高中数学全一册学案(含解析)新人教A版选修2_1

1.1.1 命 题 [提出问题] 观察下列语句: (1)三角形的三个内角的和等于 360°. (2)今年校运动会我们班还能得第一吗? (3)这是一棵大树呀! (4)实数的平方是正数. (5)能被 4 整除的数一定能被 2 整除. 问题 1:上述语句哪几个语句能判断真假? 提示:(1)(4)(5). 问题 2:你能判断它们的真假吗? 提示:能,(5)真,(1)(4)为假. [导入新知] 定义:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 ? ? ? ?真命题:判断为真的语句 命题?分类:? ?假命题:判断为假的语句 ? ? ?形式:“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论 [化解疑难] 1.判断一个语句是命题的两个要素: (1)是陈述句,表达形式可以是符号、表达式或语言; (2)可以判断真假. 2.命题的条件与结论之间的关系属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举 出一个反例即可. 命题的判断 [例 1] 判断下列语句是不是命题,并说明理由. π (1) 是有理数; 3 (2)3x ≤5; 2 1 (3)梯形是不是平面图形呢? (4)x -x+7>0. π [解] (1)“ 是有理数”是陈述句,并且它是假的,所以它是命题. 3 (2)因为无法判断“3x ≤5”的真假,所以它不是命题. (3)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题. 2 2 ? 1?2 27 2 2 (4)因为 x -x+7=?x- ? + >0,所以“x -x+7>0”是真的,故是命题. ? 2? 4 [类题通法] 判断语句是不是命题的策略 判断一个语句是不是命题, 关键是看语句的格式, 也就是要看它是否符合“是陈述句” 和“可以判断真假”这两个条件,如果满足这两个条件,该语句就是命题,否则就不是. [活学活用] 判断下列语句是否为命题,并说明理由. (1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形; (2)任何集合都是它自己的子集; (3)对顶角相等吗? (4)x>3. 解:(1)是陈述句,能判断真假,是命题. (2)是陈述句,能判断真假,是命题. (3)不是陈述句,不是命题. (4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题. 判断命题的真假 [例 2] 判断下列命题的真假,并说明理由. (1)正方形既是矩形又是菱形; (2)当 x=4 时,2x+1<0; (3)若 x=3 或 x=7,则(x-3)(x-7)=0; (4)一个等比数列的公比大于 1 时,该数列一定为递增数列. [解] (1)是真命题,由正方形的定义知,正方形既是矩形又是菱形. (2)是假命题,x=4 不满足 2x+1<0. (3)是真命题,x=3 或 x=7 能得到(x-3)(x-7)=0. (4)是假命题,因为当等比数列的首项 a1<0,公比 q>1 时,该数列为递减数列. [类题通法] 命题真假的判定方法 2 (1)真命题的判定方法: 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件, 结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑 推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件,选择正确的逻辑推理方法. (2)假命题的判定方法: 通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法. [活学活用] 下列命题中真命题有( 2 ) 2 ①mx +2x-1=0 是一元二次方程;②抛物线 y=ax +2x-1 与 x 轴至少有一个交点; ③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 A ①中当 m=0 时,是一元一次方程;②中当 Δ =4+4a<0 时,抛物线与 x 轴无交点;③是正确的;④中空集不是本身的真子集. 命题的结构形式 [例 3] 将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假. (1)6 是 12 和 18 的公约数; (2)当 a>-1 时,方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根; (3)平行四边形的对角线互相平分; (4)已知 x,y 为非零自然数,当 y-x=2 时,y=4,x=2. [解] (1)若一个数是 6,则它是 12 和 18 的公约数.是真命题. (2)若 a>-1,则方程 ax +2x-1=0 有两个不等实根.是假命题. (3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分.是真命题. (4)已知 x,y 为非零自然数,若 y-x=2,则 y=4,x=2.是假命题. [类题通法] (1)把一个命题改写成“若 p,则 q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,要将条件 写在前面,结论写在后面. (2)若条件和结论比较隐含,则要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论 需多个条件,还要注意有的命题改写形式不唯一. [活学活用] 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真假. (1)奇数不能被 2 整除; (2)当(a-1) +(b-1) =0 时,a=b=1; (3)两个相似三角形是全等三角形; (4)在空间中,平行于同一个平面的两条直线平行. 解:(1)若一个数是奇数,则它不能被 2 整除.是真命题. 3 2 2 2 2 (2)若(a-1) +(b-1) =0,则 a=b=1.是真命题. (3)若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形是全等三角形.是假命题. (4)在空间中,若两条直线平行于同一个平面,则这两条直线平行.是假命题. 2 2 1.命题条件不明致误 [典例] 将命题“已知 a,b 为正数,当 a>b 时,有 a > b ”写成“若 p,则 q”的 形式,并指出条件和结论. [解] 根据题意, “若 p, 则 q”的形式为: 已知 a, b 为正数, 若 a>b, 则 a> b. 2 2 2 2 2 2 其中条件 p:a>b,结论 q: a > b . [易错防范] 1.易误把大前提“已知 a,b 为正数”当作条件,实际上若一个命题有大前提,则应把 它写在“若 p,则 q”之

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