版高中数学第三章函数的应用322函数模型的应用实例学案新人教A版必修1


3.2.2 题(重、难点). 函数模型的应用实例 学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问 预习教材 P102-P106,完成下面问题: 知识点 1 常见的函数模型 (1)一次函数模型 常 用 函 数 模 型 (4)对数函数模型 (5)幂函数模型 (6)分段函数 (2)二次函数模型 (3)指数函数模型 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0) y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) y=bax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a>0 且 a≠1) y=mlogax+n(m,a,n 为常数,m≠0,a>0 且 a≠1) y=axn+b(a,b 为常数,a≠0) ? ?ax+b x<m , y=? ?cx+d x≥m ? 【预习评价】 一个矩形的周长是 40,矩形的长 y 关于宽 x 的函数解析式为( A.y=20-x(0<x<10) C.y=40-x(0<x<10) B.y=20-2x(0<x<20) D.y=40-2x(0<x<20) ) 解析 由题意可知 2y+2x=40,即 y=20-x,又 20-x>x,所以 0<x<10,故选 A. 答案 A 知识点 2 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行: (一)审题;(二)建模;(三)求模;(四)还原. 这些步骤用框图表示如图: 【预习评价】 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 10 万 1 2 元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q- Q ,则总利润 L(Q)的最大值是 20 ________万元. 1 2 1 2 1 2 解析 L(Q)=40Q- Q -10Q-2 000=- Q +30Q-2 000=- (Q-300) +2 500, 20 20 20 1 当 Q=300 时,L(Q)的最大值为 2 500 万元. 答案 2 500 题型一 一次函数、二次函数模型 【例 1】 商场销售某一品牌的羊毛衫, 购买人数是羊毛衫标价的一次函数, 标价越高, 购买人数越少. 把购买人数为零时的最低标价称为无效价格, 已知无效价格为每件 300 元. 现 在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元? 解 (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元, 则 x∈(100,300],n=kx+b(k<0),∵0=300k+b,即 b=-300k,∴n=k(x-300). ∴利润 y=(x-100)k(x-300)=k(x-200) -10 000k(x∈(100,300]) ∵k<0,∴x=200 时,ymax=-10 000k, 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)由题意得,k(x-100)(x-300)=-10 000k·75%, 2 x2-400x+37 500=0,解得 x=250 或 x=150, 所以,商场要获取最大利润的 75%,每件标价为 250 元或 150 元. 规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法利 用函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最

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