2015全国高中数学联赛天津预赛试题及答案

2015年高中数学联赛天津市预赛参考答案与评分标准
一、选择题(每小题6分,共36分)

1. 设, 和 是三个集合,则 和 都是的子集是( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ∪ 成
立的(

). (B) 必要条件,但不是充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

(A) 充分条件,但不是必要条件 (C) 充分必要条件

解 如果 和 都是的子集,则 ∩ = , ∩ = , 从而( ∩ ) ∪ ( ∩ ) =

∪ 成立;反过来,如果( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ∪ 成立,则由 ∩ 和 ∩ 都
是的子集知 ∪ 是的子集,即 和 都是的子集. 故选(C). √ 2. 方程| | = 1 + 2 ? 2 表示的曲线是( ).

(A) 一个圆

(B) 两个半圆

(C) 一个椭圆



(D) 以上结论都不对 √ √ √ 由 方 程| | = 1 + 2 ? 2 得 = 1 + 2 ? 2 以 及 = ?1 ? 2 ? 2 ,

分 别 表 示 圆 心 在(1, 1), 半 径 为1的 介 于(0, 1), (2, 1)之 间 的 上 半 圆 周 以 及 圆 心 在(?1, ?1), 半径为1的介于(0, ?1), (2, ?1)之间的下半圆周. 故选(B).

3. 用[]表示不大于的最大整数,方程2 ? [] ? 2 = 0共有(
根.

)个 不 同 的 实

(A) 1
解 由[]

(B) 2

(C) 3

(D) 4 0, 故 ∈ [?1, 2]. 于 是[]只 能

和2 ? [] ? 2 = 0得2 ? ? 2

为?1, 0, 1, 2. 当[] = ?1时 , 解 得 = ?1; 当[] = 0时 无 解; 当[] = 1时 , 解 √ √ 得 = 3; 当[] = 2时,解得 = 2. 因此方程2 ? [] ? 2 = 0的实根为?1, 3,

2. 故选(C). 4. 方程3 + 5 + 7 = 11 共有( (A) 0


)个不同的实根.

(B) 1 (C) 2 (D) 3 (? 3 )? (? 5 )? (? 7 )? 令 () = 11 + 11 + 11 ? 1, 则 方 程3 + 5 + 7 = 11 等 价 于 方

38 程 () = 0. 注意到 (0) = 2 > 0, (2) = ? 121 < 0, 可知方程 () = 0在(0, 2)中

有一个实根. 因为 ()在(?∞, +∞)上严格单调递减,所以方程 () = 0恰有唯 一实根. 故选(B).

参考答案与评分标准第1页

5. 在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线,则这两条
对角线所在的直线为异面直线的概率等于( ). 7 9 7 (A) (B) (C) (D) 以上结果都不对 30 20 15 解 在 正 方 体 的12条 面 对 角 线 和4条体 对 角 线 中 选 取 两 条 对 角 线 的 取 法 有C2 16 = 16 · 15 = 120种. 两条对角线所在的直线为异面直线时,这两条对角线至少有一 2 条是面对角线. 任取一条面对角线,在其余11条面对角线中,有5条面对角线与该 12 · 5 对角线异面. 又因为是成对计算数目,所以这种情形下共有 = 30对异面直 2 线. 任取一条面对角线,在4条体对角线中,有2条体对角线与该对角线异面,因 此这种情形下共有12 · 2 = 24对异面直线. 于是随机选取的两条对角线所在的直 30 + 24 9 = . 故选(B). 线为异面直线的概率是 120 20 6. 设△ 的周长为12, 内切圆的半径为1, 则( ).

(A) △ 必为直角三角形

(B) △ 必为锐角三角形 (D) 以上结论都不对

(C) △ 必为直角三角形或锐角三角形

解 因为△ 的周长为12, 所以△ 的内切圆的半径为1当且仅当△ 的

· 1 = 6. 于是有方程组 面积为 12 2
? ? ? 1 sin = 6, 2 ? ? + + √2 + 2 ? 2 cos = 12. 由后一个方程得

2 + 2 ? 2 cos = 2 + 2 + 144 + 2 ? 24 ? 24,
整理化简得

+ = 6 +
由前一个方程得 =
12 , sin

1 (1 + cos ). 12

代入上式得 + = 6 + 1+cos , 于是和是方程 sin (? )? 1 + cos 12 + =0 2 ? 6 + sin sin

的 两 个 根. 特 别 地 , = 90? 时 , 解 得, 为3, 4, 此 时 = 5, 方 程 的 判 别 式Δ = 72 ? 4 · 12 = 1. 由90? 增 加 一 个 非 常 小 的 角 度 , 可 以 使 得 方 程 的 判 别

参考答案与评分标准第2页

式Δ仍大于0, 这时仍可由方程组解出, ,再得到, 这时三边长与3, 4, 5也相差 很小. 因此,有钝角三角形满足周长为12, 内切圆的半径为1. 故选(D). 二、填空题(每小题9分,共54分)

1. 在正四棱锥 ? 中,四个侧面都是等边三角形,设该四棱锥的侧面与
底面所成的二面角的大小为,则tan 等于

.

解 不妨设 = 1, 是 的中点,是正方形的中心. 连结 , ,

. 因 为 ⊥ , ⊥ , 所 以∠ 就 是 侧 面 与 底 面所 成 √ √ √ 3 2 2 ? 2 = 的二面角. 因为 = 1 , = , 所 以 = . 因此 2 2 2 √ = 2.

tan = tan ∠ = √

故tan 等于

2

.

2. 设{ }和{ }都 是 等 差 数 列 , , 分 别 是{ }, { }的 前项 之 和 , 已 8 5 ? 3 知 . , 则 等于 = + 9 8 5 ? 3 解 设{ }的公差为1 , { }的公差为2 , 则由 = 得 + 9 1 + 1 ( ? 1)1 5 ? 3 2 = . 1 + 9 1 + 2 ( ? 1)2
设2 = , 则1 = 5, 进一步得到1 = , 1 = 5. 于是有

8 + 7 · 5 36 = = = 3. 8 5 + 7 · 12


8 等于 8

3

.

3. 设是 原 点 , 点是 抛 物 线 =

1 2 + 1上 的 一 个 动点 , 点 是 抛 物 线 = 4 2 + 4上的一个动点,则△ 的面积的最小值为 . 参考答案与评分标准第3页

解 设(2 + 1, 2), (, 2 + 4), 则 ? ? ? ? 0 1? ? 0 ? ? 1? 2 ? ? + 1 2 1? ? 2? ? ? 2 ? + 4 1?

△ =

]? 1 [? 2 ( + 1)(2 + 4) ? 2 2 )? 1 (? 2 2 = + 42 ? 2 + 2 + 4 2 1 ·4 2 = 2.

=

其中当 = = 0时等式成立. 因此,△ 的面积的最小值为 2015 ∑? 4. 设 = · 2 , 则除以100的余数是 .
=1

2

.

解 由 =

2015 ∑? =1

· 2 得2 =

2015 ∑? =1

· 2+1 =

2016 ∑? =1

( ? 1) · 2 , 从而有
2015 ∑? =1

= 2 ? =

2016 ∑? =1

( ? 1) · 2 ?

2015 ∑? =1

· 2 = 2015 · 22016 ?

2 = 2014 · 22016 + 2.

由210 = 1024可 见 当 正 整 数 > 1时 ,220+ ? 2 = 2 · 1025 · 1023是100的 倍 数, 从 而22016 除 以100与216 除 以100有 相 同 的 余 数. 再 由216 除 以100的 余 数 是36知除 以100的 余 数 等 于14 · 36 + 2除 以100的 余 数 , 结 果 为6. 故除 以100的 余数是

6

.
2 1+ 4

? ? + i sin 47 , 则? 1+ + 5. 设 复 数 = cos 47 2 字作答).

+

3 ? 的值为 1+ 6 ?

?

(用 数

解 由 = cos 47 + i sin 47 知 满足方程 7 ? 1 = 0. 又由 7 ? 1 = ( ? 1)( 6 + 5 +

4 + 3 + 2 + +1)和 ?= 1知 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + +1 = 0.
分后,分母为

1+ 2

+ 1+ + 1+ 通 4 6

2

3

(1+ 2 )(1+ 4 )(1+ 6 ) = 1+ 2 + 4 + 6 + 6 + 8 + 10 + 12 = 1+ 2 + 4 + 6 + 6 + + 3 + 5 = 6 , 参考答案与评分标准第4页

分子为

(1 + 4 )(1 + 6 ) + 2 (1 + 2 )(1 + 6 ) + 3 (1 + 2 )(1 + 4 ) = (1 + 4 )( + 1) + (1 + 2 )( 2 + ) + (1 + 2 )( 3 + 1) = 1 + + 4 + 5 + + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 5 = 2(1 + + 2 + 3 + 4 + 5 ) = ?2 6 .
于是 1+ + 1+ + 1+ = 2 4 6

? ? ? 2 3 ? = ?2, 故? 1+ + + 的值为 2 . 2 1+ 4 1+ 6 ? √ 6. 设, , , 都是实数, + 2 + 3 + 4 = 10, 则2 + 2 + 2 + 2 + ( + +
2 3

?2 6 6

. √ 解 由 + 2 + 3 + 4 = 10得 (1 ? ) + (2 ? ) + (3 ? ) + (4 ? ) + ( + + + ) =
再由柯西不等式得 ]? ]? [? [? (1 ? )2 + (2 ? )2 + (3 ? )2 + (4 ? )2 + 2 · 2 + 2 + 2 + 2 + ( + + + )2 因此有

+ )2 的最小值是



10.

10.

2 + 2 + 2 + 2 + ( + + + )2
其中等式成立当且仅当 = 2, = ?

52


10 10 = ? 20 + 30 5( ? 2)2 + 10


10 = 1, 10

10 , 10

= 0, = 1 .

10 , 10



=

10 . 5

故2 + 2 +

2 + 2 + ( + + + )2 的最小值是

三 、 解 答 题(每 小 题20分 , 共60分. 每 小 题 只 设0分 ,5分 ,10分 ,15分 ,20分 五 档) (? √ ]? 1 √ ? 2, 证明:对任意 ∈ 22 , 1 , 有 √ 2 < ( ()) < . 2

1. 设 () = +

参考答案与评分标准第5页

因为当 ∈ (0, 1)时,有 ′ () = 1 ? (? √ ]? 减. 于是对任意 ∈ 22 , 1 , 有 证

1 2

< 0, 所以 ()在(0, 1]上严格单调递

2?



2 = (1)

(? √ )? √ 2 2 = () < . 2 2 (? √

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5分) ]? 再由 ()在(0, 1]上严格单调递减知对任意 ∈ 22 , 1 , 有 (? √ )? √ 2 2 = . ( ()) > 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10分)
对任意 ∈ (? √
2 ,1 2

]?

, ( ()) < 当且仅当

√ 1 1 √ ? 2 2 < 0. + 1 + ? 2 (? √ ]? 这又等价于对任意 ∈ 22 , 1 , 有 √ √ 2 23 ? 62 + 3 2 ? 1 > 0. √ √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15分) (? √ ]? = 0. 因为对任意 ∈ 22 , 1 , 有

令 () = 2 23 ? 62 + 3 2 ? 1, 则

(? √ )?
2 2

)? )?2 √ √ √ (? √ √ (?√ ′ () = 6 22 ? 12 + 3 2 = 3 2 22 ? 2 2 + 1 = 3 2 2 ? 1 > 0, [? √ ]? (? √ ]? (? √ )? 所以 ()在 22 , 1 上严格单调递增. 因此对任意 ∈ 22 , 1 , 有 () > 22 = (? √ ]? 0. 这样就证明了对任意 ∈ 22 , 1 , 有 ( ()) < .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (20分) 2. 已 知正 三 角 形 内 接 于 抛 物 线 = 2 , △ 的 重 心 落 在 双 曲 线 = 1上,求点 的坐标.
2 2 2 解 设(1 , 1 ), (2 , 2 ), (3 , 3 ), 和 的中点分别为 和, 则△ 是

正 三 角 形 当 且 仅 当1 , 2 , 3 互 不 相 等 , 且⊥ , ⊥ . 点的 坐 标 )? (? 2 2 + 3 为 2 2 3 , 2 + , 故由⊥ 得 2 (? 2 )? (? )? 2 2 + 3 2 + 3 2 2 2 (2 ? 3 ) ? 1 + (2 ? 3 ) ? 1 = 0, 2 2

参考答案与评分标准第6页

再由2 ?= 3 得
2 2 2 (2 + 3 )(2 + 3 ? 21 ) + (2 + 3 ? 21 ) = 0.

同理由 ⊥ 得
2 2 2 (1 + 2 )(1 + 2 ? 23 ) + (1 + 2 ? 23 ) = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5分)
上面两式相减,得
3 3 2 2 2 (3 ? 1 ) + 32 (3 ? 1 ) + (3 ? 1 )(2 + 21 3 ) + 3(3 ? 1 ) = 0,

再由1 ?= 3 , 将上式整理化简得
2 2 2 (1 + 2 + 3 ) + 3(1 2 + 2 3 + 3 1 ) + 3 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10分)
设点 的坐标为(, ), 则 =
2 2 2 1 +2 +3

3

, =

1 +2 +3 , 3

故由上式得

3 + 3 ·
整理化简得9 2 ? + 2 = 0.

9 2 ? 3 + 3 = 0, 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (15分)
1 又由 = 1得 = , 代入上式整理化简得方程3 ? 22 ? 9 = 0. 因为3 ? 22 ?

9 = ( ? 3)(2 + + 3), 所以方程3 ? 22 ? 9 = 0只有一个实根 = 3. 因此, (? 1 )? 点 的坐标为 3, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (20分) 4 3. 设1 = 1, 2 = 8, +1 = ?1 + , = 2, 3, · · · . (1) 证明:存在常数 > 0, 使得对任意正整数, 有 2 . (2) 证明:对任意正整数, 有+1 ?


4 + 3.

(1) 记 =

, 2

则1 = 1, 2 = 2, ( + 1)2 +1 = ( ? 1)2 ?1 + 4 ,

= 2, 3, · · · , 故 +1 = ( ? 1)2 4 ?1 + , = 2, 3, · · · . ( + 1)2 ( + 1)2 参考答案与评分标准第7页

下面用数学归纳法证明对任意正整数, 有 立. 设

2. 当 = 1和 = 2时,

2成

2, = 1, 2, · · · , , 则 ( ? 1)2 4 ?1 + ( + 1)2 ( + 1)2 ( ? 1)2 4 ·2+ · 2 = 2. ( + 1)2 ( + 1)2 2. 于是取 = 2, 对任意正整数,

+1 =

因 此 由 数 学 归 纳 法 知 对 任 意 正整 数, 有 有

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5分)

注 也可取

2, 直接用数学归纳法证明对任意正整数, 有

2 .

(2) 由( + 1)2 +1 = ( ? 1)2 ?1 + 4 , = 2, 3, · · · 得 ( + 1)2 (+1 ? ) = ?( ? 1)2 ( ? ?1 ), = 2, 3, · · · .
记 = +1 ? , = 1, 2, · · · , 则1 = 1,

?1

=?

( ? 1)2 , = 2, 3, · · · . ( + 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10分)

于是对任意正整数, 有

=

?1 2 = · ··· 1 ?1 ?2 1 [? ]? [? ]? [? 2 ]? 2 ( ? 1) ( ? 2)2 1 = ? · ? ··· ? 2 2 2 ( + 1) 3 4 = (?1)?1 · 2 . ( + 1)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (15分)

因此当 > 1时,有 [? ]? +1 ? = ( + 1)2 +1 ? 2 = ( + 1)2 + ( + 1)2 ? 2 4 = (?1) · 2 + (2 + 1) 1 + (2 + 1) · 2 = 4 + 3. 又当 = 1时,2 ? 1 = 7 = 4 + 3, 故对任意正整数, 有+1 ?

4 + 3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . (20分) 参考答案与评分标准第8页


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