第一章习题课排列与组合_图文

本 课 时 栏 目 开 关

习题课

【学习要求】

进一步深化排列与组合的概念,了解组合的两个性质;综合



运用排列组合解决计数问题.

课 时

【学法指导】

栏 目

本节学习过程中,注意以下几点:(1)注意区别“恰好”与

开 关

“至少”;(2)特殊元素(或位置)优先安排;(3)“相邻”用

“捆绑”,“不邻”就“插空”;(4)混合问题,先“组”后

“排”.

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

1.下列问题中是组合问题的个数是

(B )



①从全班 50 人中选出 5 名组成班委会;

课 时

②从全班 50 人中选出 5 名分别担任班长、副班长、团支

栏 目

部书记、学习委员、生活委员;

开 关

③从 1,2,3,…,9 中任取出两个数求积;

④从 1,2,3,…,9 中任取出两个数求差或商.

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 ①③与顺序无关,属于组合问题,②④与顺序有

关,属于排列问题.

试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

2.有三张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的
种数是____1_0___.



解析 不同方法为 C35=10(种).













试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

3.要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学,不同方法

本 课

的种数是____6_0___.

时 栏

解析 不同方法为 A53=5×4×3=60(种).







试一试·双基题目、基础更牢固

习题课

4.5 名工人要在 3 天中各自选择 1 天休息,不同方法的种数

是___2_4_3___.



解析 不同方法为 35=243(种).













研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型一 组合数的两个性质

例 1 (1)计算:①C130和 C710;②C37-C26与 C36;③C141+C511与

本 课

C512.

时 栏

(2)由(1)中计算,你有没有发现一些规律,能不能总结并证

目 开

明一下?

关 解 (1)①120 120 ②20 20 ③792 792

(2)组合数具备以下两个性质:

①Cmn =Cnn-m;②Cmn+1=Cmn +Cmn -1. 证明如下:
①∵Cnn-m=?n-m?![nn! -?n-m?]!=m!?nn! -m?!,

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

又 Cmn =m!?nn! -m?!,∴Cnm=Cnn-m. ②Cmn +Cmn -1=m!?nn!-m?!+?m-1?![nn!-?m-1?]!

本 课

=n!m?!n-?nm-+m1+?+1?n!!m=?mn-!m?n+-1m++m1??n!!



栏 目 开

=m!??nn+ -1m?+!1?!=Cmn+1,

关 ∴Cmn+1=Cmn +Cmn -1.

小结 第一个性质常用于 m>n2时组合数的计算,该性质可较大

幅度地减少运算量;第二个性质常用于恒等式变形和证明等式.

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

跟踪训练 1 (1)C91800+C129090;(2)C73+C74+C85+C69.

解 (1)C91080+C129090=C1200+C1200=1020××199+200=5 150.

本 课

(2)原式=C84+C85+C96=C95+C96=C160=C410=210.











研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型二 分组分配问题

例 2 将 6 本不同的书,分配给甲、乙、丙三人,问如下分配

的分配方法各有多少种?

(1)甲一本,乙两本,丙三本?

本 课

(2)其中有一人一本,有一人两本,有一人三本?

时 栏

(3)甲、乙、丙每人两本?


开 (4)分成三堆,每堆两本?



解 (1)甲一本,有 C61种取法;乙从剩余的 5 本中任取 2 本,

有 C25种取法;丙有 C33种取法,故有 C16·C25·C33种取法.

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

(2)有一人一本,有一人两本,有一人三本,没指定哪个人几本,

故在(1)的情况下,甲、乙、丙手中的书可以任意交换,故有

C61·C25·C33·A33种分配法.

(3)同(1)一样,甲、乙、丙依次去取书,共有 C26·C24·C22种取法,

本 课

即共有 C26·C24·C22种分配方法.

时 (4)分成三堆,每堆两本,注意与(3)中的情况不同,假如在(3)

栏 目

中甲选 AB,乙选 CD,丙选 EF,这是一种分法,将 AB,CD,

开 关

EF 任意交换得到甲、乙、丙不同的分法.如甲 CD,乙 AB,

丙 EF 或甲 EF,乙 AB,丙 CD,…,而分成三堆都属于同一 种分法.故应有C26·AC2433·C22种分法. 小结 分组问题是组合问题,分配问题是排列问题,“分组”

方法与“组合数”是不同的概念.

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习题课

跟踪训练 2 有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,

求在下列条件下,各有多少种不同的分法?

(1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本;

(2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本;

本 课

(3)甲、乙、丙各得 3 本.

时 栏



(1)由题意得:C94C53C22=1 260,

目 开

所以甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本的分法共有 1 260 种.

关 (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本,这件事分两步完成.

第一步:按 4 本、3 本、2 本分成三组,有 C49C35C22种方法;

第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A33种

方法.

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

根据分步乘法计数原理知,共有不同的分法

C94C35C22A33=7 560(种).

所以一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本的分法共有 7 560 种.



课 时

(3)用与(1)相同的方法求解,得

栏 目

C39C36C33=1 680(种).

开 关

所以甲、乙、丙各得 3 本的分法共有 1 680 种.

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

题型三 排列组合综合应用

例 3 从 6 名短跑运动员中选 4 人参加 4×100 米接力赛,如

果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛

方法?

本 解 把所选取的运动员的情况分为三类.



时 栏

第一类:甲、乙两人均不参赛,有 A44=24(种);

目 开

第二类:甲、乙两人有且只有 1 人参赛,共有 C12C34(A44-A33)

关 =144(种);

第三类:甲、乙两人都参赛,有 C24(A44-2A33+A22)=84(种).

由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有 24+144+84=

252(种).

研一研·题型解法、解题更高效

习题课

小结 排列与组合的综合问题,首先要分清何时为排列,何时

为组合.对含有特殊元素的排列组合问题,一般先进行组合,

本 课

再进行排列.对特殊元素的位置有要求时,在组合选取时,就

时 栏

要进行分类讨论,分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数

目 开

时,要注意考虑全面,排除干净.



研一研·题型解法、解题更高效

习题课

跟踪训练 3 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加某项服

务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每

项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工

作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是





时 栏

A.152

B.126

C.90

目 解析 按从事司机工作的人数进行分类:



关 (1)有 1 人从事司机工作:

C13C24A33(或 C31C31C42A22)=108(种);

(2)有 2 人从事司机工作:C32·A33=18(种). ∴不同安排方案的种数是 108+18=126.

(B) D.54

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.若 C21x7+C21x7-1=C618,则 x=__3_或__6___.



课 时

解析 ∵C21x7+C21x7-1=C21x8,

栏 目

∴C218x=C618,

开 关

∴2x=6 或 2x+6=18,∴x=3 或 6.

习题课

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.计算:C22+C23+C24+…+C120=__1_6_5____.

解析 ∵C22=C33,

∴原式=C33+C23+C24+C25+…+C210

本 课

=C34+C24+C25+C26+…+C210

时 栏

=…=C310+C210=C131=165.







习题课

练一练·当堂检测、目标达成落实处

习题课

3.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子

里,使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号,则

不同的放球方法有___1_0____种.

本 解析 有两种放球方案:①1 号中 1 个,2 号中 3 个,有 C14C33=

课 时

4(种);

栏 目 开 关

②1 号中 2 个,2 号中 2 个,有CA24C22 22·A22=6(种). ∴共有 10 种不同的放球方法.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

习题课

4.某电视台连续播放 5 个广告,其中有 3 个不同的商业广告和

2 个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传

广告,且 2 个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方

本 式有____3_6___种.


时 解析 先安排后 2 个,再安排前 3 个,由分步乘法计数原

栏 目

理知,共有 C21C31A33=36(种)不同的播放方式.





练一练·当堂检测、目标达成落实处

习题课

1.恰当利用组合数的两个性质,可使问题简化.

2.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分



利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个基本计数原





理作最后处理.



目 3.对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重





不漏.

4.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有

关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或

遗漏.


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