【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第2节 函数的单_图文

第二节 考纲传真 函数的单调性与最大(小)值 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于 任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则都有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数? f(x1)<f(x2) ; (2)f(x)在区间 D 上是减函数? f(x1)>f(x2) . 2.单调性、单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ,则称 区间D 函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, y=f(x)的单调区间. 叫做 3.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意的 x∈I,都 条件 有 f(x)≤M ; ①对于任意的 x∈I,都 有 f(x)≥M ; ②存在 x0∈I,使 得 f(x0)=M . M 是 y=f(x)的最小值 ②存在 x0∈I,使 得 f(x0)=M . 结论 M 是 y=f(x)的最大值 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)对于函数 f(x),x∈D,若对任意 x1,x2∈D,x1≠x2 且 (x1 - x2)[f(x1) - f(x2)]>0 ,则函数 f(x) 在区间 D 上是增函数 ( ) 1 (2)函数 y=x的单调递减区间是(-∞, 0)∪(0, +∞)( (3)函数 y=|x|是 R 上的增函数( 增区间是[1,+∞)( ) ) ) (4)函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2. (人教 A 版教材习题改编)如果二次函数 f(x)=3x2+2(a -1)x+b 在区间(-∞,1)上是减函数,则( A. a=-2 【解析】 ) D. a≥2 B. a=2 C. a≤-2 a-1 二次函数的对称轴方程为 x=- , 3 a-1 由题意知- ≥1,即 a≤-2. 3 【答案】 C 3.(2014· 西城模拟)下列函数中在区间(0,+∞)上单调递 减的是( ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) 1 A.f(x)=x C.f(x)=ex 1 【解析】 根据函数的图象知,函数 f(x)=x在(0,+∞) 上单调递减,故选 A. 【答案】 A 4. 函数 y=(2k+1)x+b 在 R 上是减函数, 则 k 的取值范 围是________. 【解析】 【答案】 1 由 2k+1<0 得 k<- . 2 1 k<- 2 5.f(x)=x2-2x,x∈[-2,3]的单调增区间为________, f(x)max=________. 【解析】 f(x)=(x-1)2-1, 故 f(x)的单调增区间为[1,3], f(x)max=f(-2)=8. 【答案】 [1,3] 8 考向 1 函数单调性的判断 (2014· 无锡模拟)(1)函数 f(x)=log2(x2-1)的单 【例 1】 调递减区间为________. ax (2) 试讨论函数 f(x) = 2 , x ∈ ( - 1,1) 的单调性 ( 其中 x -1 a≠0). 【思路点拨】 (1)根据对数函数的单调性求解. (2)根据单调函数的定义或利用导数求解. 【尝试解答】 (1)由 x2-1>0 得 x>1 或 x<-1,即函 数 f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). 令 t=x2-1,因为 y=log2t 在 t∈(0,+∞)上为增函数, t=x2-1 在 x∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数 f(x)= log2(x2-1)的单调递减区间为(-∞,-1). 【答案】 (2)法一 (-∞,-1) 设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2 -1 a?x2-x1??x1x2+1? = . 2 2 ?x1-1??x2-1? ∵-1<x1<x2<1, 2 ∴x2-x1>0,x2 - 1 < 0 , x 1 2-1<0. -1<x1x2<1,∴x1x2+1>0. ?x2-x1??x2x1+1? ∴ 2 >0. ?x1-1??x2 - 1 ? 2 因此,当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 法二 a?x2-1?-2ax2 -a?x2+1? f′(x)= = 2 . ?x2-1?2 ?x -1?2 当 a>0 时,f′(x)<0, 当 a<0 时,f′(x)>0. ∴当 a>0 时,f(x)在(-1,1)上为减函数. 规律方法 1 1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定 义域内求单调区间,如求题(1). 2.函数单调性的判断方法有:(1)定义法;(2)图象法;(3) 利用已知函数的单调性;(4)导数法. 3. 函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层 函数 t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 变式训练 1 (2014· 合肥高三质检)用定义法判断函数 y= x2-1在其定义域上的单调性. 【解】 由 x2-1≥0 得 x≥1 或 x≤-1,即函数的定义 域为(-∞,-1]∪[1,+∞). 设 x1<x2,则 2 2 x - x 1 2 2 f(x1)-f(x2)= x2 - 1 - x - 1 = 1 2 2 x1 -1+ x2 2- 1 ?x1-x2??x1+x2? = 2 . 2 x1-1+ x2-1 ∵x1-x2<0, x2 1-1>0, x2 2-1>0,

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