新疆和硕县高中数学 第一章 解三角形 1.1 余弦定理教学案新人教A版5 精

余弦定理
一、教学内容分析 “余弦定理”是高中数学的主要内容之一,是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初 中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用,是解 可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。 本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课,其主要任务是引入并证明余弦定理。布鲁纳指出, 学生不是被动的、消极的知识的接受者,而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能 够独立探究的情境,引导学生去思考,参与知识获得的过程。因此,做好“余弦定理”的教学,不仅能 复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且能培养学生的应用意 识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 二、教学目标 1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类 基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论, 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题, 3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、 向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 三、学习者特征分析 对于初学者来说,学生的知识与能力还不能独立自主的完成本节课的学习,计算能力和分析问题的 能力都不够。 四、教学策略选择与设计 首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的 夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题,利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用 余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角

五、教学重点及难点

1

重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 六、教学过程 教师活动 学生活动 掌握余弦定理的两种表示形式及证明 目标解读 余弦定理的向量方法,并会运用余弦 定理解决两类基本的解三角形问题。 创设情景 预习反馈 在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ? C,求边 c 余弦定理:三角形中任何一边的 平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两 知识梳理 倍。即 设计意图

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

2

例 1 .在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 ,
0 c ? 6 ? 2 , B ? 60 ,求 b 及 A

⑴解:∵ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B =

(2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2)
cos 450 =

12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1)
例题讲解 =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用 正弦定理: ⑵ cos 解 法 一 : ∵

A?

b2 ? c 2 ? a 2 (2 2)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? (2 3)2 1 ? ? , 2bc 2 2? 2 2 ?( 6 ? 2)
∴ A ? 600.

变式训练 1: 在 ? ABC 中, 若 b=4,c=6, A=600,求 a 的值。 随堂练习与学生展示 变 式 训 练 2 : 在 ? ABC 中 , 若

a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,求角 A
变式训练 3 、在△ABC 中, bcosA =

acosB 试判断三角形的形状

3

(1) 余弦定理是任何三角形边角之间 存在的共同规律,勾股定理是余弦定 理的特例; 点评与课堂小结 (2)余弦定理的应用范围:①.已知 三边求三角;②.已知两边及它们的 夹角,求第三边。 A 组: 1、 在△ABC 中, 若 a2>b2+c2, 则△ABC 为_______;若 a2=b2+c2,则△ABC 为 ___________; 若 a <b +c 且 b <a +c 且 c <a +b ,则△ABC 为_________
2 2 2 2 2 2 2 2 2

作业布置

、 在 ?

ABC

中 , 已 知 : , 则 角

(a+b+c)(a+b-c)=3ab C=_______

B 组: 1、在△ABC 中,已知 sinB·sinC= cos2 七、教学评价设计

A ,试判断此三角形的类型 2

4

评价内容

学 生 姓名

评 价 日期 教师评价 中 差 优 良 中 差

评价项目

学生自评 优 良 中 差

生生互评 优 良

课堂表现 回答问题 作业态度 知识掌握 综合评价 寄 语 八、板书设计

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两 倍。即

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
例题讲解与学生展示 九.教学反思

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