【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第6节 对数与对数函数_图文

第六节 考纲传真 对数与对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底 公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简 化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对 1 数函数图象通过的特殊点.会画底数为 2,10, 的对数函数的 2 图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型 .4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互 为反函数. 1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对 数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质: ①alogaN= N ; ②logaab=b(a>0, 且 a≠1). (2)换底公式:logab= >0). (3)对数的运算性质:如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0, 那么:①loga(M· N)= logaM+logaN , logcb logca (a,c 均大于 0 且不等于 1,b M logaM-logaN ②loga N = ,③logaMn=nlogaM(n∈R). 定 义 图 象 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1 定义域: (0,+∞) 值域: (-∞,+∞) 当 x=1 时,y=0,即过定点 (1,0) 性质 当 0<x<1 时, y<0; 当 x>1 时, y>0 . 当 0<x<1 时,y>0;当 x>1 时, y<0 . 在(0, +∞)上为 在(0,+∞)上为 减函数 增函数 4.反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)log2x2=2log2x( ) ) (2)当 x>1 时,logax>0( (3)函数 y=lg(x+3)+lg(x-3)与 y=lg[(x+3)(x-3)]的定 义域相同( ) ) (4)当 x>1 时,若 logax>logbx,则 a<b( 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(人教 A 版教材习题改编)2log510+log50.25=( A.0 【解析】 log525=2. 【答案】 C ) B.1 C.2 D.4 2log510+log50.25=log5100+log50.25= 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数, 且 f(2)=1,则 f(x)等于( 1 A. x 2 B.2x-2 2 ) D.log2x C.log1x 【解析】 由题意知 f(x)=logax, 又 f(2)=1, ∴loga2=1, ∴a=2.∴f(x)=log2x,故选 D. 【答案】 D 4.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca ) B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac 【解析】 由对数的运算公式 loga(bc)=logab+logac 可判 断选项 C, D 错误. 选项 A, 由对数的换底公式知, logab· logcb lg b lg b lg a =logca? · = ?lg2b=lg2a,此式不恒成立.选项 B, lg a lg c lg c lg b lg a lg b 由对数的换底公式知,logab· logca= · = =logcb,故 lg a lg c lg c 恒成立. 【答案】 B 5.(2012· 北京高考)已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=________. 【解析】 =2lg ab. 又 f(ab)=1,∴lg ab=1, ∴f(a2)+f(b2)=2. ∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2 【答案】 2 考向 1 【例 1】 对数的运算 (1)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n; ?1-log63?2+log62· log618 (2)计算 ; log64 (3)计算(log32+log92)· (log43+log83). 【思路点拨】 (1)根据乘法公式和对数运算性质进行计 算;(2)将对数式化为指数式或直接代入求解;(3)利用换底公 式和对数的运算性质求解. 【尝试解答】 (1)法一 ∵loga2=m,loga3=n, ∴am=2,an=3,∴a2m+n=(am)2· an=22×3=12. 法二 + ∵loga2=m,loga3=n, ∴a2m n=(am)2· an=(aloga2)2· aloga3=22×3=12. 6 1-2log63+?log63? +log6 · log6?6×3? 3 (2)原式= log64 2 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? = log64 1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 = log64 2?1-log63? log66-log63 log62 = = = =1. 2log62 log62 log62 ?lg (3)原式=?lg ? ?lg =?lg ? 2 lg 2? ?lg 3 lg 3? ?· ? ? + + 3 lg 9? ?lg 4 lg 8? 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? ?· ? ? + + 3 2lg 3? ?2lg 2 3lg 2? 3lg 2 5lg 3 5 = · =

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