二元函数的极限与连续_图文

一、多元函数概念
(1)二元函数的定义
设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点
P( x, y) ? D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称z是变量 x, y 的二元函数,记为 z ? f ( x, y)(或记为z ? f (P)).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n ? 2时,n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量等概念.

例 求 f (x, y) ? 4 ? x2 ? y2的定义域.
解 4 ? x2 ? y2 ? 0
? 所求定义域为
D ? {( x, y) | x2 ? y2 ? 4}.

例求

f

( x,

y)

?

arcsin(3 x

? ?

x2 y2

?

y2)
的定义域.



?? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ?

?? x ? y2 ? 0

?2 ? x2 ? y2 ? 4

?

? ?x

?

y2

所求定义域为 D ? {(x, y) | 2 ? x2 ? y2 ? 4, x ? y2}.

(2)二元函数 z ? f ( x, y)的图形(几何意义)
设函数 z ? f ( x, y)的定义域为D ,对于任意 取定的 P( x, y)? D,对应的函数值为 z ? f ( x, y),这样,以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z) , 当 x 取遍D 上一切点时,得一个空间点集 {( x, y, z) | z ? f ( x, y), ( x, y) ? D},这个点集称
为二元函数的图形.
(如下页图)

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如, z ? sin xy 图形如右图.

例如, x2 ? y2 ? z2 ? a2

z

左图球面.

D ? {(x, y) x2 ? y2 ? a2}.

o

y

单值分支: z ? a2 ? x2 ? y2

x
z ? ? a2 ? x2 ? y2.

二、多元函数的极限
定义:设二元函数 z ? f (x, y) 在点 P0(x0, y0) 的某个去心邻域内有定义,当点 P(x, y) 沿任何路径趋向点 P0 (x0, y0 ) 时,f (x, y) 无 限趋近于一个确定的常数 A,则称 A 是 f (x, y) 当 (x, y) ? (x0, y0) 时的极限。记 为: lim f ( x, y) ? A
x? x0 y? y0

说明:

(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的;

(2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x? x0 y? y0
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.

例如:

lim( x2
x?0

?

y2 )sin

x2

1 ?

y2

?

0

y?0

例: 证明

lim
x?0

x3 y x6 ? y2

不存在.

y?0

证 取 y ? kx3,

lim
x?0

x

x3 6?

y y2

?

lim
x?0

x3 ? kx3 x6 ? k2x6

?

1

k ?k

2

,

y?0

y?kx3

其值随k的不同而变化,

故极限不存在.

确定极限不存在的方法:(了解)
(1) 令P( x, y)沿 y ? kx 趋向于P0 ( x0 , y0 ),若 极限值与 k 有关,则可断言极限不存在;
(2)找两种不同趋近方式,使lim f ( x, y) 存在, x? x0 y? y0 但两者不相等,此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在.

例 求极限 lim sin(xy) . x?0 x
y?2
所用知识点:lim sin u ? 1(u是 ? 0的整体) u?0 u



lim sin(xy) ? lim sin(xy) ? y

x?0 x
y?2

x?0 xy
y?2

u ? xy

lim sin u ? lim y

u?0 u

y?2

?1?2 ? 2

x2 ? y2 ?1 ?1

例5 求极限 lim x?0

x2 ? y2

.

y?0

解: lim x?0

x2 ? y2 ?1 ?1

x2 ? y2

.

y?0

分子有理化lim

x2 ? y2

x?0 y?0

(x2

?

y2

)

?

(

x2 ? y2 ?1 ?1)

约分
1

2

三、二元函数的连续性
定义:设函数z ? f (x, y)在点P(0 x0 , y0 )的 某邻域内有定义,如果:
lim f (x, y) ? f (x0, y0 )
x ? x0 y? y0
则称函数z ? f (x, y)在点P(0 x0 , y0 ) 处连续,则点P0称为z ? f (x, y)的连续点。

例6 讨论函数

f

(

x

,

y

)

?

? ? ?

x

2

xy ?

y

2

,

x2 ? y2 ? 0

??0,

x2 ? y2 ? 0

在(0,0)的连续性.

解 取 y ? kx

lim
x?0

x

2

xy ?

y2

y?0

?

lim
x?0

x2

kx 2 ? k2x2

y?kx

?

1

k ?k

2

其值随k的不同而变化, 极限不存在.

故函数在(0,0)处不连续. (称为间断点)

总结:
1.二元函数的所有学习上的知识都可 以从一元函数推广而来。我们今天就 可以用这个思想来求解二元函数的值 、定义域、极限和判定连续。
2.二元函数作为一个新的概念,和以前 的一元函数还是有区别的,比如定义域 画成图形是一个平面图形,而一元函数 图形的定义域往往是x轴上的区域。


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