惠州市2014届高三第三次调研考试数学(理科)试题

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惠州市 2014 届高三第三次调研考试

数 学(理科)

注意事项:

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改

液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P(A ? B) ? P(A) ? P(B)

如果事件 A、B 相互独立,那么 P(AB) ? P(A)P(B)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求.

1. 若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( )

A .1

B.2

C .1或2

D . ?1

2.已知集合 S ? {y | y ? 2x},集合T ? {x | ln(x ?1) ? 0},则 S ?T ? ( )

A .?

B . (0, 2)

C . (0,1)

D . (1, 2)

3.设等比数列{an

}

的公比

q

?

2

,前

n

项和为

Sn

,则

S a

4 2

?(

A.2

B.4

C . 15 2

D . 17 2

4. 执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? ( )

A.3

B.4

C .5

D.6

5.

设椭圆 x2 m2

?

y2 n2

? 1(m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y2

? 8x

的焦点相同,离心率为 1 ,则此椭圆的方程为( ) 2

开始 )
输入 p
n ?1,S ? 0

S? p?


S

?

S

?

1 2n

n ? n?1


输出 n
结束

A . x2 ? y2 ?1 B . x2 ? y2 ?1

16 12

12 16

C . x2 ? y2 ?1 48 64

D . x2 ? y2 ?1 64 48

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6.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行统计,其频

率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售 频率
额为 2.5 万元,则 11 时到 12 时的销售额为( ) 组距
A . 6 万元
0.40
B . 8 万元

C .10 万元

0.25

D .12万元
0.10

0

9 10 11 12 13 14 时间

7. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的表面积是( )

A . 9?
2
B .10?

C .11?

3

D .12?

2

2

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

8.已知函数 f (x) ? x3 ? ln( x2 ?1 ? x), 则对于任意实数 a,b(a ? b ? 0) ,

则 f (a) ? f (b) 的值为( ) a?b

A.恒正 B .恒等于 0

C.恒负

D. 不确定

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分)

(一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

9 .设 随机变 量 ? 服 从正态 分布 N (3, 4) , 若 P(? ? 2a? 3)? P ?( ? a? 2,) 则 a 的 值





10. 已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) ,| ?a ? b |? 29 且 ? ? 0 ,则 ? ?



11. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有1名女生,

那么不同的选派方案种数为

.(用数字作答)

?x ? 0,

12.



a

?

0,

b

?

0

,且当

? ?

y

?

0,

时,恒有 ax ? by ? 1,则以 a , b 为坐标点 P(a,b) 所形

??x ? y ? 1

成的平面区域的面积等于



13. 对于 n ? N* ,将 n 表示为 n ? ak ? 2k ? ak?1 ? 2k?1 ? ??? ? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时,

ai ? 1 ;当 0 ? i ? k ?1时,ai 为 0 或 1. 定义 bn 如下:在 n 的上述表示中,当 a0 , a1, a2 ,???, ak

中等于 1 的个数为奇数时, bn ? 1;否则 bn ? 0 .则 b3 ? b4 ? b5 ? b6 ?



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(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? 的圆心到直线 ? cos? ? 2 的

距离是____________.
15.(几何证明选讲选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F ,
A
E 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 2 , AF : FB : BE ? 4 : 2 :1,

D

B

F

E

若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为



C

三、解答题:(本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(本小题满分12分)
在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,设向量

m

?

(cos

A, sin

A),

n

?

(cos

A, ? sin

A)

,且 m



n

的夹角为

? 3



(1)计算 m ? n 的值并求角 A 的大小;

(2)若 a ? 7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

17.(本题满分 12 分)

甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对为本队赢得一分,

答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 2 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 2 , 2 , 1 ,

3

332

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用? 表示甲队的总得分.

(1)求随机变量? 的分布列和数学期望;

(2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3 ”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队

总得分”这一事件,求 P( AB) .

18.(本小题满分 14 分)
如图,平行四边形 ABCD 中,AB ? BD ,AB ? 2 ,BD ? 2 ,沿 BD 将 ?BCD 折 起,使二面角 A? BD ?C 是大小为锐角? 的二面角,设 C 在平面 ABD上的射影为 O . (1)求证: OD // AB ; (2)当? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? C
D C

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A

B

A

B

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19.(本小题满分 14 分)

正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 .

(1)求数列{an}的通项公式 an ;

(2)令 bn

?

n ?1 (n ? 2)2 an2

,数列{bn}的前 n

项和为 Tn

,证明:对于任意的 n ? N*

,都有 Tn

?

5 64



20.(本小题满分 14 分)
如图,已知动圆 M 过定点 F(0,1) 且与 x 轴相切,点 F 关 于圆心 M 的对称点为 F? ,动点 F? 的轨迹为 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2)设 A(x0 , y0 ) 是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两 条倾斜角互补的直线,分别与曲线 C 相交于另外两点 P 、 Q , 证明:直线 PQ 的斜率为定值.

21.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? ex ? kx, x ? R . (1)若 k ? e ,试确定函数 f (x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n
(3)设函数 F(x) ? f (x) ? f (?x) ,求证: F (1)F (2) ??? F (n) ? (en?1 ? 2)2 (n ? N *) .

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数学 (理科)参考答案与评分标准

一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分

题号

1

2

3

4

5

答案

B

D

C

B

A

6

7

8

C

D

A

1.【解析】1.由 a2 ? 3a ? 2 ? 0 且 a ?1 ? 0 得 a ? 2 ,选 B;
2.【解析】集合 A ? ?x | ?3 ? 2x ?1? 3? ? ?x | ?1? x ? 2? ,集合 B 为函数 y ? 1g(x ?1) 的 定义域,所以 B ? ?x | x ?1?,所以 A B ? (1,2]。故选 D

a1(1? q4 )

3【解析】解: S4 ?

1? q

1? 24 ?

? 15

故选

C

a2

a1q

?2 2

4.【解析】解: 1 ? 1 ? 1 ? 0.8 ,因此输出 n ? 4.故选 B 248

5.【解析】抛物线 y2 ? 8x 的焦点为(2,0),∴椭圆焦点在 x 轴上且半焦距为 2,

∴ 2 ? 1 ? m ? 4 ,∴ n2 ? 42 ? 22 ? 12,∴椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 故选 A。

m2

16 12

6.【解析】设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依设有 2.5 ? 0.10 ? x ? 10 ,选 C x 0.40
7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1?3 ? 12?. 故选 D

8.【解析】【答案】A

解析:,可知函数 f (x) ? f (?x) ? x3 ? ln( x2 ? 1 ? x) ? (?x)3 ? ln( x2 ? 1 ? x) ? 0

所以函数为奇函数,同时, f ' (x) ? 3x2 ? 1 ? 0 也是递增函数,注意到 x2 ?1

f (a) ? f (b) ? f (a) ? f (?b) ,所以 f (a) ? f (b) ? 0 同号,所以,选 A

a?b

a ? (?b)

a?b

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题.

9. a ? 7 10.3 3

11.14 12.1 13.1 14.1 15. 7 2

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9.【解析】因为 ?=3 ,所以 (2a ? 3) ? (a ? 2) ? 3 得 a ? 7

2

3

10.【解析】由题意 ?a ? b = (4,1? ?, ?) ? 16 ? (? ?1)2 ? ?2 ? 29(? ? 0) ? ? ? 3

11. 【解析】6 人中选 4 人的方案 C64 ? 15 种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的
方案总数有 14 种。
12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由 ax ? by ? 1恒成立知,当 x ? 0 时,

by ? 1恒成立,∴ 0 ? b ?1;同理 0 ? a ?1,∴以 a ,b 为坐标点 P(a,b)
所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为 1.
13.【解析】依题意有 3 ? 1? 21 ? 1? 20 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 0 ? 20 , b4 ? 1; 5 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ?1? 20 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 22 ?1? 21 ? 0 ? 20 , b6 ? 0 . 故 b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? 1
14.【解析】曲线 ? ? 2cos? 即 ? x ?1?2 ? y2 ? 1,表示圆心在(1,0),半径等于 1 的圆,

直线 ? cos? ? 2 即直线 x ? 2 ,故圆心到直线的距离为 1。
15.【解析】设 BE ? x ,则 AF ? 4x, FB ? 2x ,由 AF ? FB ? DF ? FC 得 x ? 1 。又 2
CE 2 ? EB ? EA得 CE ? 7 2
三、解答题:
16. (本小题满分 12 分)
解:(1) m ? cos2 A ? sin2 A ? 1, n ? cos2 A ? (?sin A)2 ? 1, ? m ? n = m? n?c o sπ ? 1 ·.···························································3 分 32 m ? n= cos2 A ? sin2 A ? cos 2 A ,
? cos 2A ? 1 . ·············································································5 分 2
0 ? A ? π , 0 ? 2A ? π, 2
? 2A ? π , A ? π . ·······································································7 分 36
(2)(法一) a ? 7, c ? 3 , A ? π , 及 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A, 6

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?7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1(舍去)或 b ? 4. ····························10 分

故 S ? 1 bc sin A ? 3. ························································12 分 2
(法二) a ? 7, c ? 3 , A ? π , 及 a ? c , 6 sin A sin C

?sin C ? c sin A ? 3 .·······················································7 分 a 27

a ?c,

?0 ? C ? π , cos C ? 1? sin2 A ? 5

2

27

sin B ? sin(π ? A ? C) ? sin( π ? C) ? 1 cosC ? 3 sin C ? 2

6

2

2

7

?b ? a sin B ? 4 . ·····························································10 分 sin A

故 S ? 1 bc sin A ? 3. ·······················································12 分 2

17(本小题满分 12 分)

解:(1)解法一:由题意知,? 的可能取值为 0,1,2,3,且 …………1 分

P(?

?

0)

?

C30

? ???1 ?

2 3

3
? ??

?

1 27



P(?

? 1)

?

C31

?

2 3

? ???1 ?

2 3

2
? ??

?

2 9

,…………3



P(?

?

2)

?

C32

?

? ??

2

2
?

3 ??

? ???1 ?

2 3

? ??

?

4 9



P(?

?

3)

?

C33

?

? ??

2 3

3
? ? ?

?

8 27

.…………5



所以? 的分布列为

?

0

1 P
27

1

2

3

2

4

8

9

9

27

? 的数学期望为 E? ? 0? 1 ?1? 2 ? 2? 4 ? 3? 8 ? 2 .…………7 分 27 9 9 27

解法二:根据题设可知, ?

~

B

? ??

3,2 3

? ??

,…………3



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因此? 的分布列为

P(?

?

k)

?

C3k

?

? ??

2

k
?

3 ??

? ???1 ?

2 3

3?k
? ??

?

C3k

?

2k 33

k ? 0,1,2,3.…………5 分

因为 ?

~

B

? ??

3,2 3

? ??

,所以

E?

?

3?

2 3

?

2 .…………7



(2)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分 乙得 0 分”这一事件,所以 AB ? C D ,且 C,D 互斥,又…………8 分

P(C)

?

C32

?

? ??

2 3

2
? ??

? ???1 ?

2 3

? ??

?

?2 ?? 3

?

1? 3

1 2

?

1? 3

2 3

?

1 2

?

1? 3

1? 3

1? 2 ??

?

10 34

,…………10



P(D)

?

C33

? ???

2 3

3
? ??

?

? ??

1 3

?

1 3

?

1? 2 ??

?

4 35

,…………11



由互斥事件的概率公式得

P( AB)

?

P(C) ? P(D)

?

10 34

?

4 35

?

34 35

?

34 .…………12 分 243

解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件,k ? 0,1,2,3.

由于事件 A3B0 , A2B1 为互斥事件,故有 P( AB) ? P( A3B0 A2B1) ? P( A3B0 ) ? P( A2B1) .

因此

由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,…………10 分

P( AB) ? P( A3B0 ) ? P( A2B1) ? P( A3)P(B0 ) ? P( A2 )P(B1)

?

? ??

2 3

?3 ? ?

?

? ??

1 32

?

1 2

? ??

?

C32

?

22 32

?

? ??

1 2

?

1 32

?

1 2

?

C21

?

2 32

? ??

?

34 243

.…………12



18(本小题满分 14 分)

解: (1)∵ CO ? 平面 ABD, CO ? BD ,…1 分

∵ BD ? SD , SD ? CO ? O …3 分

?BD ? 面SCD…4 分

又OD? 面COD ∴ BD ? OD, ?AB ? BD ……6 分

……5 分

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∴ AB // OD. ……7 分

(2)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD上的射影,

∵ BD ? CD , CO ? 平面 ABD,∴ BD ? OD ,

∴ ?ODC ? ? ,

…………8 分

VC? AOD

?

1 3

S?AOD

? OC

?

1? 3

1 2

?OD ?

BD ?OC

………9 分

? 2 ?OD ?OC ? 2 ?CD ?sin? ?CD ? cos?

6

6

………10 分

? 2 ?sin 2? ≤ 2 ,

3

3

当且仅当 sin 2? ?1,即? ? 45?时取等号,

………12 分 ………13 分

∴当? ? 45?时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 2 . ……14 分
3
说明:向量法酌情给分 19(本小题满分 14 分)
(1)解:由 Sn2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ??Sn ? (n2 ? n)?? (Sn ?1) ? 0 . ………2 分
由于?an? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . …………3 分

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n . ………5 分

综上,数列?an? 的通项 an ? 2n . …………………6 分

(2)证明:由于 an

? 2n,bn

?

n ?1 (n ? 2)2 an2

.

…………7 分

则 bn

?

n ?1 4n2 (n ? 2)2

?

1 16

? ? ?

1 n2

?

(n

1 ? 2)2

? ? ?

.

…………9 分

Tn

?

1 16

? ?1? ?

1 32

?

1 22

?

1 42

?

1 32

?

1 52

?…?

1 (n ?1)2

?

1 (n ?1)2

?

1 n2

?

1 (n ? 2)2

? ? ?

……11 分

?

1 16

[1 ?

1 22

?

(n

1 ? 1)2

?

(n

1 ? 2)

2

]

…………13



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?

1 16

(1 ?

1 22

)

?

5 64

.

…………14 分

20(本小题满分 14 分)解:(1)(法 1)设 F '(x , y) ,因为点 F(0 , 1) 在圆 M 上,

且点 F 关于圆心 M 的对称点为 F' , 所以 M ( x , y ?1) , 22

…………1 分

且圆 M 的直径为| FF '|? x2 ? ( y ?1)2 .…………2 分

由题意,动圆 M 与 y 轴相切,

所以 | y ?1| ? x2 ? ( y ?1)2 ,两边平方整理得: x2 ? 4 y ,

2

2

所以曲线 C 的方程 x2 ? 4 y .

……………………………………6 分

(法 2)因为动圆 M 过定点 F(0 , 1) 且与 x 轴相切,所以动圆 M 在 x 轴上方,

连结 FF ' ,因为点 F 关于圆心 M 的对称点为 F' ,所以 FF ' 为圆 M 的直径.

过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,过点 F '作 F 'E ? x 轴,垂足为 E (如图 6-1).

在直角梯形 EOFF' 中,| F 'F |? 2 | MF |? 2 | MN |?| F 'E | ? | FO|?| F 'E | ?1,

即动点 F ' 到定点 F(0 , 1) 的距离比到 x 轴的距离 1.…………………3 分

又动点 F ' 位于 x 轴的上方(包括 x 轴上),

所以动点 F ' 到定点 F(0 , 1) 的距离与到定直线 y ? ?1的距离相等.

故动点 F ' 的轨迹是以点 F(0 , 1) 为焦点,以直线 y ? ?1为准线的抛物线.

所以曲线 C 的方程 x2 ? 4 y .

……………6 分

(2)①(法 1)由题意,直线 AP 的斜率存在且不为零,如图 6-2.

设直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0),则直线 AQ 的斜率为 ? k .

因为 A(x0 , y0 ) 是曲线 C : x2 ? 4 y 上的点,

所以

y0

?

x02 4

,直线 AP 的方程为 y ?

x02 4

? k(x ?

x0 ) .

?x2 ? 4y



? ?

?? y

?

x02 4

?

k(x

?

x0 )

?x

,解得

? ?

?? y

? ?

x0 x02 4

?x



? ?

?? y

? ?

?x0 ? 4k (?x0 ? 4k)2
4



………………7 分
y
P F? '

A ?M

?F Q

O

x

图6?2

所以点

P

的坐标为

(? x0

?

4k

,

(? x0

? 4

4k )2

)

,……………9





?

k

替换

k

,得点

Q

的坐标为

(? x0

?

4k

,

( x0

? 4k)2 4

)



……………10 分

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所以直线 PQ 的斜率 kPQ

?

(x0 ? 4k)2 ? (?x0 ? 4k)2

4

4

(?x0 ? 4k) ? (?x0 ? 4k)

? 16kx0 ? 32k

? ? x0 2

为定值.………14 分

(法

2)因为

A( x0

,

y0 )

是曲线 C



x2

?

4 y 上的点,所以

y0

?

x02 4



A( x0

,

x02 4

).

又点 P

、Q

在曲线 C



x2

?

4y

上,所以可设 P(x1

,

x12 4

)

, Q(x2

,

x22 4

),

……7 分

而直线 AP , AQ 的倾斜角互补,

x12 ? x02

x22 ? x02

所以它们的斜率互为相反数,即 4 4 ? ? 4 4 ,……9 分

x1 ? x0

x2 ? x0

整理得 x1 ? x2 ? ?2x0 .……10 分

x

2 2

?

x

2 1

所以直线 PQ 的斜率 k PQ ?

44 x2 ? x1

…11 分

? x1 ? x 2 …13 分 ? ?2x0 ? ? x0 …14 分为定值.………14 分

4

4

2

21(本小题满分 14 分)
解:(1)由 k ? e 得 f (x) ? ex ? ex ,所以 f ?(x) ? ex ? e .……2 分 由 f ?(x) ? 0 得 x ?1,故 f (x) 的单调递增区间是 (1,? ?) , 由 f ?(x) ? 0 得 x ?1,故 f (x) 的单调递减区间是 (??,1) …………4 分
(2)由 f ( ?x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ?R 成立等价于 f (x) ? 0 对任意 x≥0 成立.……5 分 由 f ?(x) ? ex ? k ? 0 得 x ? ln k . ①当 k ?(0,1] 时, f ?(x) ? ex ? k ? 1? k ≥ 0(x ? 0) . 此时 f (x) 在[0,? ?) 上单调递增.故 f (x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…6 分 ②当 k ?(1,? ?) 时, ln k ? 0 .

当 x 变化时 f ?(x),f (x) 的变化情况如下表:

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x

(0,ln k)

ln k

(ln k,? ?)

f ?(x)

?

0

?

f (x)

单调递减

极小值

单调递增

由此可得,在[0,? ?) 上, f (x)≥ f (ln k) ? k ? k ln k . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ?1,?1? k ? e .
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .……9 分
(3) F (x) ? f (x) ? f (?x) ? ex ? e?x ,……10 分

? F (x1)F (x2 ) ? ex1?x2 ? e?(x1?x2 ) ? ex1?x2 ? e?x1?x2 ? ex1?x2 ? e?(x1?x2 ) ? 2 ? ex1?x2 ? 2 ,…11 分
? F (1)F (n) ? en?1 ? 2 , F(2)F(n ? 1) ? en?1 ? 2 ,… F(n)F(1) ? en?1 ? 2 ,
由此得,
[F (1)F (2) F (n)]2 ? [F (1)F(n)][F (2)F (n ?1)] [F (n)F (1)] ? (en?1 ? 2)n ………13 分
n
故 F (1)F (2) F (n) ? (en?1 ? 2)2,n ? N? .…………14 分

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