高中数学人教a版选修2-2学业:1.7.1+2 定积分在几何中的应用 定积分在物理中的应用含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2016· 广州高二检测)用 S 表示图 174 中阴影部分的面积,则 S 的值是 ( ) 图 174 c A.? ? f(x)dx ?a ??c f?x?dx? ? ? B.?? ? ? ? a ? b ?c C.? ? f(x)dx+? f(x)dx ?a ?b c ?b D.? ? f(x)dx-? f(x)dx ?b ?a 【解析】 在区间[a,b]上图形在 x 轴下方,积分为负值, c ?b ∴S=? ? f(x)dx-? f(x)dx.故选 D. ?b ?a 【答案】 D ) 2.如图 175,阴影部分的面积是( 图 175 A.2 C. 32 3 3 B .2 - D. 35 3 3 【解析】 ? ??1 1 ? ?? 1 3 2 2 ? S=? (3-x -2x)dx=?3x- x -x ?? 3 ? ??-3 ?-3 C = 32 . 3 【答案】 3.一物体以速度 v=3t2+2t(单位:m/s)做直线运动,则它在 t=0 s 到 t=3 s 时间段内的位移是( A.31 m C.38 m 【解析】 ) B.36 m D.40 m 3 2 3 2 3 3 2 S=? ? (3t +2t)dt=(t +t )|0=3 +3 =36(m). ?0 【答案】 B 4.如果某飞行物以初速度 v0=10 m/s,加速度 a(t)=10t m/s2 做直线运动, 则飞行物在 t=3 s 时的瞬时速度为( A.40 m/s C.50 m/s 【解析】 ) B.45 m/s D.55 m/s 飞行物在 t=3 s 时的瞬时速度为 v=v0+?3a(t)dt=10+?310tdt ? ? ?0 ?0 ?3 ? =10+5t2? ?0 【答案】 D ) =55 m/s. 5.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的图形的面积等于( 1 3 A. ? ? (x-x )dx ?-1 1 3 C.2? ? (x-x )dx ?0 1 3 B. ? ? (x -x)dx ?-1 0 3 D.2? ? (x-x )dx ?-1 【解析】 由题意知,由 y=x3 及 y=x 所围成的图形如图所示. 1 3 显然 S=2? ? (x-x )dx. ?0 【答案】 二、填空题 C 6.由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为________. 【解析】 ? ?y= x, 由? ? ?y=x-2, 得其交点坐标为(4,2).因此 y= x与 y=x-2 ?4[ 及 y 轴所围成的图形的面积为? ? 0 x-?x-2?]dx 4 =? ?( ?0 x-x+2)dx= ?2 3 1 ??4 ? ?? 2 ?3x2-2x +2x?? ? ??0 16 3 2 1 16 = ×8- ×16+2×4= . 3 2 3 【答案】 7.一物体沿直线以 v= 1+t(单位:m/s)的速度运动,该物体运动开始后 10 s 内所经过的路程是________________. 【60030043】 ?10 ? ? ?0 ? 2? ? 3 ? = ?11 -1?. 3? 2 ? 【解析】 10 s=? ? ?0 2 3 1+t dt= (1+t) 3 2 【答案】 3 ? 2? ? ? 11 -1? ? 2 3? ? 8. 若 1 N 的力能使弹簧伸长 2 cm, 则使弹簧伸长 12 cm 时(在弹性限度内), 克服弹力所作的功为________. 【解析】 的功为 ?0.12 ?0 =0.36(J). 由题意可知 1=k×0.02,∴k=50,故在弹簧伸长 12 cm 时所做 ? ?0.12∫0.12 0 50ldl=25l2? ? ?0 【答案】 三、解答题 0.36 J 9. 求曲线 y=x2 和直线 x=0, x=1, y=t2, t∈(0,1)所围成的图形(如图 176 阴影部分)的面积的最小值. 图 176 【解】 由定积分与微积分基本定理,得 S=S1+S2 t 2 2 ?1 2 2 =? ? (t -x )dx+? (x -t )dx ?0 ?t ? ??t ? 2 1 3?? =?t x- x ?? 3 ??0 ? ? ? + ? ? 1 3 ? x3-t2x ? ? ? ?1 ? ? ?t 1 1 1 =t3- t3+ -t2- t3+t3 3 3 3 4 1 = t3-t2+ ,t∈(0,1), 3 3 1 所以 S′=4t2-2t,所以 t= 或 t=0(舍去). 2 当 t 变化时,S′,S 变化情况如下表: t S′ S ? 1? ? ? ?0,2? ? ? - 单调递减 1 2 0 极小值 ?1 ? ? ? ?2,1? ? ? + 单调递增 1 4 1 1 所以当 t= 时,S 最小,且 Smin= . 2 4 10.如图 177,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面积相等 的两部分,求 k 的值. 图 177 【解】 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标 x1=0,x2=1,所以抛物 线与 x 轴所围图形的面积 ?x2 x3??1 ? ?? 1 2 ? S=? (x-x )dx=? - ?? ? 2 3 ??0 ?0 1 1 1 = - = . 2 3 6 ? ?y=kx, 由? 2 ? ?y=x-x , x′2=1-k, 可得抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x′1=0, S 1-k(x-x2-kx)dx 所以 =? 2 ? ?0 ?1-k ?1-k x3? ? ?? 2 x - ?? =? 3 ?? 0 ? 2 1 = (1-k)3. 6 1 1 又 S= ,所以(1-k)3= . 6 2 3 1 2 3 =1-

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