导数综合经典题原创论文

导数综合经典题 (一)与数列综合 一般导数与数列相关常用到函数的性质 — 最值。使用办法一般 有: (1)把两边边看成数列的通项,直接构造函数。 (2)把一边看成数列的前 n 项和,求出通项再构造函数。
f ( x) ?
1、11 四川文 22)已知函数

2 1 x? 3 2 , h( x) ? x . 3 3 lg[ f ( x ? 1) ? ] ? 2lg h(a ? x) ? 2lg h(4 ? x) 2 4 ; ? h(n)] ? 1 6.

(Ⅰ )设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ )设 a ? R ,解关于 x 的方程 (Ⅲ )设 n ? N ,证明:
*

f (n)h(n) ? [h(1) ? h(2) ?

2、 (11 浙江理 22)已知函数 (Ⅰ )求

f ( x) ? 2a ln(1 ? x) ? x(a ? 0) .

f ( x) 的单调区间和极值;
(1? n )n nn

lg e lg e lg e 4lg e ? ? ? ??? ? ? lg e 2 3 n (Ⅱ )求证:
3、已知函数f ( x) ? ln ax ?

(n ? 1)

(n ? N * ) .

x ?1 x (1)求此函数的单调区间及最值。

1 1 1 en (2)求证:对任意n ? N,有:1+ + +...+ ? ln 2 3 n n! (3)当a ? 1时,过点( 1,)是否存在函数 -1 y ? f ( x)的图像的切线?若存在有几条?
4、 设函数f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x, 其中b为常数。
2

1 (1)b> 时,判断函数f ( x)在定义域上的单调性。 2 (2)b ? 0时,求f ( x)的极值。 1 1 (3)求证:对任意不小于3的正整数n,不等式 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 都成立。 n n
5、已知f ( x) ? x ? x ? ln( x ? a ) ? 3b在x =0取得极值0.
2

()求 1 a, b的值。 (2)若关于x的方程f ( x) ? 求实数m的取值范围。 1 1 1 n ?1 (3)证明:对任意的正整数n>1,有不等式1+ + +... ? ln 2 3 n ?1 2 5 x ? m在[0,2]上恰有两个不同的实数根, 2

1

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6、已知函数f ( x) ?

ln x x ()求 1 f ( x)的单调区间,并比较f (2), f (3), f (5) 1 (2)证明f ( x) ? 1 ? 在其定义域内恒成立,并比较 x (2n ? 1)( n ? 1) f (22 ) ? f (32 ) ? ... ? f (n 2 )与 的大小。 2(n ? 1)

7、已知?an ? , 若点(an , an ?1 )在过点(1,1)且以m ? (2,1)为方向向量的直线上a1 ?

(1)求数列?an ?的通项公式。 (2)求证:a1a2 a3 ...an ? e ( p ? 1)( p ? 1) n (an ? 1), ( p ? 1)数列?bn ?的前n项和Sn . p ( p n ? 1) p ?1 p ? 1 2 n ?1 求证:(2n-1)bn ? S 2 n ?1 ? [1 ? ( ) ] p ?1 2p (3)记bn ?
8、

3 2

1 设函数f(x)=(1+ ) x , (n ? N , 且n ? 1,x ? R ) n 1 (1)当x ? 6时,求(1+ ) x 的展开式中二项式系数最大的项。 n f (2 x) ? f (2) (2)对任意x ? R, 证明: ? f ?( x) 2 (3)是否存在a ? N 使得
n 1 an ? ? (1 ? ) k ? ( a ? 1) n恒成立,若存在试证明结论成立,并求出a的值。 k k ?1

9、已知偶函数

ax ? b (a, b, c为常数)导函数为f ?( x),且f (1)=1 x2 ? c f ?(-1)=2,数列?an ? 满足a1 =1,且当n ? 2, n ? N *时。 f ( x) ? an =n 2 [ f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f ( n ? 1)] (1)求函数f ( x)的解析式。 1+a f (n ? 1) (2)求证: n = , (n ? 2, n ? N ) an +1 f ( n) (3)求证:(1+ 1 1 1 1 )(1+ )(1+ )...(1+ ) ? 4 a1 a2 a3 an

10、已知 f ( x) ? x ? ln( x ? a )在x ? 1处取得极值

()求实数 1 a 1 (2)若关于x的方程f(x)+2x=x2 ? b在[ , 2]上恰有2个不等根,求实数b的取值范围。 2 2 n 1 3n ? n ? 2 (3)证明: ? , (n ? N , n ? 2) ? n(n ? 1) k ? 2 k ? f (k )
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(二)与函数的根分布综合
1.已知

f ( x) ? ln( x ? a) ? x 2 ? x, x ? R,曲线y ? f ( x)在点(0,f(0))处的切线恰好为x轴。 (1)求a的值。 (2)若区间[m,2]恒为函数的一个单调区间,求实数m的最小值。 7 9 2 (3)记F(x)=(x2 +1)f?(x)+ x 3 ? x 2 ? [ (t ? 1) ? 3]x, x ? (?2, t ), (t ? 1) 3 2 3 则函数F ( x)是否存在极值点?若存在请找出极值点,并说明理由。
2.

已知函数f ( x) ? ln x, g ( x) ? (1)求F (x)的单调区间?

a ( a ? 0), 设F (x)=f(x)+g(x) x

(2)若以函数y =F (x)(x ?(0,3])图像上任意一点,p(x0 , y 0 )为切点 1 的切线的斜率k ? 恒成立,求实数a的最小值。 2 2a (3)是否存在实数m,使函数y=g( 2 ) ? m ? 1的图像与函数 x ?1 2 y ? f (1 ? x )的图像恰有四个不同的交点? 若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由?
3、 把函数y ? ln x ? 2的图像按向量a ? (?1, 2)平移到函数y=f(x)的图像 9、 (2011 新课程)

(1)若x>0,证明f(x)>

2x x?2

1 (2)若不等式 x 2 ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2bm ? 3, 对b ? [?1,1] 2 x ? [?1,1]时恒成立,求实数m的取值范围。
4、已知函数f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线方程是x ? 2 y ? 3 ? 0 x ?1 x ln x k ? , 求k的取值范围。 x ?1 x
x 2 x ( k ≥0)。 2

(1)求a, b的值 (2)如果当x>0,且x ? 1时,f(x)>

5、 (2010 北京)已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。

3

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6、 设x1 , x2是f ( x) ?

a 3 b ?1 2 x ? x ? x, (a, b ? R), a ? 0的两个极值点。 3 2 ()如果 1 x1 ? 2 ? x2 ? 4, 求f ?(?2)的取值范围。 (2)如果0 ? x1 ? 2, x1 ? x2 ? 2, 求证:b ? 1 4 (3)如果a ? 2, 且x2 ? x1 ? 2,x ? ( x1 , x2 )时,函数 g ( x) ? ? f ?( x) ? 2( x2 ? x)的最大值为h(a), 求h(a)的最小值。

(三)类比函数对称性的综合 一般的在函数 y=f(x)的极值点 x ? x0 的附近: 如果 f ( x1 ) ? f ( x2 )且x1 ? x2 (1)如果 y ? f ( x)的图像关于直线x=x0对称 则有 x1 +x2 =x0
2

(2)如果 y ? f ( x)的图像不关于直线x=x0对称 则一定有 x1 +x2 ? x0 ( x1 +x2
2 2
1、已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a ) x
2

? x0 )

(1 )讨论f ( x)的单调性; 1 1 1 (2)设a>0,证明:当0<x< , f ( ? x) ? f ( ? x) a a a (3)若函数y ? f ( x)的图像与x轴相交于A, B两点,线段AB中点的横坐标为x0 证明:f?(x0)<0
2、 (11 天津理 21)已知函数 (Ⅰ )求函数

f ? x ? ? xe? x ? x ? R ?



f ? x?

的单调区间和极值; 的图象与函数

(Ⅱ )已知函数

y ? g ? x?

y ? f ? x?

的图象关于直线 x

?1

对称.证明当 x (Ⅲ )如果

? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? .

x1 ? x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,证明 x1 ? x2 ? 2 .

(四)与导数的几何意义综合
1、已知函数 f ( x) ? x ? x ?
3 2

x 1 1 ? 且存在x0 ? (0, ), 使得f ( x0 ) ? x0 2 4 2 (1)证明:f ( x)是R上单调增函数 1 (2)设x1 =0,xn ?1 ? f ( xn ), y1 ? , yn ?1 ? f ( yn ), 其中n ? 1, 2,3... 2 证明:xn ? xn ?1 ? x0 ? yn ?1 ? yn y -x 1 (3)证明: n ?1 n ?1 ? yn -xn 2

4

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2、 (四川 07)已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 ? a ln x( x ? 0), f ( x)的导数f ?( x)对任意两个不相等 x x1 , x2 ? 0, 证明:

f ( x )+f ( x2 ) x ?x ()当 1 a ? 0时, 1 ? f( 1 2) 2 2 (2)当a ? 4时, f ?( x1 )-f ?( x2 ) ? x1 ? x2
3、 (06 重庆)已知 f ( x) ? ( x 2 ? bx ? c)e x , b, c ? R为常数

() 1 b 2 ? 4(c ? 1), 讨论函数f ( x)的单调性 (2)若b2 ? ( 4 c ? 1), 且 lim
x ?0

f ( x) ? c ? 4, 试证: -6 ? b ? 2 x

(五)与解析几何综合
1、 (06 重庆)已知一系列椭圆

cn : x 2 ?

y2 ? 1(0 ? bn ? 1, n ? 1, 2...) b2n

若椭圆cn上有一点Pn , 使得Pn到右准线L n的距离d n是 Pn Fn 与 Pn Gn 的等差中项,其中Fn,Gn分别是cn的左右焦点。 ()试证: 1 bn ? 3 (n ? 1) 2 2n ? 3 (2)取bn ? , 并用Sn 表示?Fn PnGn的面积,试证:S1 ? S 2且S n ? S n ?1 (n ? 3) n?2
3 2

2(绵阳 092)已知f ( x) ? x ? mx ? x ? 2, (m ? R)

1 (1)如果函数f ( x)的单调减区间为(- ,1),求解析式。 3 ? (2)若f(x)的导函数为f ( x),对任意x ? (0, ??) 不等式f ?( x) ? 2 x ln x ? 1恒成立,求m的取值范围。
3、设 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2
n?1
2 * 和抛物线 C n : y ? x ? an x ? bn , n ? N , 其中an ? ?2 ? 4n ? )

1 2n?1

2 点 P2 ( xn 由以下方法得到:x1 , x2 , 2 ) 在物 C :1 y x? ax ? b + 1

1

点 A1 ( x1 , 0 ) 到 P2 的距离是 A1 C 到 上 上, 1

点最短距离,点 Pn?1 ( xn?1,2n )在物Cn : y ? x 2 ? an x ? b1上, 点 An ( xn ,0)到Pn?1距离是An到Cn上的最短距离 (1)求 x2及C1的方程。 4、已知函数 f ( x ) ? ln x, g ( x ) ? (2)证明 ? xn ?是等差列。

1 2 ax ? bx, a ? 0 2

(1)若 b=2 时,且函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x)存在单间区间,求a的范围。 (2)设函数 f ( x ) 的图像 C1 与图像 g(x)的图像 C 2 交于点 P,Q 过线段 PQ 的中点做 x 轴的垂线分 别交 C1 , C 2 于点 M,N。证明 C1 在点 M 处的切线与 C 2 在点 N 处的切线不平行。
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5、 【09 广东· 理】已知曲线 Cn : x2 ? 2nx ? y 2 ? 0(n ? 1, 2,

) .从点 P(?1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为

kn (kn ? 0) 的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .
(1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 x3 x5 ??? x2 n ?1 ?

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

(五)与概率综合
f ( x) ? ln(1 ? x) ?
1、 (全国Ⅱ 理 22) (Ⅰ )设函数

2x x ? 2 ,证明:当 x >0 时, f ( x) >0;

(Ⅱ )从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码

1 9 ( )19 2 p p 互不相同的概率为 .证明: < 10 <e .

6

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