200 ) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5 答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.
20、 【解】解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0. 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1 <0 ? 0< x < ,

1 e

1 e

所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增 所以 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 是函数 f ? x ? 的极小值点,极大值点不存在. e

(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1, 所以切线 l 的方程为 y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??x ? x0 ?. 又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以有 ? 1 ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ? 1??0 ? x0 ?. 解得 x0 ? 1, y0 ? 0. 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1.

(3) g ?x ? ? x ln x ? a?x ? 1? ,则 g ??x ? ? ln x ? 1 ? a.

g ?? x ? <0 ? ln x ? 1 ? a <0 ? 0< x < e a ?1 , g ??x ? >0 ? x > e a ?1 ,
所以 g ? x ? 在 0, e a ?1 上单调递减,在 e a ?1 ,?? 上单调递增. ①当 e a ?1 ? 1, 即 a ? 1 时, g ? x ? 在 ?1, e ? 上单调递增, 所以 g ? x ? 在 ?1, e ? 上的最小值为 g ?1? ? 0.

?

?

?

?

当 a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae.
2 21. 解析:(Ⅰ)考虑不等式 2 x ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 的解.

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因为 ? ? ??3 ?1 ? a ? ? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况: ? ?
2

1 ①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0, ?? ? . 3 1 ②当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? ? x x ? 1? , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? . 3 1 ③ 当 a ? 时 , ? ? 0 , 此时 2 x 2 ? 3? 1? a? x ? 6a ? 0有 两根 ,设 为 x1 、 x2 , 且 x1 ? x2 , 则 3
x1 ? 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4
, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

,于是

B ? ? x x ? x1或x ? x2 ? .
当 0?a?

1 3 时 , x1 ? x2 ? ?1 ? a ? ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 , 所 以 x2 ? x1 ? 0 , 此 时 2 3

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ;当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,此时 D ? ? x2 , ?? ? .
综上所述,当 时 ,

1 1 1 ? a ? 1 时, D ? A ? ? 0, ?? ? ;当 a ? 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ;当 0 ? a ? 3 3 3
; 当

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ?

a?0



,

D ? ? x2 , ?? ?

.





x1 ?

3? ? 1 ? a

?? 4

a ?? ? 3

3 ?a

? 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 3 1 , x2 ? . 4

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a , 令 f ? ? x ? ? 0 可 得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 . 因 为 a ? 1 , 所 以

f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .
①当 得

1 ? a ? 1 时, D ? A ? ? 0, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,列表可 3

x
f ?? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1, ?? ?
+ 递增

f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?

1 1 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ? ,列表可得 3 3
? 1? ? 0, ? ? 3?

x

1 3

?1 ? ? ,1? ?3 ?

?1, ?? ?

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f ?? x?

+ 递增

0 极小值

递减

+ 递增

f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时, D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 (可用分析法证明),于是 3

f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得

x
f ?? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ?? ?
+ 递增

f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ④当 a ? 0 时, D ? ? x2 , ?? ? ,此时 x2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有极 值点.

1 1 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a ;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 3 3

D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.

1 ? k ? ln x ln x ? k 1? k x 22、解析:由 f(x) = 可得 f ?(x) ? ,而 f ?(1) ? 0 ,即 ? 0 ,解得 x x e e e k ? 1; 1 ? 1 ? ln x (Ⅱ) f ?(x) ? x ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1, ex 1 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 . x x
于是 f (x) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,??) 内为减函数.

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x 2 x (Ⅲ) g ( x) ? ( x ? x) , ? ex ex
(1)当 x ? 1时, 1 ? x ? 0, ln x ? 0, x ? x ? 0, e ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e .
2 2 x ?2

1 ? 1 ? ln x 2 x (2)当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x ? x) ? 1 ? e ?2 . ex

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x ?1 1 ? e ?2 只需证 x ? 即可 1 ? x(1 ? ln x) e
设函数 p( x) ? 则 p ?( x) ?

?x ? 0, q ?( x) ? ?2 ? ln x, x ? (0,1) , ex x ?1 则当 0 ? x ? 1 时 p( x) ? e ? p(0) ? 1 , e
令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2 ?2

x ?1 , q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) . ee

? (0,1) ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e
?2 ?2

,且 q( x) ? 0 ,



1 ? e ?2 x ?1 1 ? e ?2 1 ? e ?2 ? 成立 ? 1 ,于是可知当 0 ? x ? 1 时 x ? 1 ? x(1 ? ln x) 1 ? e ? 2 1 ? x(1 ? ln x) e
?2

综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e 恒成立.

x ?1 ?x , x ? (0,1) ,则 p ?( x) ? x ? 0 , e e e x ?1 则当 0 ? x ? 1 时 p( x) ? x ? p(0) ? 1 , e 1 ? 1 ? ln x 1 2 x 于是当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x ? x) ? x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e ?2 , x x e 1 ?2 只需证 x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e 即可, x
另证 1:设函数 p( x) ? 设 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) , q?( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) , 令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2 ?2

? (0,1) ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e
?2 ?2

,

1 ? 1 ? ln x 2 x 于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x ? x) ? 1 ? e ?2 成立 x e
综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e 恒成立. 另证 2:根据重要不等式当 0 ? x ? 1 时 ln( x ? 1) ? x ,即 x ?1 ? e ,
x
?2

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1 ? 1 ? ln x 1 于是不等式 g ( x) ? ( x 2 ? x) x ? x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e ?2 , x x e
设 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) , q?( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) , 令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2 ?2

? (0,1) ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e
?2 ?2

,

1 ? 1 ? ln x 于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x 2 ? x) x ? 1 ? e ?2 成立. x e

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