【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第12节 导数的_图文

第十二节 考纲传真 导数的综合应用 会用导数解决实际问题. 1.通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优 化问题,一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义域内 只有一个极值点,那么该点也是最值点. 2.生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路: 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)函数 f(x)只有一个极小值点, 则函数 f(x)的极小值也是 最小值( ) (2)函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象与 x 轴最多有 3 个交 点,最少有一个交点( ) (3) 函 数 F(x) = f(x) - g(x) 的 最 小 值 大 于 0 , 则 f(x)>g(x)( ) (4)“存在 x∈(a,b),使 f(x)≥a”与“任意 x∈(a,b), 使 f(x)≥a”,这两个说法相同( 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ ) (4)× 2.(人教 A 版教材习题改编)已知某生产厂家的年利润 1 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- 3 x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 ) 【解析】 9(舍去). y′=-x2+81,令 y′=0 得 x=9 或 x=- 当 x∈(0,9)时,y′>0,当 x∈(9,+∞)时,y′<0, 则当 x=9 时,y 有最大值. 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件,故 选 C. 【答案】 C 3.函数 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,则 a 的取值范 围是( ) ? 1 ? B.?-3,+∞? ? ? ? 1? A.?-∞,-3? ? ? C.[0,+∞) D.(-∞,0) 【解析】 ∵f′(x)=3ax2+1, 依题意 f′(x)=3ax2+1 有两个实根,∴a<0. 【答案】 D 4.已知 f(x)=1+x-sin x,试比较 f(2),f(3),f(π)的大 小为________. 【解析】 f′(x)=1-cos x,当 x∈(0,π]时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0,π]上是增函数, ∴f(π)>f(3)>f(2). 【答案】 f(π)>f(3)>f(2) 5.(2013· 合肥名校三模)函数 f(x)的定义域为 R,f(- 1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为 ________. 【解析】 令函数 g(x)=f(x)-2x-4,则 g′(x) =f′(x)-2>0, 因此 g(x)在 R 上是增函数, 又因为 g(- 1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0, 所以原不等式可化为: g(x)>g(-1),由 g(x)的单调性可得 x>-1. 【答案】 (-1,+∞) 考向 1 导数在方程(函数零点)中的应用 (2013· 陕西高考改编)已知函数 f(x)=ex,x∈ 【例 1】 R. (1)求 f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程; 1 2 (2)证明: 曲线 y=f(x)与曲线 y= x +x+1 有唯一公共点. 2 【思路点拨】 (1)确定反函数,利用导数的几何意义求 解;(2)将两曲线的公共点个数问题转化为函数零点个数问题 来解决. 【尝试解答】 线的斜率为 k. (1)f(x)的反函数为 g(x)=ln x,设所求切 1 ∵g′(x)=x,∴k=g′(1)=1. 于是在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1. (2)证明 1 2 曲线 y=e 与曲线 y= x +x+1 公共点的个数 2 x x 1 2 等于函数 φ(x)=e - x -x-1 零点的个数. 2 ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点 x=0. 又 φ′(x)=ex-x-1,令 h(x)=φ′(x)=ex-x-1, 则 h′(x)=ex-1. 当 x<0 时,h′(x)<0,∴φ′(x)在(-∞,0)上单调递减; 当 x>0 时,h′(x)>0,∴φ′(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴φ′(x)在 x=0 处有唯一的极小值 φ′(0)=0, 即 φ′(x)在 R 上的最小值为 φ′(0)=0. ∴φ′(x)≥0(当且仅当 x=0 时等号成立), ∴φ(x)在 R 上是单调递增的, ∴φ(x)在 R 上有唯一的零点. 1 2 故曲线 y=f(x)与曲线 y= x +x+1 有唯一的公共点. 2 规律方法 1 1.本题(2)的解法中,φ′(x)=ex-x-1 的正 负不能直接判断,故再次借助导数求 φ′(x)的最小值 φ′(0) =0. 2. 研究方程根的情况, 可以通过导数研究函数的单调性、 最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断 方程根的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用. 变式训练 1 已知 a>0,函数 f(x)=ln x-ax2,x>0(f(x) 的图象连续不断). (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)当 a= 时,证明:存在唯一的 x0∈(2,+∞), 8 使 ?3? f(x0)=f?2?. ? ? 【解】 1-2ax 1 (1)f′(x)=x-2ax= x ,x>0. 2 令 f′(x)=0,得 1-2ax2=0, 2a ∵a>0,x>0,∴x= . 2a 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f ( x) ? ? ?0, ? 2a ? ? 2a ? ? 2a 2a 0 极大值 ? ? ? ? ? 2a ? ,+∞? 2a ? + ? - ? ? ∴f(x)的递增区间是? ?0, ? ? 2a ? 2a? ? ? ? ,递减区间是 ,+∞?. ? ? 2a ? ? 2a ? (2)证明 1 1 2 当 a= 时,f(x

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