高中数学 第1章 集合 1.3.2 全集与补集课件 北师大版必修1_图文

3.2 全集与补集

学习目标

思维脉络

1.了解全集的含义,理解在给定 集合中一个子集的补集的含义, 会求给定子集的补集. 2.掌握集合交、并、补的综合运 算,并能正确地应用它们解决简 单的问题. 3.能使用 Venn 图和数轴表达集 合及其运算,体会直观图示对理 解抽象概念的作用.





一、全集 1.定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的 子集,这个给定的集合叫作全集. 2.符号表示:全集通常记作U . 3.图示:用Venn图表示全集U,如图所示.

全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究 问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.例如,在研 究数集时,常常把实数集看作全集.





二、补集





【做一做1】 设全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={1,3,5,7},则?UM等于 ()

A.{1,2,7} B.{4,6} C.{2,4,6} D.{2,4} 答案:C 【做一做2】 如图所示的阴影部分表示的集合是 ( )

A.A∩(?UB) B.B∩(?UA) C.?U(A∩B) D.?U(A∪B) 解析:阴影部分表示A以外的部分与B的交集,故阴影部分表示的
集合为B∩(?UA). 答案:B





思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB). ( ) (2)对任意集合A,B,U为全集,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). ( ) (3)A∩(?RA)=R. ( ) (4)若A=?,则?R?=?. ( )
答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)×

探究一

探究二

探究三

思想方法

补集的简单运算

【例1】 求解下列各题:

(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA=

;

(2)设全集U={三角形},集合A={直角三角形},则?UA=

.

分析:(1)中集合为不等式的解集,应借助数轴分析求解;(2)可从元

素的特征性质入手求解.

解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得

?UA={x|x<0,或x≥3}.

(2)∵U={三角形},A={直角三角形}, ∴?UA={锐角三角形或钝角三角形}.
答案:(1){x|x<0,或x≥3} (2){锐角三角形或钝角三角形}

探究一

探究二

探究三

思想方法

1.若所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结 合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借 助Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答 时不易出错.
2.若所给集合是无限集,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别 表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解 答过程中注意端点值能否取到.

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练1已知全集U,A={x|2<x≤3},?UA={x|x>3}, B={x|4≤x<6},求?UB.
解:因为A={x|2<x≤3},?UA={x|x>3}, 所以U=A∪(?UA)={x|x>2}, 所以?UB={x|2<x<4,或x≥6}.

探究一

探究二

探究三

思想方法

交集、并集、补集的综合运算
【例2】 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x|3<x≤3},求?UA,A∩B,?U(A∩B),(?UA)∩B.
分析:可借助数轴分析求解. 解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),

由图可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4}, A∩B={x|-2<x<3}, ?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4}, (?UA)∩B={x|-3<x≤-2,或x=3}.

探究一

探究二

探究三

思想方法

在进行交集、并集、补集的综合运算时, (1)对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在 数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解 答过程中注意端点的“取”与“舍”. (2)对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、 并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常 借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且 解答时不易出错.

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练2集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(?RB)=( ) A.{x|x>1} B.{x|x≥1}
C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}
解析:∵?RB={x|x≥1},∴A∩(?RB)={x|1≤x≤2}.
答案:D

探究一

探究二

探究三

思想方法

与补集有关的含参问题

【例3】已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且A??RB,求实 数a的取值范围.

分析:不要忘记讨论集合A是空集的情况.

解:易知?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?.
∵A??RB,∴分A=?和A≠?两种情况讨论. 若A=?,此时有2a-2≥a,∴a≥2.



A≠?,则有

2-2 < ≤ 1,

,



2-2 < , 2-2 ≥ 2,

∴a≤1.
综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤1,或a≥2}.

探究一

探究二

探究三

思想方法

已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范 围时,通常是借助数轴,结合相关定义进行分析求解,其中特别要注 意区域端点的“取”与“不取”,还要注意分类讨论思想的应用以及空 集在解题中的特殊作用.

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练3已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满

足B∩(?UA)={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.

解:∵B∩(?UA)={2},∴2∈B,但2?A.

∵A∩(?UB)={4},∴4∈A,但4?B.



42 + 4 + 12 = 22-2 + = 0,

0, 解得



=

8 7

,



=

-

12 7

.

∴a,b 的值分别为87,-172.

探究一

探究二

探究三

思想方法

补集思想的综合应用
【典例】 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求a的取值范围. 分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解 时可将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.

探究一

探究二

探究三

思想方法

解:(1)∵A={x|0≤x≤2},∴?RA={x|x<0,或x>2}.
设(?RA)∪B=R,如图可知:

∴a≤0且a+3≥2,即a≤0且a≥-1,

∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a<-1,或a>0}.

(2)若A∩B=A,则A?B,又A≠?,





≤ +

0, 3≥

2,





≤ ≥

0-1,,即-1≤a≤0.

∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,

即{a|a<-1,或a>0}.

探究一

探究二

探究三

思想方法

有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考 虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思 考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题 思路,这就是补集思想的应用.
1.运用补集思想求参数范围的方法: (1)否定已知条件考虑反面问题; (2)求解反面问题对应的参数范围; (3)将反面问题对应的参数范围取补集. 2.补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候, 往往考虑运用补集思想.

12345

1.设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=( ) A.{0,4} B.{1,5}

C.{2,0,4}

D.{2,0,5}

解析:∵A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5},

全集U={0,1,2,3,4,5},∴?U(A∪B)={0,2,4},故选C.
答案:C

12345
2.已知全集U={0,1,2},且?UA={2},则集合A的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.5个D.6个 解析:由题意得,A={0,1},故其真子集分别为?,{1},{0},共3个. 答案:A

12345

3.已知全集U={2,0,3-a2},P={2,a2-a-2},且?UP={-1},则实数a的值为

()

A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2

解析:∵?UP={-1},∴-1∈U,且-1?P.



3-2 = 2--2

-1, 解得 = 0,

a=2.

经检验,a=2符合题意,故实数a的值为2. 答案:B

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4.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则?U(A∪B)等于 . 答案:{5}

12345
5.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},且B?(?UA),求实数a的取值 范围.
解:∵U=R,A={x|x>1},∴?UA={x|x≤1}. ∵x+a<0,x<-a,∴B={x|x<-a}. 又B??UA,∴-a≤1,∴a≥-1.
即实数a的取值范围是a≥-1.


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