2012年上海五校联合教学调研数学试卷(理科)含答案


五校联合教学调研数学试卷(理科)
一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分)) 1.若复数 z 满足满足 z(1+i)=2,则 z 的虚部是 2.已知向量 a ? (1, 3) 和向量 b ? (?1, 2) ,则 | a ? 3b | =
2

. .

3.已知集合 A ? {x | x ? 2 ? 1, x ? R} , B ? { y | y ? ? x ? a, x ? R} ,若 A ? B ,则实 数 a 的取值范围为 .

4.关于 x、y 的二元线性方程组 ?

?2 x ? m y ? 5 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为 ? nx ? y ? 2

2 m ? 1 0 3? ? . ? 0 1 1 ? ,则二阶行列式 n ? 1 = ? ? ? 5 . 已 知 二 项 式 (2 x ? 1 ) n 的 展 开 式 中 各 项 系 数 和 为 729 , 则 展 开 式 中 的 常 数 项 x
为 . ? 6.函数 y ? cos(x ? 12 ) cos(x ? 5? ) 的值域为 12 . .(用反三角表
y<x 是 y←2x+1 n←n+1 否 n>4 是 输出 x、y 结束 否 x←y+x 开始 x←1, y←0, n←1

7 . 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 C1 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 与 直 线

C2 : ? s i ? ? 2? c o?s ? 1的夹角大小为 n

示) 8.如程序框图所示,输出的 x、y,则 y-x= . 9.已知棱长为 2 的正方体内接于球 O,则正方体任意棱的两个端点的 球面距离为 . (用反三角表示) 10.有甲、乙两台相同的机器,它们互相独立工作,已知这两台机器在 一天内发生故障的概率都是 20%,一台机器一旦故障当天就亏损 5 万元无任意利润;若一台机器正常工作一天则可获利润 10 万元,则甲、 乙两台机器在一天内的利润期望为 万元.

11.已知 O 为原点, OQ ? (?2 ? 2 cos? , ? 2 ? 2 sin? )(0 ? ? ? 2? ) , 动点 P 在直线 2 x ? 2 y ? 1 上运动, 若从动点 P 向 Q 点的轨迹引切线, 则所引切线长的最 小值为 . 12 . 函 数 f ( x) ? l o g( x ? 2) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 像 恒 过 定 点 P , 若 P 在 直 线 a
1 4 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则 m ? n 的最小值为

.

13.已知数列{an}、{bn}都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1、b1,且 a1+b1=5,a1、 b1?N*, 设 cn= abn (n?N*),则数列{cn}的前 n 项和等于 .
r 14.将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成分数

1 r ( n ?1) C n

,就得到一个
1 3 1 5 1 4

1 1

如右所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三 1 1 角形可看出 1 r ? . r ?1 ? r
( n ?1) C n ( n ?1) C n
1 60

1 2

1 6

1 2

1 3

nC n?1

1 令 an ? 1 ? 12 ? 3

1 30

?
.

???

1 2 nC n ?1

?

1 2 ( n ?1) C n

(n ? 2, n ? N ? ) ,
1 7

则 lim an ?
n??

1 1 1 12 12 4 1 1 1 1 20 30 20 5 1 1 1 1 1 1 6 30 60 60 30 6 1 1 1 1 1 42 105 140 105 42

1 7

二、选择题(本大题共 4 题,共 20 分)

1

15.在△ABC 中,若 cosAcosB-sinAsinB>0,则这个三角形一定是 (A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形
2 2

(D)以上都有可能

16.在实数集 R 上定义运算 ? : x ? y ? 2x ? y ? 1 ? y ,则满足 x ? y ? y ? x 的实数 对 ( x, y) 在平面直角坐标系中对应点的轨迹为 (A)双曲线 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)以上都不对 17.对于实数 x,用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.98]=0,[1.2]=1,若 n?N*,an= [ n ] , 4 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S4n 为 (A) 2n ? n
2

(B) 2n ? 2n
2

(C) 2n ? n
2

(D) 2n ? 2n
2

18.方程 lg x2 ? 6 ? (| x | ?2010 x | ?2012 的解的个数为 )(| ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 三、解答题(本大题 74 分) 19.如图,该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径 BC=4,AB=AC, ?BAC=90?, B1C D 为半圆弧 的中点,若异面直线 BD 和 AB1 所成角的大小为 arccos 2 ,求: 3
1

(1)该几何体的体积; (2)直线 AD 与平面 ACC1A1 所成角的大小.

D B1 A1 C1

B A

C

20.已知△ABC 的面积为 3,并且满足 2 3 ? AB ? AC ? 6 3 , 设 AB 与 AC 的夹角为 ? . (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ? 2 3 sin 2 ( ? ? 2? ) ? 2 cos2 2? ? 3 的零点. 4

21.已知奇函数 f ( x) ? log2 (a ? x) ? log2 (a ? x)(a ? 0) ,定义域为 (b, b ? 2) (定义域是 指使表达式有意义的实数 x 的集合). (1)求实数 a 和 b 的值,并证明函数 f (x) 在其定义域上是增函数; (2)设 f (x) 的反函数为 f 数 m 的取值范围.
?1

( x) ,若不等式 f ?1 ( x) ? m ? 2x 对于 x ? [1,2] 恒成立,求实

2

22 . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 Sn ? 2an ? 10 ? 12( 2 )n (n ? N ? ) , 设 3

bn ? ( 3 )n ? an . 2
(1)求证: {bn } 为等差数列; (2)若 cn ?
1 bn ?bn?1

,求 lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ) 的值;
n?? 1 b1

(3)是否存在正实数 k,使得 (1 ? 立?

)(1 ? b12 )?(1 ? b1n ) ? k 2n ? 1 对任意 n?N*都成

若存在,求实数 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

23.如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,M 为直线 l : y ? ?2 p 上任意一点,过 M 引 抛物线的切线,切点分别为 A、B. (1)设抛物线上一点 P 到直线 l 的距离为 d,F 为焦点,当 d ? | PF |? 3 时,求抛物线 2
2

方程; (2)若 M(2,-2),求线段 AB 的长; (3)求 M 到直线 AB 的距离的最小值.
A

y B

O M l

x

3


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