广东省汕头市潮南实验学校人教版高中必修一数学课件:3.1.2用二分法求方程的近似解(4)_图文

3.1.2 用二分法求方程的近似解 (4)

1.函数零点的定义: 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 图象与

一.基础知识

? 函数 y ? f ( x) 有零点。

x 轴有交点

2.函数变号零点与不变号零点(二重零点)性质: 上的图象 (1)定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b]
是连续不间断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 , 这个

c 也就是方程

f ( x) ? 0 的实数根。

(2)连续函数变号了一定有零点 (能证明f(x)单调则有且只有一个零点); 不变号不一定无零点(如二重零点): 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

b 3.(1)一次函数y=ax+b的零点:x ? ? a 一定为变号零点
(2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的零点:
2

借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解(精确到0.1).
方法一: 用计数器或计算机作出x,f(x)的对应值表 方法二: 用《EXCLE》软件,演示 用几何画板作出函数y=f(x)的图象 用《几何画板》软件,演示 方法三: 画出y=2x及y=-3x-7的图象

二分法的解题步骤
给定精确度

? ,用二分法求函数f(x)零点近似解的步骤如下:
x1;

⑴确定区间[a,b],验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ⑵求区间(a,b)的中点

?;

⑶计算f( x); 1 ①若f( x1)=0,则 x1 就是函数的零点; ② f (a) ? f ( x1 ) ? 0,则令b= x ( 此时零点 x0 ? (a, x1 ) ); 1 若 ③若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则令a= 1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b)); ⑷判断是否达到精确度 :即若|a-b|< 为a(或b);否则重复⑵~⑷

?

x

? ,则得到零点近似值

关于二分法的适用范围和精确度
(1)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的 变号零点适合,对函数的不变号零点不使用; (2)若起始区间是长度是1,则经过n次二分法以后,精 1 确度为 n ,估计达到精确度 ? 至少需要使用二 2
分法的次数:满足 (3) | f ( x ) |? 0.001, 并不表示x 是满足精度的近似解.
n n

1 ? ? ,的最小自然数n. n 2

例1.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

的零点,并画出它的图象。
解:

y ? x ? 2x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ?1)( x ? 1)
3 2

所以零点为 ?1,1, 2 ,3个零点把横轴
分成4个区间,然后列表描点画图

例2.已知函数 f ( x) ? ax ? bx 的图象如图所示,则 A.b ? (??,0) B. b ? (0,1) b ? (2, ??) D. C. b ? (1, 2)
3

2

? cx ? d

2 1

例3.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数
2

m 的取值范围是( )
A.(0,1] C. (??,1) B. D.

(0,1)

(??,1]

例4.求 3

3

的近似值。(精确度0.1)

解: x= 3 3
? x3 ? 3

? x ? 3 ? 0 再利用二分法求近似根
3

例5(上海02高考)、
x?2 ?a ? 1? 已知函数 f ( x ) ? a ? x ?1
x

(1)求证:f(x)在 ( ?1,??) 为增函数。
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0. 1)

作业
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