一次函数图象与行程问题综合题

一次函数图象与行程问题综合题
1(期末考试题):一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开 往甲地,两车同时出发,设客车离甲地的距离为 (Km),出租车离甲
地的距离为 (Km),客车行驶的时间为 x (h), 与 的函数关系如 图 1 所示. ( 1) 根据图象直接写出 , 与 x 的函数关系式; (2) 若设两车之间的距离为 s (Km),请写出 s 关于 x 的函数关系式; (3) 甲乙两地间有 M、N 两个加油站,相距 200 Km,若客车进入 M 站加油时,出租 车恰好进入 N 站加油,求 M 加油站到甲地的距离. 解:(1)由图 1 知,客车离甲地的距离 与时间 x 成正比例函数关系(直线 AB 过原点),
出租车离甲地的距离 与时间 x 成一次函数关系(直线 CD 不过原点).
故设 = x (0≤x≤10), = x+ (0≤x≤6),将点(10,600)代入 = x,
点(6,0)和(0,600)代入 = x+ ,易求得 , 与 x
的函数关系式为: =60x(0≤x≤10)①, =-100x+600(0 ≤x≤6)②;
(2)由图象知,点 E 的实际意义是:点 E 表示客车与出租车到甲地的距离相等( =

),即它们在此时相遇.联立①与②,解得,

,所以点 E 的坐标为( ,225),

即两车同时出发后 (=3.75)小时相遇.借助行程图知:两车相遇前,s 关于 x 的函数

关系式为 s= - =-160x+600(0≤x≤ );两车相遇后,s 关于 x 的函数关系式

为 s= - =160x-600( ≤x≤6);(注:当 x= 时, - =0,即相遇时 s
=0.)出租车到达甲地后,s 关于 x 的函数关系式为 s= =60x(6≤x≤10) . (注:在此时间段,出租车到达甲地后没有再行驶.) (3)由题意,知 s=200,

当 0≤x≤ 时,-160x+600=200,∴x= ,此时,A 加油站到甲地的距离为 =
60x=60× =150(Km); 当 ≤x≤6 时,s=160x-600=200,∴x=5,此时,A 加油站
到甲地的距离为 =60x=60×5=300(Km); 当 6<x≤10 时,s=60x=200,∵60x>360,不合题意.
点评: 本题以行程为背景的一次函数应用题,用图象给出了相关信息,要解决此类问题, 第一,必须读懂图象:1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么(如本题的 y 轴上的点表示两 车在该时刻与甲地的距离)?2.图象的每一段的实际意义是什么(如:本题的 CE 段表示 出租车在相遇前离甲地的距离 随时间 x 变化的函数图象,此段内每个点表示在该时刻出 租车与甲地的距离)?3.图象的交点或拐点的实际意义是什么(如:本题的点 E 表示两车
在此时相遇,此时两车与甲地的距离相等,即 x= 时 = )?4.图象与两坐标轴的 交点的实际意义是什么(如:本题的 C 点表示出租车在乙地刚要出发驶往甲地的时刻,此 时出租车离甲地 600 Km)?第二,借助行程图,是解决此类问题的关键.只有这样,才能 弄清每一过程中 y 与 x 的函数关系(如:本题中“相遇前”、“相遇后”等过程中的函数关 系),从而各个击破.第三,应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围(如:
本题的 ED 段对应的函数解析式为 =-100x+600,其自变量的取值范围是 ≤x≤6); 第四,本题第(3)问 M、N 两个
加油站的位置是不确定的,但它们的距离恒为 200 Km(如下图所示).因此存在两种 情形,即相遇前,客车进入 M 站时,出租车恰好进入 N 站;相遇后,客车进入 M 站时,出 租车恰在此时好进入 N 站.
2. A,B 两城相距 600 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发驶向 B 城,甲车到达 B 城后立即返回.如图是它们离 A 城的距离 y(千米)与行驶时间 x(小时)之间 的函数图象. (1)求甲车行驶过程中 y 与 x 之间的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当它们行驶 7 了小时时,两车相遇,求乙车速度.
【答案】 (1)①当 0≤ ≤6 时,

②当 6< ≤14 时, 设



∵图象过(6,600),(14,0)两点,

∴ (2)当

解得 时,



.∴



(千米/小时). 3.在一条直线上依次有 A、B、C 三个港口,甲、乙两船同时分别从 A、B 港口出 发,沿直线匀速驶向 C 港,最终达到 C 港.设甲、乙两船行驶 x(h)后,与 B

港的距离分别为 、 (km), 、 与 x 的函数关系如

图所示.

1)填空:A、C 两港口间的距离为

km,



2)求图中点 P 的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;

3)若两船的距离不超过 10 km 时能够相互望见,求甲、乙

两船可以相互望见时 x 的取值范围.

【答案】解:(1)120, ;

(2)由点(3,90)求得,



当 >0.5 时,由点(0.5,0),(2,90)求得,





时,

,解得, .

此时

.所以点 P 的坐标为(1,30)

该点坐标的意义为:两船出发 1 h 后,甲船追上乙船,此时两船离 B 港的距离为

30 km.

求点 P 的坐标的另一种方法:

由图可得,甲的速度为

(km/h),乙的速度为

(km/h).

则甲追上乙所用的时间为

(h).此时乙船行驶的路程为

所以点 P 的坐标为(1,30).

(3)①当 ≤0.5 时,由点(0,30),(0.5,0)求得,

(km). .

依题意,

≤10.

②当 0.5< ≤1 时,依题意,

解得, ≥ .不合题意. ≤10.

解得, ≥ .所以 ≤ ≤1. ③当 >1 时,依题意,

≤10.

解得, ≤ .所以 1< ≤ .

综上所述,当 ≤ ≤ 时,甲、乙两船可以相互望见. 4.一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行 驶.设行驶的时间为 x(时),两车之间的距离为 y(千米),图中的折线表示从两车 出发至快车到达乙地过程中 y 与 x 之间的函数关系. (1)根据图中信息,求线段 AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离; (2)已知两车相遇时快车比慢车多行驶 40 千米,若快车从甲地到达乙地所需时 间为 t 时,求 t 的值; (3)若快车到达乙地后立刻返回甲地,慢车到达甲地后停 止行驶,请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中 y 关于 x 的函数的大致图像. (温馨提示:请画在答题卷相对 应的图上)(1.5,70)、(2,0),然后利用待定系数法, 确定直线解析式即可. 【答案】(1)线段 AB 所在直线的函数解析式为:y=kx+b,

将(1.5,70)、(2,0)代入得:

,解得:



所以线段 AB 所在直线的函数解析式为:y=-140x+280,当 x=0 时,

y=280,所以甲乙两地之间的距离 280 千米.

(2)设快车的速度为 m 千米/时,慢车的速度为 n 千米/时,由题意得:

,解得:

,所以快车的速度为 80 千米/时,

所以



(3)如图所示.

5.某物流公司的快递车和货车每天往返于 A、B 两地,快

递车比货车多往返一趟.下图表示快递车距离 A 地的路程

(单位:千米)与所用时间 (单位:时)的函数图象.已

知货车比快递车早 1 小时出发,到达 B 地后用 2 小时装卸

货物,然后按原路、原速返回,结果比快递车最后一次返

回 A 地晚 1 小时.

(1) 请在下图中画出货车距离 A 地的路程 (千米)与所用时间 (时)的函数图

象;

(2) 求两车在途中相遇的次数(直接写出答案);

(3) 求两车最后一次相遇时,距离 A 地的路程和货车从 A 地出发了几小时.

1、图象入图

2



4



3)如图,设直线 的解析式为



∵图象过 ,

①设直线 的解析式为

,∵

图象过 ,




解由①,②组成的方程组得 最后一次相遇时距离 地的路程为 100km,货车从 地出发 8 小时

6.某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动, 、 两地相距 10 千米, 甲班从 地出发匀速步行到 地,乙班从 地出发匀速步行到 地.两班同时出 发,相向而行.设步行时间为 小时,甲、乙两班离 地的距离分别为 千米、 千米, 、 与 的函数关系图象如图所示,根据图象 解答下列问题:
(1)直接写出 、 与 的函数关系式; (2)求甲、乙两班学生出发后,几小时相遇?相遇时乙 班离 地多少千米? (3)甲、乙两班首次相距 4 千米时所用时间是多少小时? 【答案】解:(1)y1=4x(0≤x≤2.5),y2=-5x+10(0≤x≤2) (2)根据题意可知:两班相遇时,甲乙离 A 地的距离相等,即 y1=y2,由此可 得一元一次方程
-5x+10=4x, 解这个方程,得 x= (小时)。
当 x= 时,y2=--5× +10= (千米).
(3)根据题意,得 y2 -y1=4.即-5x+10-4x=4.解这个方程,得 x= (小时)。
答:甲乙两班首次相距 4 千米所用时间是 小时。 7.“震灾无情人有情”,玉树地震牵动了全国人民的心,武警某部队接到命令, 运送一批救灾物资到灾区,货车在公路 A 处加满油后,以每小时 60 千米的速度 匀速行驶,前往与 A 处相距 360 千米的灾区 B 处.下表记录的是货车一次加满油 后油箱内余油量 y(升)与行驶时间 x(时)之间关系:
行驶时间 x(时) 0 1 2 3 4 余油量 y(升) 150 120 90 60 30 (1)请你用学过的函数中的一种建立 y 与 x 之间的函数关系式,说明选择这种 函数的理由;(不要求写出自变量的取值范围) (2)如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变,货车行驶 4 小时后到达 C 处,C 的前方 12 千米的 D 处有一加油站,那么在 D 处至少加多少升油,才能使

货车到达灾区 B 处卸去货物后能顺利返回 D 处加油?(根据驾驶经验,为保险起 见,油箱内余油量应随时不少于 10 升) 【答案】解:(1)如图,把五组数据在直角坐标系中描出来,这五个点在一条 直线上,所以 y 与 x 满足一次函数关系. 设 y=kx+b,(k≠0)



解得:

,∴y=-30x+150

(2)设在 D 处至少加 W 升油,根据题意得:

. 解得:W≥94 答:D 处至少加 94 升油,才能使货车到达灾区 B 地卸物后能顺利返回 D 处加油.(说 明:利用算术方法分段分析解答正确也给满分) 8、下表是西昌市到攀枝花市两条线路的有关数据:

线路

高速公路 108 国道

路程

185 千米 250 千米

过路费

120 千米 0 元

若小车在高速路上行驶的平均速度为 90 千米/小时,在 108 国道上行驶的平均速 度为 50 千米/小时,则小车走高速公路比走 108 国道节省多少时间? 若小车每小时的耗油量为 升,汽油价格为 7 元/升。问 为何值时,走哪条线 路的总费用较少?(总费用=过路费+耗油费) 公路管理部门在高速路口对从西昌市到攀枝花市五类不同耗油的小车进行统计, 得到平均每小时通过的车辆数的频数分布直方图如图所示。请估算 10 小时年俄 内这五类小车走高速公路比走 108 国道节省了多少升汽油?(以上结果均保留两 个有效数字)

【答案】

9.甲车从 A 地出发以 60km/h 的速度沿公路匀速行驶,0.5 小时后,乙车也从 A 地出发,以 80km/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶,求乙车出发后几小时 追上甲车。请建立一次函数关系解决上述问题。 【答案】

10.甲、乙两人以相同路线前往距离单位 10km 的培训中心参加学习.图中 l 甲、

l 乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 S(km)随时间 t(分)变化的函数

图象.以下说法:①乙比甲提前 12 分钟到达;②甲的平均速度为 15 千米/小时;

③乙走了 8km 后遇到甲;④乙出发 6 分钟后追上甲.其中正确的有( )

A.4 个

B.3 个

C.2



D.1 个

【答案】C


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