2013-2014学年高中数学 3.4 生活中的优化问题举例课后知能检测 新人教A版选修1-1

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.4 生活中的 优化问题举例课后知能检测 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题 1.已知函数 f(x),x∈R,有唯一极值,且当 x=1 时,f(x)存在极小值,则( A.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 B.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 C.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0 D.当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0 【解析】 f(x)在 x=1 时存在极小值,则当 x<1 时,f′(x)<0,当 x>1 时,f′(x) >0,应选 C. 【答案】 C )

图 3-3-6 2.(2013·青岛高二检测)已知函数 f(x)=ax +bx +c,其导函数 f′(x)的图象如图 3 -3-6 所示,则函数 f(x)的极小值是( A.a+b+c C.3a+2b ) B.3a+4b+c D.c
3 2

【解析】 由 f′(x)的图象可知,当 x=0 时,函数取得极小值,f(x)极小值=c. 【答案】 D 3.函数 f(x)=x -3x +3x( A.x=1 时,取得极大值 B.x=1 时,取得极小值 C.x=-1 时,取得极大值 D.无极值点 【解析】 f′(x)=3x -6x+3=3(x-1) ≥0 恒成立. ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,f(x)无极值. 【答案】 D 4.(2013·临沂高二检测)已知函数 f(x)=x +ax +3x+5 在 x=-3 时取得极值,则 a
3 2 2 2 3 2

)

1

=(

) A.2 C.4
2

B.3 D.5

【解析】 f′(x)=3x +2ax+3,由题意:f′(-3)=27-6a+3=0 ∴a=5.应选 D. 【答案】 D 5.如图 3-3-7 所示是函数 f(x)=x +bx +cx+d 的大致图象,则 x1+x2等于(
3 2 2 2

)

图 3-3-7 A. C. 2 3 8 3
3 2

B. D.

4 3 12 3

【解析】 函数 f(x)=x +bx +cx+d 图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得 d=0,b+c +1=0,4b+2c+8=0,则 b=-3,c=2,f′(x)=3x +2bx+c=3x -6x+2,且 x1,x2 是 函数 f(x)=x +bx +cx+d 的两个极值点, 即 x1, x2 是方程 3x -6x+2=0 的实根, x1+x2= 4 8 2 (x1+x2) -2x1x2=4- = . 3 3 【答案】 C 二、填空题 6.若函数 y=-x +6x +m 的极大值为 13,则实数 m 等于________. 【解析】 y′=-3x +12x=-3x(x-4). 令 y′=0 得 x1=0,x2=4. 列表可知 y 极大=f(4)=32+m=13. ∴m=-19. 【答案】 -19 7.若 f(x)=x +3ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是________. 【解析】 f′(x)=3x +6ax+3(a+2), 由题意 f′(x)=0 有两个不等的实根, 故 Δ =(6a) -4×3×3(a+2)>0,解之得 a>2 或 a<-1. 【答案】 (-∞,-1)∪(2,+∞) 8.(2013·昆明高二检测)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图 3-3-8 所示,给出 下列判断:
2
2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2

图 3-3-8 1 (1)函数 y=f(x)在区间(-3,- )内单调递增; 2 1 (2)函数 y=f(x)在区间(- ,3)内单调递减; 2 (3)函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; (4)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 (5)当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断中正确的是________. 【解析】 由导函数的图象知: 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈(2,4)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(4,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 在 x=-2 时,f(x)取极小值; 在 x=2 时,f(x)取极大值; 在 x=4 时,f(x)取极小值; 所以只有(3)正确. 【答案】 (3) 三、解答题 9.求下列函数的极值. (1)f(x)=x -12x;(2)f(x)=
3

2x -2. x2+1

【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R.

f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(-∞,-2) + ?

-2 0 极大值 f(- 2)=16

(-2,2) -

2 0 极小值 f(2) =-16

(2,+∞) +

3

所以当 x=-2 时,函数有极大值, 且 f(-2)=(-2) -12×(-2)=16; 当 x=2 时,函数有极小值, 且 f(2)=2 -12×2=-16. (2)函数的定义域为 R. 2?x +1?-4x 2?x-1??x+1? f′(x)= =- . 2 2 2 2 ?x +1? ?x +1? 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2 2 3 3

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) - ?

-1 0 极小值 -3

(-1,1) +

1 0 极大值 -1

(1,+∞) -

所以当 x=-1 时,函数有极小值, -2 且 f(-1)= -2=-3; 2 当 x=1 时,函数有极大值; 2 且 f(1)= -2=-1. 2 10.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=aln x+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由. 【解】 (1)因为 f(x)=aln x+bx +x, 所以 f′(x)= +2bx+1. 由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,
2 2

a x

a+2b+1=0, ? ? 即?a +4b+1=0, ? ?2
2 1 解方程组得 a=- ,b=- . 3 6 2 1 2 (2)由(1)知 f(x)=- ln x- x +x(x>0). 3 6

f′(x)=- x-1- x+1.
当 x∈(0,1)时,f′(x)<0;
4

2 3

1 3

当 x∈(1,2)时,f′(x)>0; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0. 5 4 2 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 ,在 x=2 处函数取得极大值 - ln 2. 6 3 3 所以 x=1 是函数 f(x)的极小值点,x=2 是函数 f(x)的极大值点. 11.设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点? 【解】 (1)f′(x)=3x -2x-1. 1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时 f′(x)、f(x)变化情况如下表:
2 3 2

x f′(x) f(x)

?-∞,-1? ? ? 3? ?
+ ?

- 0

1 3

?-1,1? ? 3 ? ? ?
- ?

1 0 极小值

(1,+∞) +

极大值

? 1? 5 所以 f(x)的极大值是 f?- ?= +a, ? 3? 27
极小值是 f(1)=a-1. (2)函数 f(x)=x -x -x+a=(x-1) (x+1)+a-1, 由此可知 x 取足够大的正数时有 f(x)>0, x 取足够小的负数时有 f(x)<0, 所以曲线 y =f(x)与 x 轴至少有一个交点. 5 因此若 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点,应有 +a<0 或 a-1>0. 27 5? ? 所以当 a∈?-∞,- ?∪(1,+∞)时曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点. 27? ?
3 2 2

5


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