2299k com 少彐x片:2018版高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案新人教版

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点) 2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点) 3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)

[基础·初探]

教材整理 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

阅读教材 P106“探究”以下至 P107 例 6 以上内容,完成下列问题.

1.平面向量数量积的坐标表示:

设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ .

数量积

a·b=x1x2+y1y2

向量垂直 a⊥b?x1x2+y1y2=0

2.向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x21+y21.

3.两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则→AB= x2-x1 2+ y2-y1 2.

4.向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 夹角为 θ ,则

cos θ =|aa|··b|b|=

x1x2+y1y2 . x21+y12 x22+y22

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足 x1y2-x2y1=0,则向量 a,b 的夹角为 0°.( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0.( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角.( ) 【解析】 (1)×.因为当 x1y2-x2y1=0 时,向量 a,b 的夹角也可能为 180°. (2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0. (3)×.因为两向量的夹角有可能为 180°. 【答案】 (1)× (2)× (3)×

[小组合作型]

平面向量数量积的坐标运算

(1)已知向量 a=(1,2),b=(2,x),且 a·b=-1,则 x 的值等于( )

A.12

B.-12

C.32

D.-32

(2)已知向量 a=(-1,2),b=(3,2),则 a·b=________,a·(a-b)=________.

(3)已知 a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量 c,满足 a·c=2,b·c=5,则向量 c= ________.
【精彩点拨】 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐 标运算列出方程(组)来进行求解.
【自主解答】 (1)因为 a=(1,2),b=(2,x), 所以 a·b=(1,2)·(2,x)=1×2+2x=-1, 解得 x=-32. (2)a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1, a·(a-b)=(-1,2)·[(-1,2)-(3,2)]=(-1,2)·(-4,0)=4. (3)设 c=(x,y),因为 a·c=2,b·c=5,

所以?????23xx- +y2=y=2, 5,

??x=97, 解得???y=47,

所以 c=???97,47???.

【答案】 (1)D (2)1 4 (3)???97,47???

1.进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a;(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;

(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函数、方程等知识的联系. 3.向量数量积的运算有两种思路:一种是向量式,另一种是坐标式,两者相互补充.

[再练一题]

1.设向量 a=(1,-2),向量 b=(-3,4),向量 c=(3,2),则向量(a+2b)·c=( )

A.(-15,12)

B.0

C.-3

D.-11

【解析】 依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=(-

5,6)·(3,2)=-5×3+6×2=-3.

【答案】 C

向量模的坐标表示

(1)设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|2a-b|等于( )

A.4

B.5

C.3 5

D.4 5

(2)已知向量 a=(1,2),b=(-3,2),则|a+b|=________,|a-b|=________.

【精彩点拨】 (1)两向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的坐标表示:x1y2-x2y1=0.

(2)已知 a=(x,y),则|a|= x2+y2.

【自主解答】 (1)由 y+4=0 知

y=-4,b=(-2,-4),

∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 5.故选 D. (2)由题意知,a+b=(-2,4),a-b=(4,0),

因此|a+b|= - 2+42=2 5,|a-b|=4.

【答案】 (1)D (2)2 5 4

向量模的问题的解题策略: (1)字母表示下的运算,利用|a|2=a2 将向量模的运算转化为向量的数量积的运算. (2)坐标表示下的运算,若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.
[再练一题] 2.已知向量 a =(2x+3,2-x),b =(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范围为 ________.

【解析】 ∵a+b=(x,x+2),

∴|a+b|= x2+ x+ 2= 2x2+4x+4



x+ 2+2≥ 2,

∴|a+b|∈[ 2,+∞).

【答案】 [ 2,+∞)

[探究共研型]

【导学号:00680057】

向量的夹角与垂直问题

探究 1 设 a,b 都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,那么 cos θ 如何用坐标表示?
【提示】 cos θ =|aa·||bb|= x21+x1yx122·+y1yx222+y22. 探究 2 已知向量 a=(1,2),向量 b=(x,-2),且 a⊥(a-b),则实数 x 等于? 【提示】 由已知得 a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0.

∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.

(1)已知向量 a=(2,1),b=(1,k),且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值

范围是( )

A.(-2,+∞) C.(-∞,-2)

B.???-2,21???∪???12,+∞???
D.(-2,2)

(2)已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边上的高,求|→AD|与

点 D 的坐标.

【精彩点拨】 (1)可利用 a,b 的夹角为锐角??????aa·≠bλ>b0, 求解.

(2)设出点 D 的坐标,利用→BD与→BC共线,→AD⊥→BC列方程组求解点 D 的坐标.

【自主解答】 (1)当 a·b 共线时,2k-1=0,k=12,此时 a,b 方向相同,夹角为 0°,

所以要使 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a·b>0 且 a,b 不同向.由 a·b=2+k>0 得 k>-2,且

k≠12,即实数 k 的取值范围是???-2,21???∪???12,+∞???,选 B.
【答案】 B

(2)设点 D 的坐标为(x,y),则→AD=(x-2,y+1),B→C=(-6,-3),B→D=(x-3,y-2).

∵D 在直线 BC 上,即→BD与→BC共线,

∴存在实数 λ ,使B→D=λ →BC, 即(x-3,y-2)=λ (-6,-3),

∴?????xy--32==--63λλ

, ,

∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0.①

又∵AD⊥BC,∴A→D·B→C=0,

即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,

∴-6(x-2)-3(y+1)=0,② 即 2x+y-3=0.

由①②可得?????xy==11,,

即 D 点坐标为(1,1),→AD=(-1,2),

∴|→AD|= - 2+22= 5,

综上,|→AD|= 5,D(1,1).

1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤: (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模.利用|a|= x2+y2计算两向量的模. (3)求夹角余弦值.由公式 cos θ =
x21+x1xy122·+y1yx222+y22求夹角余弦值. (4)求角.由向量夹角的范围及 cos θ 求 θ 的值. 2.涉及非零向量 a,b 垂直问题时,一般借助 a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0 来解决.
[再练一题] 3.已知 a=(1,2),b=(1,λ ),分别确定实数 λ 的取值范围,使得:(1)a 与 b 的夹角 为直角;(2)a 与 b 的夹角为钝角;(3)a 与 b 的夹角为锐角. 【解】 设 a 与 b 的夹角为 θ , 则 a·b=(1,2)·(1,λ )=1+2λ . (1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 cos θ =0,所以 a·b=0,所以 1+2λ =0,所以

λ =-12.

(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角,

所以 cos θ <0 且 cos θ ≠-1, 所以 a·b<0 且 a 与 b 不反向.

由 a·b<0 得 1+2λ

<0,故 λ

1 <-2,

由 a 与 b 共线得 λ =2,故 a 与 b 不可能反向,

所以 λ 的取值范围为???-∞,-12???.

(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角,

所以 cos θ >0,且 cos θ ≠1,

所以 a·b>0 且 a,b 不同向.

由 a·b>0,得 λ >-12,由 a 与 b 同向得 λ =2,所以 λ 的取值范围为???-12,2???∪(2,

+∞).

1.已知 a=(1,-1),b=(2,3),则 a·b=( )

A.5

B.4

C.-2

D.-1

【解析】 a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.

【答案】 D

2.已知 a=(-2,1),b=(x,-2),且 a⊥b,则 x 的值为( )

A.-1

B.0

C.1

D.2

【解析】 由题意,a·b=(-2,1)·(x,-2)=-2x-2=0,解得 x=-1.故选 A.

【答案】 A

3.已知 a=(3,-1),b=(1,-2),则 a 与 b 的夹角为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

【 解 析 】 a·b = 3×1 + ( - 1)×( - 2) = 5 , |a| = 32+ - 2 = 10 , |b| =

12+ - 2= 5,

故 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cos θ =|aa|··b|b|=

5 10·

= 5

22.又 0≤θ

≤π

,∴θ

=π4 .

【答案】 B

4.已知 a=(3,-4),则|a|=________.

【解析】 因为 a=(3,-4),所以|a|= 32+ -4 2=5.

【答案】 5

5.已知向量 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)·(a-b).

【解】 (1)因为 a=(3,-1),b=(1,-2),

所以 a·b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5.

(2)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), 所以(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.

(3)a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),

a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),

(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=8-3=5.


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