四川省雅安市天全中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文

四川省雅安市天全中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题 文
考试时间:120 分钟 全卷满分 150 分 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前考生将自己的班 级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置. 2.答题时,用签字笔把答案写在答题卡对应位置,写在本试卷上无效. 3.考试结束后,将答卷交回. 参考公式:球的体积公式 V球 =

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径. 3
第 I 卷(选择题)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. (1)函数 y ?

1 的导数是 x
x

(A) y ' ? e

(B) y ' ? ln x

(C) y' ?

1 x2

(D) y ' ? ? x

?2

(2)函数 f ( x) ? x ln x 在点 x ? 1 处的导数为 (A) ? 1 (3)函数 f ( x) ? ? (B) 0 (C) 1 (D) 2

1 3 x ? x 2 ? 3x 的单调递增区间为 3
3) (B) ( ?1, ? ?) ? 3) 和 (1, (D) (??,
2

1) (A) ( ?3,
? ?) ? 1) 和 (3, (C) (??,
(4)在复平面内,复数 (2 ? i) 对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限 [来源:学+科网ZXK]

(5)下列命题中正确的是 (A)函数 y ? 48x ? x 有两个极值点
3

(B)函数 y ? x ? x ? x 有两个极值点
3 2

(C)函数 y ? x 有且只有 1 个极值点
3

(D)函数 y ? e ? x 无极值点
x

(6)若复数 z ? 1? i ,则 (1 ? z ) ? z ? (A) 3 ? i (B) 3 ? i (C) 1? 3i (D) 3

(7)已知函数 y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则下列说法中错误 的是 ..

1) 上单调递减 (A) f ( x) 在区间 (??,
, 4) 上单调递增 (B) f ( x) 在区间 (1
(C)当 4 ? x ? 7 时, f ' ( x) ? 0

y

O 1

4
图1

7

x
1

(D)当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 (8)设函数 f ( x) ? (A) x ?

2 ? ln x ,则 x
(B) x ?

1 为 f ( x) 的极大值点 2

1 为 f ( x) 的极小值点 2

(C) x ? 2 为 f ( x) 的极大值点 (9)若复数 z 满足 zi = 1 + i ,则 z 等于 (A) 1 ? i (10)已知复数 z ? (A) 1 (B) ?1? i

(D) x ? 2 为 f ( x) 的极小值点

(C) ?1? i

(D) 1 ? i

2i ,则 z ? 1? i
( B)

2

(C) 2

(D) 4

(11)设 a, b ? R ,且 i(a ? i) ? b ? i ,则 a ? b ? (A) 2 ( B) 1 (C) 0 (D) ? 2 )

(12)函数 f ( x) = x cos x 的导函数 f ? ( x) 在区间 [- p , p ] 上的图像大致是 ( [来源:学.科网ZXK]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
2 (13)已知函数 f ( x) ? 3 ? 8x ? x ,且 f ' ( x0 ) ? ?4 ,则 x0 ?

.

(14)设 i 为虚 数单位,复数 z ? (a 3 ? a) ?

a i,(a ? R) 为纯虚数,则 a 的值为 (1 ? a)

.

(15)曲线 y ? x ? ax ? 1在点 (?1,a ? 2) 处的切线与 y 轴垂直,则 a ? ________.
4 2

(16)设 x ? 2 和 x ? ?4 是函数 f ( x) ? x ? px ? qx 的两个极值点,则 p ? q ? ________.
3 2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 设 i 是虚数单位,复数 z ? (I)若 z ?

1? k i . 2?i
(II)若 z 为纯虚数,求复数 z .

1 ,求实数 k 的值; 2

(18) (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,E 是棱 PA 的中点,PD⊥BC. 求证:(I) PC∥平面 BED; (II) △PBC 是直角三角形. P

E [来源:学.科网ZXK] D A (19) (本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c .若 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值 0 ,求实数 b, c 的值.

C

3 (20)(本小题满分 12 分) 若直线 y ? t 与函数 y ? x ? 3x 的图象有三个公共点,求实数 t 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x3 ? 3mx? n(m ? 0) 的极大值为 6 ,极小值为 2 ,求: (I)实数 m,n 的值;

3] 上的最大值和最小值. (II) f ( x) 在区间 [0,

(22) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x ?

k 2 1 x ( k ? 0), (提示: (ln( x + 1))?= ) 2 x+ 1

(1, f (1)) 处的切线方程; (1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x )在点
(2)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间.

3

天全中学 15~16 学年度下期高二年级半期考试数学试题[来源:学科网Z-XK] 参考答案与评分标准(文) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 A 10 B 11 C 12 A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 2 三、解答题: (17)( 本小题满分 10 分) 解: (14) ?1 (15) ? 2 (16) ? 21

1 1? k i 1 得 ? , 2 2?i 2 1 i 从而 1 ? k i ? ( 2 ? i) ? 1 ? , 2 2 1 根据复数相等可知 k ? ? . 2
(I)由 z ?

……………………………………… 2 分 ………………………………………… 4 分 …………………………………………… 6 分

(II) z ?

1 ? k i (1 ? k i)(2 ? i) 2 ? k 2k ? 1 ? ? ? i , …………………………… 8 分 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5 5

?2 ? k ? 0, ? ? 5 若 z 为纯虚数,则 ? ? 2k ? 1 ? 0, ? ? 5
解得 k ? 2 ,从而 z ? i . (18) (本小题满分 12 分) 解:

……………………………………………10 分

…………………………………………… 12 分

证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OE . 在矩形 ABCD 中, AO = OC .

因为 AE = EP , 所以 OE ∥ PC . 因为 PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , 所以 PC ∥平面 BDE . (Ⅱ)在矩形 ABCD 中, BC ^ CD .[来源:学科网Z-XK] 因为 PD ^ BC , CD ? PD = D , PD ? 平面 PDC , DC ? 平面 PDC , 所以 BC ^ 平面 PDC . 因为 PC ? 平面 PDC , 所以 BC ^ PC .
4

即 ?PBC 是直角三角形.

(19) (本小题满分 12 分) 解: 由 f ( x) 得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2bx , …………………………………… 2 分 ……………… 8 分

3 2 ? f ( ?2) ? 0, ? ?( ?2) ? b ? ( ?2) ? c ? 0, 由题意可知 ? 即? 2 ? f '( ?2) ? 0, ? ?3 ? (?2) ? 2b( ?2) ? 0,

解得 ?

?b ? 3, ?c ? ?4.

………………………………………………… 12 分

(20) (本小题满分 12 分) 解: y' ? 3x 2 ? 3 ? 3( x ? 1)(x ?1) ,
3

…………………………………… 2 分
3

? 1) 或 x ? (1, ? ?) 时,函数 y ? x ? 3x 为增函数;当 x ? (?1, 1) 时, y ? x ? 3x 为减函 当 x ? (??,
数. …………………………………… 4 分
3 3 故当 x ? 1 时, y ? x ? 3x 有极小值 1 ? 3 ?1 ? ?2 ;当 x ? ?1 时, y ? x ? 3x 有极大值
3

(?1)3 ? 3? (?1) ? 2 .
由题意可得 ? 2 ? t ? 2 . (21)(本小题满分 12 分)
2 解: (I) 由 f ( x) 得 f ' ( x) ? 3x ? 3m ,

………………………………… 6 分 ………………………… 10 分

………………………………… 2 分

令 f '( x) ? 0 ,即 3x ? 3m ? 0 ,得 x ? ? m ,[来源:学科网Z-XK]
2

当 f '( x) ? 0 ,即 x ?

m ,或 x ? ? m 时, f ( x) 为增函数,

当 f '( x) ? 0 ,即 ? m ? x ? m 时, f ( x) 为减函数, 所以 f ( x) 有极大值 f (? m ) ,有极小值 f ( m ) , 由题意得 ?

? ? f (? m ) ? 6, ? ?? m m ? 3m m ? n ? 6, 即? ? ? ? f ( m ) ? 2, ?m m ? 3m m ? n ? 2,

………… 4 分

解得 ?

?m ? 1, ? n ? 4.
3

……………………………………………………… 6 分
3 3

(II)由(I)知 f ( x) ? x ? 3x ? 4 ,从而 f (0) ? 0 ? 3 ? 0 ? 4 ? 4 , f (3) ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 22 ,

f (1) ? 13 ? 3 ?1 ? 4 ? 2 ,
所以 f ( x) 有最小值 2 ,有最大值 22 .

…………………………………… 10 分 …………………………… 12 分
5

(22) (本小题满分 12 分) 解: I)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x 2 , f '( x) ? 由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ? 即 3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0 (II) f '( x) ?

1 ?1? 2x 1? x

3 3 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ln 2 ? ( x ? 1) 2 2

x(kx ? k ? 1) , x ? (?1, ??) 1? x 1? k x(kx ? k ? 1) ?0 ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 当 0 ? k ? 1 时,由 f '( x) ? k 1? x 1? k 1? k , ?? ) 上 f '( x) ? 0 ;在 (0, ) 上 f '( x) ? 0 所以在 (?1, 0) 和 ( k k 1? k 1? k , ?? ) 单调递增,在 (0, ) 单调递减 故 f ( x ) 在 (?1, 0) 和 ( k k 1? k x(kx ? k ? 1) ? (?1, 0) , x2 ? 0 . ? 0 ,得 x1 ? 当 k ? 1 时, f '( x) ? k 1? x 1? k 1? k ) 和 (0, ??) 上 f '( x) ? 0 ;在 ( , 0) 上 f '( x) ? 0 所以在 ( ?1, k k 1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,减区间是 ( , 0) 。 故 f ( x ) 单调递增区间是 ( ?1, k k
[来源:Z-xk.Com] [来源:学科网]

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