第一讲 数与式的运算

第一讲 数与式的运算 在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数和代 数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式) 、分式、根式.它们具有实数的属性, 可以进行运算.在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全平方公式) , 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运 算, 因此本节中将拓展乘法公式的内容, 补充三个数和的完全平方公式、 立方和、 立方差公式. 在 根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中数学学习中,经常会接触到被 开方数是字母的情形, 但在初中却没有涉及, 因此本节中要补充. 基于同样的原因, 还要补充 “繁 分式”等有关内容. 一、乘法公式 【公式 1】 (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 证明:? (a ? b ? c) 2 ? [(a ? b) ? c]2 ? (a ? b) 2 ? 2(a ? b)c ? c 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ac ? 2bc ? c 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 等式成立 1 2x ? )2 3 1 2 2 解:原式= [ x ? (? 2 x) ? ] 3 【例 1】计算: ( x ? 2 1 1 1 ? ( x 2 ) 2 ? (? 2 x) 2 ? ( ) 2 ? 2 x 2 (? 2 ) x ? 2 x 2 ? ? 2 ? ? (? 2 x) 3 3 3 8 2 2 1 ? x 4 ? 2 2x3 ? x 2 ? x? 3 3 9 说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列. 【公式 2】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方和公式) 2 2 3 3 证明: (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? a b ? ab ? a b ? ab ? b ? a ? b 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例 2】计算: (a ? b)(a ? ab ? b ) 2 2 解:原式= [a ? (?b)][a ? a(?b) ? (?b) ] ? a ? (?b) ? a ? b 2 2 3 3 3 3 我们得到: 【公式 3】 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? a ? b (立方差公式) 2 2 3 3 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式 1、2、3 均称为乘法公式. 【例 3】计算: 1 (1) (4 ? m)(16 ? 4m ? m 2 ) (2) ( m ? 1 5 1 1 1 1 n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 2 25 10 4 (3) (a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16) (4) ( x 2 ? 2xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? y 2 ) 2 解: (1)原式= 4 ? m ? 64 ? m 3 3 3 (2)原式= ( m) ? ( n) ? 3 3 1 5 1 2 1 3 1 3 m ? n 125 8 (3)原式= (a 2 ? 4)(a 4 ? 4a 2 ? 4 2 ) ? (a 2 ) 3 ? 43 ? a 6 ? 64 (4)原式= ( x ? y) 2 ( x 2 ? xy ? y 2 ) 2 ? [(x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 )]2 ? ( x 3 ? y 3 ) 2 ? x 6 ? 2x 3 y 3 ? y 6 说明: (1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结 构. (2)为了更好地使用乘法公式,记住 1、2、3、4、?、20 的平方数和 1、2、3、4、?、 10 的立方数,是非常有好处的. 1 的值. x3 1 2 解:? x ? 3x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ? x ? ? 3 x 1 2 1 1 1 2 2 原式= ( x ? )( x ? 1 ? 2 ) ? ( x ? )[( x ? ) ? 3] ? 3(3 ? 3) ? 18 x x x x 2 【例 4】已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x ? 3 说明: 本题若先从方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 中解出 x 的值后, 再代入代数式求值, 则计算较烦琐. 本 题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算.请注意整体代换法.本 题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举. 【例 5】已知 a ? b ? c ? 0 ,求 1 1 1 1 1 1 a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值. b c c a a b 解:? a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b ? 原式= a ? ? b?c a?c a?b ?b? ?c? bc ac ab ① a(?a) b(?b) c(?c) a2 ? b2 ? c2 ? ? ?? bc ac ab abc ? a 3 ? b 3 ? (a ? b)[(a ? b) 2 ? 3ab] ? ?c(c 2 ? 3ab) ? ?c 3 ? 3abc ? a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ②,把②代入①得原式= ? 说明:注意字母的整体代换技巧的应用. 引申:同学可以探求并证明: 3abc ? ?3 abc a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 2 二、根式 式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? a(a ?

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