第一讲 三角函数的图象与性质(教案)

?数学

专题二

三角函数、平面向量

第一讲 三角函数的图象与性质
[考情分析] 三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质,考查中以图象的变换、函数的单调 性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点,并常与三角变换交汇命题,难度为中档偏 下.

[真题自检] π 1.(2017· 高考全国卷Ⅱ)函数 f(x)=sin(2x+ )的最小正周期为( 3 A.4π C.π B.2π π D.2 )

π? 1 ? 2.(2016· 高考全国卷Ⅰ)将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个周期后,所得图象对应的 ? ? 函数为( ) π? ? B.y=2sin?2x+3? ? ? π? ? D.y=2sin?2x-3? ? ?

π? ? A.y=2sin?2x+4? ? ? π? ? C.y=2sin?2x-4? ? ?

3.(2017· 高考全国卷Ⅱ)函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为________.

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 [方法结论] 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 π 3π (1)“五点法”作图:设 z=ωx+φ,令 z=0,2,π, 2 ,2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描 点、连线可得. (2)图象变换:

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[题组突破]

1.(2017· 呼和浩特调研)如图是函数 f(x)=sin 2x 和函数 g(x)的部分图象,则 g(x)的图象可能是 由 f(x)的图象( )

2π A.向右平移 3 个单位得到的 7π C.向右平移12个单位得到的

π B.向右平移3个单位得到的 π D.向右平移6个单位得到的

2.(2017· 河西五市联考)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度 后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A.12 π C.3 π B.6 5π D. 6 ) )

3.(2017· 合肥模拟)要想得到函数 y=sin 2x+1 的图象,只需将函数 y=cos 2x 的图象( π A.先向左平移4个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 π B.先向右平移4个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 π C.先向左平移2个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 π D.先向右平移2个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 [误区警示]

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作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量 x 的变化量,因此由 y=sin ωx(ω>0)的图象得到 y=sin(ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平 |φ| 移 ω 个单位,而非|φ|个单位.

由图象求 y=Asin(ωx+φ)的解析式 [方法结论] 函数 y=Asin(ωx+φ)解析式的确定 利用函数图象的最高点和最低点确定 A,利用周期确定 ω,利用图象的某一已知点确定 φ.

[题组突破] 1.(2017· 贵阳模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其导数 f′(x)的图象 π 如图所示,则 f(2)的值为( )

A.2 2

B. 2

2 C.- 2

2 D.- 4 )

2.(2017· 沈阳模拟)某函数部分图象如图所示,它的函数解析式可能是(

? 5 3π? A.y=sin?-6x+ 5 ? ? ? ?6 3π? C.y=sin?5x+ 5 ? ? ?

?6 2π? B.y=sin?5x- 5 ? ? ? ?5 3π? D.y=-cos?6x+ 5 ? ? ?

[误区警示] 用五点法求 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升

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π 时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时 ωx+φ=2;“第三点”(即 3π 图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时 ωx+φ= 2 ;“第 五点”时 ωx+φ=2π.

考点三: 三角函数的性质 [方法结论] 1.三角函数的单调区间 π π? π 3π? ? ? y=sin x 的单调递增区间是?2kπ-2,2kπ+2?(k∈Z),单调递减区间是?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈ ? ? ? ? Z); y=cos x 的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z); π π? ? y=tan x 的递增区间是?kπ-2,kπ+2?(k∈Z). ? ? 2.三角函数奇偶性判断 π y=Asin(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当 φ=kπ+2(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可 π 由 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)求得. π y=Acos(ωx+φ),当 φ=kπ+2(k∈Z)时为奇函数;当 φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可 由 ωx+φ=kπ (k∈Z)求得. y=Atan(ωx+φ),当 φ=kπ(k∈Z)时为奇函数. 3.三角函数周期性的求法 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 T=|ω|.应特别注意 y=|Asin(ωx+φ)|的 π 周期为 T=|ω|. 4.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域). (2)形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最 值).

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(3)形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二 次函数求值域(最值).

π 3 [典例 1](2017· 绵阳模拟)已知函数 f(x)=cos xsin(x+3)- 3cos2x+ 4 ,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间;

π π (3)求 f(x)在[-4,3]上的最大值和最小值.

?π? 典例 2.(2017· 上海普陀区调研)已知函数 f(x)=2sin2 x+bsin xcos x 满足 f?6?=2. ? ? (1)求实数 b 的值以及函数 f(x)的最小正周期; (2)记 g(x)=f(x+t),若函数 g(x)是偶函数,求实数 t 的值.

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三角函数与其他知识的交汇问题 三角函数的图象与性质是高考考查的重点,近年来,三角函数与其他知识交汇命题成为高考 的热点,由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、 向量、方程等知识的交汇. [典例 1] πx → +2OB → )· → =( 函数 y=2sin 2 +1 的部分图象如图所示,则(OA AB )

A.-10 C.5

B.-5 D.10

3π 3π 3π 2.已知定义在区间[0, 2 ]上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 4 对称,当 x≥ 4 时,f(x)= cos x,如果关于 x 的方程 f(x)=a 有解,记所有解的和为 S,则 S 不可能为( 5 A. π 4 9 C.4π 3 B. π 2 D.3π )

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[真题自检] π 2π 解析:依题意得,函数 f(x)=sin(2x+3)的最小正周期 T= 2 =π,选 C.

1..答案:C

π? π? 1 ? ? 2.答案:D 解析:函数 y=2sin?2x+6?的周期为 π,将函数 y=2sin?2x+6?的图象向右平移4个 ? ? ? ? π? π ? ? π? π? x-4?+ ?=2sin? ?2x-3?,故选 D. 周期即4个单位长度,所得图象对应的函数为 y=2sin?2? 6 ? ? ? ? ? ? 3.答案: 5 解析:依题意,得 f(x)= 5sin(x+θ)(其中 sin θ= 2 1 ,cos θ= ).因此函数 f(x) 5 5

的最大值是 5. 考点一 1. [题组突破]

π 2.B 解析:y=sin x+ 3cos x=2sin(x+3),将其图象向左平移 m 个单位后,得到的图象对应 π π π π 的函数解析式为 y=2sin(x+m+3),由题意得,m+3=2+kπ,k∈Z,则 m=6+kπ,k∈Z, π 故取 k=0 时,mmin= , 6 π 3. B 解析:先将函数 y=cos 2x 的图象向右平移4个单位长度,得到 y=sin 2x 的图象,再向上 平移 1 个单位长度,即得 y=sin 2x+1 的图象,故选 B.

考点 2 2π 3π π 1.D 解析:依题意得 f′(x)=Aωcos(ωx+φ),结合函数 y=f′(x)的图象可知,T= ω =4( 8 -8)

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1 3π 3π 7π 3π 3π =π,ω=2.又 Aω=1,因此 A=2.因为 0<φ<π, 4 < 4 +φ< 4 ,且 f′( 8 )=cos( 4 +φ)= 3π π 1 π π 1 π 1 2 2 -1,所以 4 +φ=π,φ=4 ,f(x)=2sin(2x+4),f(2)=2sin(π+4)=-2× 2 =- 4 ,故选 D. T 3π π 2.C 解析:通解:不妨令该函数解析式为 y=Asin(ωx+φ)(ω>0),由图知 A=1, 4 = 4 -3= 5π 2π 5π 6 π 6 π ,于是 = ,即 ω = , 是函数的图象递减时经过的零点,于是 12 ω 3 5 3 5×3+φ=2kπ+π,k∈ 3π Z,所以 φ 可以是 5 ,选 C ?π ? ?3 ? .或者由图象知过?3,0?点,代入选项可排除 A、D.又过点?4π,-1?,代入 B,C 知 C 正确. ? ? ? ?

考点三 π 3 典例 1 解析:由已知有 f(x)=cos xsin(x+3)- 3cos2x+ 4 1 3 3 =2sin xcos x- 2 cos2x+ 4 1 3 3 =4sin 2x- 4 (1+cos 2x)+ 4 1 3 =4sin 2x- 4 cos 2x 1 π =2sin(2x-3). 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. π π (2)因为 y=sin x 的单调递增区间为[2kπ-2,2kπ+2](k∈Z), π π π π 5π 所以 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z,即 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π 故 f(x)的单调递增区间为[kπ-12,kπ+12](k∈Z). π π π 5 π (3)因为 x∈[-4,3],所以 2x-3∈[-6π,3], π 3 1 π 1 3 所以 sin(2x-3)∈[-1, 2 ],所以 f(x)=2sin(2x-3)∈[-2, 4 ]. π π 3 1 故 f(x)在[-4,3]上的最大值为 4 ,最小值为-2.

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1 1 3 ?π? 典例 2 解析:(1)由 f?6?=2,得 2×4+b×2× 2 =2, ? ? 解得 b=2 3. π? ? 则 f(x)=2sin2 x+2 3sin xcos x=1-cos 2x+ 3sin 2x=1+2sin?2x-6?, ? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π? ? (2)由(1)得 f(x+t)=2sin?2?x+t?-6?+1, ? ? π? ? 所以 g(x)=2sin?2x+2t-6?+1, ? ? 又函数 g(x)是偶函数, 则对于任意的实数 x,均有 g(-x)=g(x)成立. π? π? ?? ? ?? ? 所以 sin??2t-6?+2x?=sin??2t-6?-2x?, ?? ? ? ?? ? ? π? ? 整理得 cos?2t-6?sin 2x=0. ? ? π? π π ? 则 cos?2t-6?=0,解得 2t-6=kπ+2,k∈Z, ? ? kπ π 所以 t= + ,k∈ 2 3

π π 1..解析:令 y=1,可得 sin2x=0,由五点作图法知2x=π,解得 x=2,故 A(2,1).令 y=2sin π π → → AB →= 2x+1=-1,得 sin 2x=-1,由五点作图法得 x=3,故 B(3,-1).所以(OA+2OB)· (8,-1)· (1,-2)=8+2=10,故选 D. 答案:D 3π 2 A 解析:依题意作出函数 f(x)在区间[0, 2 ]上的简图,当直线 y=a 与函数 y=f(x)的图象 有交点时, 2 方程 f(x)=a 有解,所以-1≤a≤0.①当- 2 <a≤0 时,f(x)=a 有 2 个解,y=a 与 f(x)交点的 3π 3π 3π 2 横坐标关于 x= 4 对称,所以(x1+X2)/2= 4 ,此时 S= 2 .②当 a=- 2 时,f(x)=a 有 3 个解,

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3π 3π 9π 2 3π 此时 S= 4 + 2 = 4 .③当-1<a<- 2 时,f(x)=a 有 4 个解,此时 S=2× 2 =3π.④当 a=- 3π 1 时,f(x)=a 有 2 个解,此时 S= 2 .故选 A.

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