含参不等式的解法(教师版)

不等式(3)----含参不等式的解法
当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可以从以下两个方 面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响,其次是字母对这个不等式的 解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题,同时还要注意是参数的选取确定了不等式 的解,而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。

(一)几类常见的含参数不等式
一、含参数的一元二次不等式的解法: 例 1:解关于的 x 不等式 (m ? 1) x2 ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R) 分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类 讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿=4(3-m)>0,图象开口向下, 与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一 个公共点,不等式的解为方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的根。⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,不等式的解集为 ? 。
2

解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ? ;

? ?

1? 4?

当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ? 当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判别式分类讨论。 ⑵利用函数图象必须明确: ①图象开口方向, ②判别式确定解的存在范围, ③两根大小。 ⑶二次项的取值 (如 取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 牛刀小试:解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0) 思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完 成。 二、含参数的分式不等式的解法: 例 2:解关于 x 的不等式

? ?

1? ?; 2?

ax ? 1 ?0 x ?x?2
2

分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对 ax-1 中的 a 进行分类讨论求解,还需用到序 轴标根法。 解:原不等式等价于 (ax ? 1)(x ? 2)(x ? 1) ? 0 当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 ? x ? 2 };
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当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

1 则:当 a ? 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? ?1且x ? 2? ; 2 1 1 ? 当 0< a ? 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; 2 a ? ?

1 1 ? 当 a ? 时, 原不等式的解集为 ? ? x | ?1 ? x ? 或x ? 2? ; 2 a ? ?
当 a <0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

则当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? 2且x ? ?1? ;
1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; a ? ? 1 ? 当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? ?1或 ? x ? 2? ; a ? ?

小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0 的情况以及对

1 ,-1 和 2 的大小进行比较再结合系轴标根法 a

写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时,一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划 分,做到不重不漏,三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、 通分等一系列手段,把不等号一边化为 0,再转化为乘积不等式来解决。 牛刀小试:解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 1, (a ? 1) x?2

思路点拨: 将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论: 先按 a >1 和 a <1 分为两类, 再在 a <1 的情况下, 又要按两根

a?2 与 2 的大小关系分为 a ? 0, a ? 0和0 ? a ? 1 三种情况。 有很多同学找不到分类 a ?1

的依据,缺乏分类讨论的意识,通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。 三、含参数的绝对值不等式的解法: 例 3:解关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? bx, (a ? 0, b ? 0) 分 析 : 解 绝 对 值 不 等 式 的 思 路 是 去 掉 绝 对 值 符 号 , 本 题 要 用 到 同 解 变 形 | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式,然后就 a 、 b 两 个参数间的大小关系分类讨论求解。 解: | ax ? 2 |? bx ? ax ? 2 ? ?bx或ax ? 2 ? bx ? (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 当 a ? b ? 0 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 2 ?; 此时原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? a?b a ? b? ?

2 2 或x ? a?b a?b

当 a ? b ? 0 时,由 (a ? b) x ? 2得x ?

2 , 而(a ? b) x ? 2无解 , a?b

2 ?; 此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?
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当 0 ? a ? b 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 ?; 此时此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

2 2 2 或x ? ? x? a?b a?b a?b

2 2 ? ;当 b ? a ? 0 时,原不等式的解 综上所述,当 a ? b ? 0 时,原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? a ? b a ? b? ? 2 ?。 集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

小结:去掉绝对值符号的方法有①定义法: | a |? {?a ( a?0) ②平方法: | f ( x) |?| g ( x) |?

a ( a?0)

f 2 ( x) ? g 2 ( x) ③利用同解变形: | x |? a ? ?a ? x ? a, (a ? 0);| x |? a ? x ? ?a或x ? a, (a ? 0);
| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x); | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ;

(二)解含参数不等式的常用方法
一、通过讨论解带参数不等式 例 1: x2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 例 2:关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 对于 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 二、已知解集的参数不等式

A ? x|x2 ? 5x ? 4 ≤0 B ? x | x2 ? 2ax ? a ? 2 ≤0 例 3:已知集合 , ,若 B ? A ,求实数 a 的取值范围. 三、使用变量分离方法解带参数不等式
2 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,则 a 的取值范围. 例 4:若不等式 x +ax+

?

?

?

?

1 2

? 1 ? 2 x ? ? ? ?n ? 1?x ? n x a ? 例 5:设 f ? x ? ? lg ? ? ,其中 a 是实数,n 是任意给定的自然数且 n≥2,若 f ?x ? n ? ? 当 x ? ?? ?,1? 时有意义, 求 a 的取值范围。 例 6: 已知定义在 R 上函数 f(x)为奇函数,且在 ?0,??? 上是增函数,对于任意 x ? R 求实 数 m 范围,使 f ?cos2? ? 3? ? f ?4m ? 2m cos? ? ? 0 恒成立。 思考:对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范
围。如何求解? 分离参数法适用题型: (1) 参数与变量能分离; (2) 函数的最值易求出。 四、主参换位法解带参数不等式 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数 的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出 奇制胜的效果。 一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。 例 7:若对于任意 a ? ?? 1,1? ,函数 f ?x? ? x ? ?a ? 4?x ? 4 ? 2a 的值恒大于 0,求 x 的 取值范围。 分析:此题若把它看成 x 的二次函数,由于 a, x 都要变,则函数的最小值很难求出,思路 受阻。若视 a 为主元,则给解题带来转机。
2
2 例 8:已知 ? 9 ? a ? 1 ,关于 x 的不等式: ax ? 5 x ? 4 ? 0 恒成立,求 x 的范围。

?

?

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例 10: 对于(0,3)上的一切实数 x,不等式 ?x ? 2?m ? 2 x ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围。 分析: 一般的思路是求 x 的表达式,利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时,两边必须除以有 关 m 的式子,涉及对 m 讨论,显得麻烦。 五、数形结合法 例 11:若不等式 3x 2 ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。 六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法

例 9: 若对一切 p ? 2 ,不等式 ?log2 x? ? p log2 x ? 1 ? 2 log2 x ? p 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

? 1? ? 3?

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