2014年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(课标Ⅰ卷文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 3?, B ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 M ? B ? ( A. ( ?2,1) B. (?1,1) C. (1,3) D. ( ?2,3) )

(2)若 tan ? ? 0 ,则( ) A. sin ? ? 0 (3)设 z ? B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

1 ? i ,则 | z |? ( ) 1? i
B.

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D. 2

(4)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? ( ) a2 3
B.

A. 2

6 2

C.

5 2

D. 1

(5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

(6)设 D, E , F 分别为 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? ( ) A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

(7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos(2 x ? 期为 ? 的所有函数为( ) A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

?

) ,④ y ? tan(2 x ? ) 中,最小正周 6 4

?

(8) 如图, 网格纸的各小格都是正方形, 粗实线画出的事一个几何体的三视图, 则这个几何体是 ( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱



1

(9)执行右面的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M ? ( A.

)

20 3

B.

7 2

C.

16 5

D.

15 8

(10) 已知抛物线 C: y ? x 的焦点为 F , A
2

,则 x ?x , y ?是 C 上一点, AF ? 5 4x
0 0
0

0

?(



A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

(11)设 x , y 满足约束条件 ? A.-5 C.-5 或 3
3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7,则 a ? ( ) ? x ? y ? ?1,
B. 3 D. 5 或-3
2

(12)已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 , 则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 2, ?? ? B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2 ? D. ? ??, ?1?

第 II
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分



(13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为_____. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时,

2

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.

?e x ?1 , x ? 1, ? (15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值范围是________. 3 ? x , x ? 1, ?
(16)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得

M 点的仰角

?MAN ? 60? ,C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知
山高 BC ? 100m ,则山高 MN ? ________ m .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a 2 , a 4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的根。
2

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

3

(18)(本小题满分 12 分) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如 下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产 品至少要占全部产品的80%”的规定?

4

(19)(本题满分12分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
?

(20) (本小题满分 12 分) 已知点 P (2,2) , 圆C : x ? y ? 8y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点, 线段 AB
2 2

的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

5

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线斜率为 0 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清 题号. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是 ?O 的内接四边形, AB 的延长线与

DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE .
(I)证明: ?D ? ?E ;

B ? M C , (II) 设 AD 不是 ?O 的直径,AD 的中点为 M , 且M
证明: ?ABC 为等边三角形.

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ( t 为参数) ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线, 交 l 于点 A , 求 PA 的最大值与最小值.

6

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0, 且
3 3

1 1 ? ? ab a b

(I)求 a ? b 的最小值; (II)是否存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

7

2014 年普通高等学校统一考试(课标Ⅰ卷) 数学(文科)参考答案
一、选择题 1-5. BABDA 二、填空题 13. 6-10. CCBDC 11-12. BA

2 3

14. A

15. (??,8]

16. 150

三、解答题 17. 解: (1)因为 a2 , a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两个根,
2

且 {an } 使递增的等差数列, 所以 sn ?

3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 2 2 2 2 2

设首项为 d ,公差为 d ,依题意可得

?a1 ? d ? 2 ? ?a1 ? 3d ? 3
所以 an ? (2)由(1)知 所以 Sn ?

3 ? a1 ? ? ? 2 解得 ? ?d ? 1 ? ? 2

n?2 2 an n ? 2 ? 2n 2n?1 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 2 2 2 2 2


1 3 4 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? ... ? n?1 ? n? 2 2 2 2 2 2
①-②得



1 3 1 1 n ?1 n ? 2 Sn ? ? 3 ? 4 ? ... ? n?1 ? n?2 2 4 2 2 2 2
2 2

所以, x ? ( y ? 4) ? 16 18.解: (1)

8

(2)质量指标值的样本平均数为 x ? 质量指标值的样本方差为

80 ? 6 ? 90 ? 26 ? 100 ? 38 ? 110 ? 22 ? 120 ? 8 ? 100 100

(3)依题意

38 ? 22 ? 8 = 68% < 80% 100

所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 的 80%”的规定。 19. (1)证明: 因为 AO ? 平面 BB1C1C ,

(2)解: 因为 AO ? 平面 BB1C1C ,所以 AO ? BO ,

9

20.解: (1)圆的标准方程, x ? ( y ? 4) ? 16
2 2

设 k AB ? 则 k AB ?

y?2 y?4 ,圆心 C (0, 4) , , kCM ? x?2 x y?2 y?4 , kCM ? x?2 x y?2 y?4 ? ?1 x?2 x
2

所以 k AB kCM ?
2

化简得, x ? y ? 2 x ? 6 y ? 8 ? 0 (2)依题意, | OP |? 2 2 所以,M 也在 x ? y ? 8 上
2 2

10

11

22.(本小题满分 10 分) (1)证明:由题设得,A,B,C,D 四点共圆,所以, ?D ? ?CBE 又? CB ? CE ,??CBE ? ?E 所以 ?D ? ?E

12

24.

13


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