数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质_图文

四、离散傅里叶变换的性质

DFT正变换和反变换:

N ?1
? X (k) ? DFT[x(n)] ? x(n)WNnk RN (k) n?0

? x(n)

?

IDFT[ X

(k )]

?

1 N

N ?1
X (k )WN?nk RN (n)
k ?0

其中:

? j 2?
WN ? e N

课件

1

1、线性:



X1(k) ? DFT[x1(n)]

X 2 (k) ? DFT[x2 (n)]

则 DFT[ax1(n) ? bx2 (n)] ? aX1(k) ? bX 2 (k)

a, b为任意常数

这里,序列长度及DFT点数均为N 若不等,分别为N1,N2,则需补零使两序列长度 相等,均为N,且 N ? max[N1, N2 ]

课件

2

2、序列的圆周移位
定义: xm (n) ? x((n ? m))N RN (n)

周期 移位

取主值

x(n)

x(n)

延拓

x(n ? m) ? x((n ? m))N 序列

xm (n)

课件

3

课件

4

X m (k) ? DFT[xm (n)] ? DFT[x((n ? m))N RN (n)] ? WN?mk X (k)

证:DFT [x((n ? m))N RN (n)] ? DFT[x(n ? m)RN (n)]

? DFS[x(n ? m)]RN (k )

?

W ?mk N

X

(k

)

RN

(k

)

? WN?mk X (k )

有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移, 而对频谱幅度无影响。

课件

5

调制特性:

IDFT

[

X

((k

?

l )) N

RN

(k

)]

?

WNnl

x(n)

?

?
e

j

2? N

nl

x(n)

证:IDFT[ X ((k ? l))N RN (k)] ? IDFT[ X (k ? l)RN (k)] ? IDFS[ X (k ? l)]RN (n) ? WNnl x(n)RN (n) ? WNnl x(n)

时域序列的调制等效于频域的圆周移位

课件

6

DFT

? ??

x(n) cos

? ??

2? nl
N

?? ????

?

1 ? X ((k
2

? l))N

?

X ((k

?

l )) N

?RN (k)

DFT

? ??

x(n) sin

? ??

2? nl
N

?? ????

?

1 2j

?X

((k

? l))N

?

X

((k

? l))N

? RN

(k )

证:IDFT

?1

? ?

2

j

?

X

((k

?

l )) N

?

X

((k

?

l )) N

? RN

? (k)?
?

?

1 2j

??WN?nl

x(n)

? WNnl

x(n)??

j 2? nl

? j 2? nl

eN ?

?e N

x(n) ? x(n)sin 2? nl

2j

N

课件

7

3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到: 任意序列可表示成 xe (n) 和 xo (n) 之和:
x(n) ? xe (n) ? xo (n)
其中:xe (n) ? xe*(?n) ? 1/ 2[x(n) ? x*(?n)]
xo (n) ? ?xo*(?n) ? 1/ 2[x(n) ? x*(?n)]

课件

8

xe (n)

?

1 2

[x(n)

?

x* ( ?n )]

x((n))N

xe (n)

?

1 2

[x(n)

?

x* ( ?n )]

x*((N ? n))N

课件

9

任意周期序列:x(n) ? xe (n) ? xo (n)
其中: 共轭对称分量:
xe (n) ? xe*(?n) ? 1/ 2[x(n) ? x*(?n)] ? 1/ 2[x((n))N ? x*((N ? n))N ]
共轭反对称分量:
xo (n) ? ?xo*(?n) ? 1/ 2[x(n) ? x*(?n)] ? 1/ 2[x((n))N ? x*((N ? n))N ]

课件

10

定义:

圆周共轭对称序列: xep (n) ? xe (n)RN (n) ? 1/ 2[x((n))N ? x*((N ? n))N ]RN (n)

圆周共轭反对称序列: xop (n) ? xo (n)RN (n) ? 1/ 2[x((n))N ? x*((N ? n))N ]RN (n)

则任意有限长序列:

x(n) ? xep (n) ? xop (n)

课件

11

圆周共轭对称序列满足:
xep (n) ? xe*p ((N ? n))N RN (n)
实部圆周偶对称 Re[xep (n)] ? Re[xep ((N ? n))N RN (n)] 虚部圆周奇对称 Im[xep (n)] ? ? Im[xep ((N ? n))N RN (n)]
幅度圆周偶对称 xep (n) ? xep ((N ? n))N RN (n) 幅角圆周奇对称 arg[xep (n)] ? ?arg[xep ((N ? n))N RN (n)]

课件

12

课件

13

课件

14

圆周共轭反对称序列满足:
xop (n) ? ?xo*p ((N ? n))N RN (n) 实部圆周奇对称 Re[xop (n)] ? ? Re[xop ((N ? n))N RN (n)] 虚部圆周偶对称 Im[xop (n)] ? Im[xop ((N ? n))N RN (n)]

幅度圆周偶对称 幅角没有对称性

xop (n) ? xop ((N ? n))N RN (n)

课件

15

同理: X (k) ? Xep (k) ? Xop (k)

其中:

X ep (k) ?

X

* ep

((

N

? k))N RN (k)

? 1/ 2[ X ((k))N ? X *((N ? k))N ]RN (k)

X op

(k)

?

?

X

* op

((N

?

k )) N

RN

(k)

? 1/ 2[ X ((k))N ? X *((N ? k))N ]RN (k)

课件

16

共轭对称性

序列
x(n)

DFT
X (k)

Re[ x(n)] j Im[x(n)]

X ep (k) Xop (k)

xep (n) xop (n)

Re[X (k)] j Im[X (k)]

课件

17

实数序列的共轭对称性

序列
Re[ x(n)] j Im[x(n)] ? 0
xep (n) xop (n)

DFT
X ep (k) ? X (k) Xop (k) ? 0
Re[X (k)] j Im[X (k)]

课件

18

纯虚序列的共轭对称性

序列
Re[x(n)] ? 0 j Im[x(n)]
xep (n) xop (n)

DFT
X ep (k) ? 0 Xop (k) ? X (k)
Re[X (k)] j Im[X (k)]

课件

19

例:设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列,试用 一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
DFT[x1(n)] ? X1(k) DFT[x2 (n)] ? X 2 (k)
解:利用两序列构成一个复序列 w(n) ? x1(n) ? jx2 (n)
则 W (k) ? DFT[w(n)] ? DFT[x1(n) ? jx2 (n)] ? DFT[x1(n)] ? jDFT[x2 (n)] ? X1(k ) ? jX 2 (k )

课件

20

由x1(n) ? Re[w(n)]得

X1(k) ? DFT[x1(n)] ? DFT{Re[w(n)]} ? Wep (k)

?

1 2

[W

((k

))

N

? W *((N

?

k ))N

]RN

(k)

由x2 (n) ? Im[w(n)]得

X 2 (k )

?

DFT [x2 (n)]

?

DFT {Im[ w(n )]}

?

1 j Wop (k )

?

1 2j

[W

((k )) N

?W

* (( N

?

k )) N

]RN

(k)

课件

21

例:设x(n)是2N点实数序列,试用一次N点DFT 来计算x(n)的2N点DFT: X (k)

解:将x(n)按奇偶分组,令

x1(n) ? x(2n)

n ? 0,1,..., N ?1

x2 (n) ? x(2n ?1) n ? 0,1,..., N ?1

构成一个复序列 w(n) ? x1(n) ? jx2 (n)

对w(n)进行一次N点DFT运算

W (k) ? DFT[w(n)] ? X1(k) ? jX 2 (k)

得 X1(k ) ? Wep (k )

X 2 (k )

?

1 j Wop (k )

均为N点DFT

?

而X (k)是2N点DFT

课件

22

4、复共轭序列

DFT[x*(n)] ? X *((?k))N RN (k) ? X *((N ? k))N RN (k)

N ?1
? 证:DFT [x*(n)] ? x*(n)WNnk RN (k )
n?0

? ?

? N ?1 ?? n?0

x(n)WN?nk

*
? ??

RN

(k)

? X *((?k))N RN (k)

? ?

? N ?1 ?? n?0

x(n)WN( N

?k )n

*
? ??

RN

(k)

? X *((N ? k))N RN (k)

课件

23

DFT

?? x*

???n?? N

RN

?n???

?

X

*

?k

?

N ?1
? 证:DFT [x*((?n))N RN (n)] ? x*((?n))N RN (n)WNnk

n?0

? ?

? N ?1 ?? n?0

x((?n))N

W ?nk N

*
? ??

? ?

?? N ?1 ?? m?0

x((m))N

WNmk

*
? ??

令m ? ?n

? ? ? ? ? ?

? N ?1 ?? n?0

x

n

*

N

WNnk

? ??

? ? ? ?

? N ?1 ?? n?0

x

n

*
WNn课k ???件

? X *(k)

24

5、DFT形式下的Parseval定理

? ? N?1
x(n) y*(n) ?

1

N ?1
X (k)Y *(k)

n?0

N k?0

? ? ? 证:

N ?1
x(n) y*(n)
n?0

?

N ?1 n?0

x(n)

? ??

1 N

N ?1
Y (k )WN?nk
k ?0

*
? ??

? ? ?

1 N

N ?1

N ?1

Y *(k ) x(n)WNnk

k ?0

n?0

? ?

1

N ?1
X (k )Y *(k )

N k?0

课件

25

令y(n) ? x(n),则

? ? N ?1
x(n)x*(n) ?

1

N ?1
X (k)X *(k)

n?0

N k?0

? ? 即:

N ?1
x(n) 2 ?

1 N ?1 X (k ) 2

n?0

N k?0

课件

26

6、圆周卷积和

设x1(n)和x2 (n)都是点数为N的有限长序列 (若不等,分别为N1、N2点,则取N ? max(N1, N2 ),
对序列补零使其为N点)

DFT[x1(n)] ? X1(k) DFT[x2 (n)] ? X 2 (k)

若 Y (k) ? X1(k) ? X2(k)
N ?1
? 则 y(n) ? IDFT[Y (k)] ? [ x1(m)x2((n ? m))N ]RN (n) m?0

N ?1
? ? [ x2 (m)x1((n ? m))N ]RN (n) m?0

课件

27

证:由周期卷积和,若Y (k) ? X1(k) ? X 2 (k),
则 y(n) ? IDFS[Y (k)]
N ?1
? ? x1(m)x2 (n ? m)
m?0
N ?1
? ? x1((m))N x2 ((n ? m))N
m?0
N ?1
? ? x1(m)x2 ((n ? m))N
m?0
N ?1
? ? y(n) ? y(n)RN (n) ? [ x1(m)x2 ((n ? m))N ]RN (n)
m?0

课件

28

圆周卷积过程:

1)补零

2)周期延拓

3)翻褶,取主值序列

4)圆周移位

5)相乘相加

用 N 表示圆周卷积和

N ?1
? y(n) ? [ x1(m)x2 ((n ? m))N ]RN (n) ? x1(n) N x2 (n)
m?0
N ?1
? ? [ x2 (m)x1((n ? m))N ]RN (n) ? x2 (n) N x1(n) m?0

课件

29

课件

30

例:已知序列 x1(n) ? (5 ? n)R5(n),x2(n) ? R4(n) 求两个序列的6点圆周卷积和。

nm

…-3 -2 -1

x1 ?n / m?

x2 ?n / m?

x2

?

?

m

?

? 6

x2

?

?

?m

?

? 6

…1 0 0 …1 1 1

x2

?

?

?m

?

? 6

R6

?

n

?

x2

?

?1

?

m

?

? 6

R6

?

n

?

x2

?

?

2

?

m

?

? 6

R6

?

n

?

x2

?

?

3

?

m

?

? 6

R6

?

n

?

x2

?

?

4

?

m

?

? 6

R6

?

n

?

x2

?

?5

?

m

?

? 6

R6

?

n

?

课件

012345 543210 111100 111100 100111 100111 110011 111001 111100 011110 001111

6 7…
1 1… 1 0… y(n)
8 10 12 14 10 6
31

课件

32

同样,利用对称性

若 y(n) ? x1(n) ? x2 (n)

N ?1
? 则 Y (k) ? DFT[ y(n)] ? y(n)WNnk n?0

? ?

1 N

N ?1
[ X1(l) X 2 ((k
l ?0

? l))N ]RN (k)

? ?

1 N

N ?1
[ X 2 (l) X1((k
l ?0

? l))N ]RN (k)

课件

33

7、有限长序列的线性卷积与圆周卷积

设:x1(n) 0 ? n ? N1 ?1 x2 (n) 0 ? n ? N2 ?1 令N ? max[N1, N2]

N点圆周卷积: N ?1
? yc (n) ? x1(n) N x2 (n) ? [ x1(m)x2 ((n ? m))N ]RN (n)
m?0
N ?1
? ? [ x2 (m)x1((n ? m))N ]RN (n) ? x2 (n) N x1(n)
m?0

线性卷积:

N1 ?1
? yl (n) ? x1(n) * x2(n) ? x1(m)x2(n ? m)

m?0 N2 ?1
? ? x2 (m)x1(n ? m) ? x2 (n) * x1(n)

m?0

课件

34

讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系:

对x1(n)和x2(n)补零,使其长度均为N点;
?
对x2(n)周期延拓:x2 (n) ? x2 ((n))N ? ? x2 (n ? rN )
r ? ??
N ?1
? 圆周卷积:yc (n) ? [ x1(m)x2((n ? m))N ]RN (n) m?0

N ?1

?

? ? ? [ x1(m) x2(n ? rN ? m)]RN (n)

m?0

r ???

? N ?1

? ? ? [

x1(m)x2 (n ? rN ? m)]RN (n)

r??? m?0

?

? ? [ yl (n ? rN )]RN (n)

r ???

课件

35

N点圆周卷积yc (n)是线性卷积yl (n)以N为周期 的周期延拓序列的主值序列。
而yl (n)的长度为N1 ? N2 ?1
?只有当N ? N1 ? N2 -1时,yl (n)以N为周期进行 周期延拓才无混叠现象

即 当圆周卷积长度N ? N1 ? N2 ?1时, N点圆周卷积能代表线性卷积

x1(n) N x2 (n) ? x1(n) * x2 (n)

? ??0

N ?

? N1 ? N2 n ? N1 ? N

?1 2?

2

课件

36

课件

37

课件

38

小结:线性卷积求解方法

? 时域直接求解

?

y(n) ? x(n)*h(n) ? ? x(m)h(n ? m)

m???

? z变换法

X (z) ? ZT[x(n)] H (z) ? ZT[h(n)]

y(n) ? IZT[Y (z)] ? IZT z[X (z) ? H (z)]

? DFT法

x(n) 补N-N1个零 N点DFT
h(n) 补N-N2个零 N点DFT
课件

N点IDFT y(n) = x(n)*h(n)
39

8、线性相关与圆周相关

线性相关:

?

?

? ? rxy (m) ? x(n) y*(n ? m) ? x(n ? m) y*(n)

n???

n???

自相关函数:
?
? rxx (m) ? x(n)x*(n ? m) n???
?
? ? x(n ? m)x*(n) ? rx*x (?m) n???

课件

40

相关函数不满足交换率:
rxy (m) ? ryx (m) ? rx*y (?m)

?

?

? ? ryx (m) ? y(n)x*(n ? m) ? x*(k) y(k ? m)

n ? ??

k ???

?
? ? x*(k) y[k ? (?m)]
k ???

? ?

? ?

?

*
x(k) y*[k ? (?m)]??

?k ???

?

?
? ? rx*y (?m) ? rxy (m) ? x(n) y*(n ? m)

n ? ??

课件

41

相关函数的z变换:

Rxy

(z)

?

X

( z )Y

*(

1 z*

)

?

??

? ? ? Rxy (z) ? rxy (m)z?m ?

x(n) y*(n ? m)z?m

m???

m??? n???

?

?

? ? ? x(n) y*(n ? m)z?m

n???

m???

?

?

? ? ? x(n) y*(k )z(k?n)

n???

k ???

? ? ?

?

? x(n)z?n y*(k)zk

n ? ??

k ???

?

X

( z )Y

*(

1 z*

)

课件

42

相关函数的频谱:
Rxy (e j? ) ? X (e j? ) ?Y *(e j? ) Rxx (e j? ) ? X (e j? ) 2

课件

43

圆周相关定理
若 Rxy (k) ? X (k) ?Y *(k)
则 rxy (m) ? IDFT[Rxy (k)]
N ?1
? ? y*(n)x((n ? m))N RN (n)
n?0 N ?1
? ? x(n) y*((n ? m))N RN (n) n?0

课件

44

证:先延拓成周期序列 Rxy (k) ? X (k) ?Y *(k)

? 则

rxy (m) ? IDFS[Rxy (k )] ?

1 N

N ?1
Y *(k ) X (k )WN?mk
k ?0

? ? ?

1 N

N ?1

N ?1

Y *(k ) x(n)WNnkWN?mk

k ?0

n?0

? ? ?

N ?1
x(n)
n?0

1 N

N ?1
Y * (k )WN(n?m)k
k ?0

N ?1

N ?1

? ? x(n) y*(n ? m) ? ? y*(n)x(n ? m)

n?0

n?0

N ?1
? 则取主值序列 rxy (m) ? y*(n)x((n ? m))N RN (n)

n?0

N ?1

? ? x(n) y*((n ? m))N RN (n)

课件n?0

45

类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系
当 N ? N1 ? N2 ?1 时, 圆周相关可完全代表线性相关

课件

46


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