18-19学年高中数学 第一章 导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测 -2_图文







核心要点



归纳





阶段质量



检测





一、导数的概念

1.导数

函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx

无限趋近于0时,比值

Δy Δx



f?x0+Δx?-f?x0? Δx

无限趋近于一个

常数A,则称f(x)在点x=x0处可导,称常数A为函数f(x)在点 x=x0处的导数,记作f′(x0).

2.导函数 若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f′(x)在 各点的导数中随着自变量x的变化而变化,因而也是自 变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数.记作f′(x). 二、导数的几何意义 1.f′(x0)是函数y=f(x)在x0处切线的斜率,这是导 数的几何意义.

2.求切线方程: 常见的类型有两种: 一是函数y=f(x)“在点x=x0处的切线方程”,这种类型 中(x0,f(x0))是曲线上的点,其切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x -x0). 二是函数y=f(x)“过某点的切线方程”,这种类型中, 该点不一定为切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y -y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1= f′(x1)(x0-x1),又y1=f(x1),由上面两个方程可解得x1,y1的 值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.

三、导数的运算 1.基本初等函数的导数 (1)f(x)=C,则f′(x)=0(C为常数); (2)f(x)=xα,则f′(x)=α·xα-1(α为常数); (3)f(x)=ax(a>0且a≠1),则f′(x)=axln a; (4)f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f′(x)=xln1 a; (5)f(x)=sin x,则f′(x)=cos x; (6)f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x.

2.导数四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)????gf??xx??????′=f′?x?g?xg?-2?xf??x?g′?x?(g(x)≠0). 四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤: (1)求导数f′(x); (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0; (3)写出单调增区间或减区间.

特别注意写单调区间时,区间之间用“和”或“,” 隔开,绝对不能用“∪”连接.
五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求方程f′(x)=0的根; (3)检验f′(x)=0的根的两侧的f′(x)的符号,若左正 右负,则f(x)在此根处取得极大值. 若左负右正,则f(x)在此根处取得极小值,否则此根 不是f(x)的极值点.

六、求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值、最小值 的方法与步骤
(1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较,其中最大的 一个值为最大值,最小的一个值为最小值. 特别地,①当f(x)在[a,b]上单调时,其最小值、最 大值在区间端点取得;②当f(x)在(a,b)内只有一个极值 点时,若在这一点处f(x)有极大(或极小)值,则可以判断 f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是 (-∞,+∞).

七、导数的实际应用 利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问 题: (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实 际意义去考查,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,由f′(x)=0常常仅解到一个 根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得 到,则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.

八.定积分 (1)定积分是一个数值.定积分的定义体现的基本思想 是:先分后合、化曲为直(以不变代变). 定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的 面积.要注意区分????abf(x)dx,????ab|f(x)|dx及???????abf?x?dx???三者的不同. (2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法,关键是求 被积函数的原函数.而求被积函数的原函数和求函数的导函 数恰好互为逆运算,要注意它们在计算和求解中的不同,避 免混淆.

一、填空题 (本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把答案填在题 中横线上) 1.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为____.
解析:∵f(x)=ax2+c,∴f′(x)=2ax, ∴f′(1)=2a, 又∵f′(1)=2,∴a=1.
答案:1

2.曲线y=x3-4x在点(1,-3)处的切线的倾斜角为_____.
解析:∵y′=3x2-4, ∴当x=1时,y′=-1,即tan α=-1. 又∵α∈(0,π),∴α=34π. 答案:34π

3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x+18在(-∞,+∞)上是单 调函数,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+ ∞)上恒成立,因此Δ=4a2-12≤0?- 3 ≤a≤ 3 ,所 以实数a的取值范围是[- 3, 3]. 答案:[- 3, 3]

4.y=2x3-3x2+a的极大值为6,则a=________.
解析:y′=6x2-6x=6x(x-1), 令y′=0,则x=0或x=1. 当x=0时,y=a,当x=1时,y=a-1. 由题意知a=6. 答案:6

5.函数y=sinx x的导数为________.

解析:y′=???sinx

x??′
?

=x·?sin

x?′-?x?′·sin x2

x

=xcos

x-sin x2

x .

答案:xcos

x-sin x2

x

6.若????01(x-k)dx=32,则实数k的值为________. 解析:????01(x-k)dx=???12x2-kx???|10=12-k=32, 解得k=-1.
答案:-1

7.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是________.

解析:∵f′(x)=2x-1x=2x2x-1. 令f′(x)<0,因为x∈(0,+∞), ∴2x2-1<0,即0<x< 22, ∴函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间是????0, 22????.

答案:????0,

2?? 2 ??

8.函数f(x)=3x-4x3在[0,1]上的最大值为________.
解析:f′(x)=3-12x2, 令f′(x)=0,则x=-12(舍去)或x=12, f(0)=0,f(1)=-1,f???12???=32-12=1 ∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
答案:1

9.(山东高考改编)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成 的封闭图形的面积为________.

解析:由4x=x3,解得x=0或x=2或x=-2(舍去),根

据定积分的几何意义可知,直线y=4x与曲线y=x3在

第一象限内围成的封闭图形的面积为

??2?4x-x3?dx
?



?0

???2x2-14x4???|20=4.

答案:4

10.若f(x)=?????x-2+x?3x?<x0≥?,0?, 则??1-1f(x)dx=________. 解析:因为??1-1f(x)dx=??0-1(-x)dx+??10(x2+3)dx. 因为???-12x2???′=-x,???13x3+3x???′=x2+3, 所以??1-1f(x)dx=-12x2|0-1+???13x3+3x???|10=263. 答案:263

11.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的

横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99=________.

解析:由于y′

?
??x=1

=n+1,∴曲线在点(1,1)处的切线为

y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=xn=n+n 1,

∴an=lg

n n+1

,∴原式=lg

1 2

+lg

2 3

+…+lg

99 100



lg???12×23×…×19090???=lg1100=-2.

答案:-2

12.若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域的一个子区间(k-1,k

+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________.

解析:∵f′(x)=4x-

1 x



4x2-1 x

,x>0,∴当0<x<

1 2

时,f′(x)<0,f(x)为减函数,当x>12时,f′(x)>0,f(x)

???0≤k-1<12, 为增函数,依题意得??12<k+1,
??k-1<k+1. 答案:???1,32 ???

∴1≤k<32.

13.周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则 圆柱体积的最大值为________.

解析:设矩形一边长为xcm,则邻边长为(10-x)cm;

体积V=πx2(10-x)=π(10x2-x3),

由V′=π(20x-3x2)=0得x=0(舍去),

x=230可以判断x=230时,Vmax=4 20700π(cm3).

答案:4

000 27 π

cm3

14.已知f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)为f(x)的导函数,且

满足f(x)<-xf′(x),则不等式f(x+1)>(x-1)·f(x2-1)

的解集是________. 解析:令g(x)=x·f(x) 则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0. ∴g(x)在(0,+∞)上为减函数. 又∵f(x+1)>(x-1)f(x2-1), ∴(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),

∴???xx2+-11>>00,, ??x+1<x2-1

??x>-1, ??x<-1或x>1,
??x<-1或x>2.

∴x>2. 答案:{x|x>2}

二、解答题

(本大题共6个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax2-

4 3

ax+b,f(1)=

2,f′(1)=1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.

解:(1)f′(x)=2ax-43a,

由已知得???f′?1?=2a-43a=1, ??f?1?=a-43a+b=2,

解得???a=32, ??b=52.

所以f(x)=32x2-2x+52.

(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,

即x-y+1=0.

16.(本小题满分14分)求下列定积分. (1)??1-2(1-t3)dt; (2)??0-π(cos x+ex)dx; (3)??42x3-3xx2 2+5dx. 解:(1)∵???t-14t4???′=1-t3, ∴??1-2(1-t3)dt=???t-14t4???|1-2=???1-14???-(-2-4)=34.

(2)∵(sin x+ex)′=cos x+ex,

∴??0-π(cos x+ex)dx=(sin x+ex)|0-π =1-e-π=1-e1π.

(3)??42x3-3xx2 2+5dx=??42???x-3+x52???dx

取F(x)=12x2-3x-5x,

则F′(x)=x-3+x52,

??42x3-3xx2 2+5dx=F(4)-F(2)

=???12×42-3×4-54???-???12×22-3×2-52???

=54.

17.(本小题满分14分)已知x=1是函数f(x)=

1 3

ax3-

3 2

x2+

(a+1)x+5的一个极值点.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,求实

数m的取值范围.

解:(1)依题意f′(x)=ax2-3x+a+1,

由f′(1)=0得a=1,

∴函数f(x)的解析式为f(x)=13x3-32x2+2x+5.

(2)曲线y=f(x)与直线y=2x+m有三个交点,

即13x3-32x2+2x+5-2x-m=0有三个实数根,

令g(x)=

1 3

x3-

32x2+2x+5-2x-m=

1 3

x3-

3 2

x2+5-m,则

g(x)有三个零点.

由g′(x)=x2-3x=0得x=0或x=3.

令g′(x)>0得x<0或x>3;令g′(x)<0得0<x<3.

∴函数g(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,3)上为减函数, 在(3,+∞)上为增函数. ∴函数在x=0处取得极大值,在x=3处取得极小值. 要使g(x)有三个零点,只需?????gg??03??><00, , 解得12<m<5. ∴实数m的取值范围为???12,5???.

18.(本小题满分16分)已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ ax-2(e≈2.71,a∈R). (1)判断曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y= g(x)的公共点个数; (2)当x∈ ???1e,e??? 时,若函数y=f(x)-g(x)有两个零点, 求a的取值范围.

解:(1)f′(x)=ln x+1,所以斜率k=f′(1)=1. 又f(1)=0,曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 由?????yy= =- x-x21+ax-2 ?x2+(1-a)x+1=0. 由Δ=(1-a)2-4=a2-2a-3可知: 当Δ>0时,即a<-1或a>3时,有两个公共点; 当Δ=0时,即a=-1或a=3时,有一个公共点; 当Δ<0时,即-1<a<3时,没有公共点. (2)y=f(x)-g(x)=x2-ax+2+xln x, 由y=0得a=x+2x+ln x. 令h(x)=x+2x+ln x,

则h′(x)=?x-1x??2x+2?. 当x∈???1e,e???,由h′(x)=0得x=1. 所以h(x)在???1e,1???上单调递减,在[1,e]上单调递增, 故hmin(x)=h(1)=3. 由h???1e???=1e+2e-1,h(e)=e+2e+1, 比较可知h???1e???>h(e). 所以,当3<a≤e+2e+1时,函数y=f(x)-g(x)有两个零点.

19.(本题满分16分)某公司将进货单价为a元(a为常数, 3≤a≤6)一件的商品按x元(7≤x≤10)一件销售,一个 月的销售量为(12-x)2万件. (1)求该公司经销此种商品一个月的利润L(x)(万元)与每 件商品的售价x(元)的函数关系式; (2)当每件商品的售价为多少元时,L(x)取得最大值?并 求L(x)的最大值. 解:(1)L(x)=(x-a)(12-x)2(7≤x≤10). (2)L′(x)=(12-x)2+(x-a)(2x-24)
=(12-x)(12+2a-3x).
令L′(x)=0得x=2a+3 12或x=12.

由a∈[3,6]得2a+3 12∈[6,8]. 当2a+3 12∈[6,7],即3≤a≤92时, L(x)在[7,10]上是减函数, L(x)的最大值为L(7)=25(7-a); 当2a+3 12∈(7,8],即92<a≤6时, L(x)在????7,2a+3 12????上是增函数, 在[2a+3 12,10]上是减函数.

L(x)的最大值为L????2a+3 12????=4?122-7 a?3

综上可知,若3≤a≤92,则当x=7时,

L(x)取得最大值,最大值是25(7-a);



9 2

<a≤6,则当x=

2a+12 3

时,L(x)取得最大值,最大值

是4?122-7 a?3.

20.(本小题满分16分)(山东高考)设函数f(x)=aln

x+

x-1 x+1



其中a 为常数.

(1)若 a=0,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性. 解:(1)由题意知a=0时,f(x)=xx+-11,x∈(0,+∞).

此时f′(x)=?x+2 1?2.

可得f′(1)=12,又f(1)=0,

所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞). f′(x)=ax+?x+2 1?2=ax2+x??2xa++12??2x+a. 当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①当a=-12时,Δ=0, f′(x)=-x12?x?x+-11?2?2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,

f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

③当-12<a<0,Δ>0.

设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,

则x1=-?a+1?+a

2a+1,x2=-?a+1?-a

2a+1 .

由x1=a+1--a2a+1



a2+2a+1- -a

2a+1>0,

所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 综上可得:

当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;

当-12<a<0时,f(x)在????0,-?a+1?+a

2a+1???,
?

??-?a+1?-

? ?

a

2a+1,+∞???上单调递减,
?

在????-?a+1?+a 2a+1,-?a+1?-a 2a+1????上单调递增.


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