高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念课件新人教A版必修1 (1)

第一章

集合与函数概念

1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念

[学习目标] 1. 理解函数的概念,了解构成函数的三 要素(重点、难点). 2.能正确使用区间表示数集. 3. 会求一些简单函数的定义域、函数值(重点).

1.函数的有关概念
设 A,B 是非空数集,如果按照某种确 定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 函数的定义 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数

对应关系 y=f(x),x∈A 三要素 定义域 值域 x 的取值范围 与 x 对应的 y 的值的集合 {f(x)|x∈A}

2.区间的概念及表示 (1)区间的定义及表示. 设 a,b 是两个实数,且 a<b.

定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b}

名称 闭区间 开区间

符号表示 数轴表示 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b]

{x|a≤x<b} 半开半闭区间 {x|a<x≤b} 半开半闭区间

(2)无穷的概念及无穷区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}

(-∞, 符号 [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) +∞)

3.函数相等 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一 致,我们就称这两个函数相等.

1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何两个集合之间都可以建立函数关系.( )

(2) 已 知 定 义 域 和 对 应 关 系 就 可 以 确 定 一 个 函 数.( )

(3)根据函数的定义,定义域中的每一个 x 可以对应 着不同的 y.( ) )

(4)数集都能用区间表示.(

解析:(1)错,只有非空数集之间才能建立函数关系. (2)对,当定义域和对应关系确定之后,函数的值域 也就随之确定. (3)错,根据函数的定义,对于定义域中的每一个 x, 都有唯一确定的 y 和它对应.

(4)错,区间是数集的一种表示方法,并不是所有数 集都能用区间表示,如{1,2,3,4},就不能用区间表示. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×

2.下列图形中,不能确定 y 是 x 的函数的是(

)

解析:任作一条垂直于 x 轴的直线 x=a,移动直线, 根据函数的定义可知,此直线与函数图象至多有一个交 点.结合选项可知 D 不满足要求,因此不表示函数关系. 答案:D

1 3. 函数 f(x)= 的定义域是____________(用区 1-2x 间表示). 1 解析:要使函数有意义,需满足 1-2x>0,解得 x< . 2
? 1? 答案:?-∞,2? ? ?

4.若集合 A=[-1,8],B=(-5,5],则 A∩B= ________. 解析:A∩B=[-1,8)∩(-5,5]=[-1,5]. 答案:[-1,5]

5. 已知函数 f(x)=2x+3, 则 f(f(-2))+f(3)=______. 解析:因为 f(-2)=2×(-2)+3=-1, f(3)=2×3+3=9,f(-1)=2×(-1)+3=1, 所以 f(f(-2))+f(3)=f(-1)+f(3)=1+9=10. 答案:10

类型 1 函数的概念(自主研析) [典例 1] (1)判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的 函数: ①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; ②A=Z,B=Z,f:x→y=x2; ③A=Z,B=Z,f:x→y= x; ④A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x→y=0.

(2) 下列函数中与函数 y = x 相等的是 ______( 填序 号 ).
2 x ①y=( x)2;②y= x3 ;③y= x2 ;④y= x .

3

[自主研析] (1)解: ①A 中的元素 0 在 B 中没有对应 元素,故不是集合 A 到集合 B 的函数.

②对于集合 A 中的任意一个整数 x, 按照对应关系 f: x→y=x2 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对 应,故是集合 A 到集合 B 的函数. ③集合 A 中的负整数没有平方根,在集合 B 中没有 对应的元素,故不是集合 A 到集合 B 的函数.

④对于集合 A 中任意一个实数 x,按照对应关系 f:x →y=0 在集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 和它对应, 故是集合 A 到集合 B 的函数.

(2)解析:①y=( x)2=x(x≥0),y≥0,与函数 y=x 的定义域不同且值域不同,所以两函数不相等; ②y= x3=x(x∈R),y∈R,与函数 y=x 的对应关系 相同,定义域和值域也都相同,所以两函数相等; 3

? ?x,x≥0, 2 ③y= x =|x|=? y≥0; 与函数 y=x 的值 ? ?-x,x<0, 域不同,且当 x<0 时,y= x2的对应关系与函数 y=x 不 相同,所以两函数不相等; x2 ④y= 的定义域为{x|x≠0},与函数 y=x 的定义域 x 不相同,所以两函数不相等.
答案:②

归纳升华 1.判断集合 A 到集合 B 的对应关系是不是函数关系 的标准:(1)A,B 必须都是非空数集;(2)A 中任意一个数 在 B 中必须有并且是唯一的实数和它对应.

2.根据图形判断对应是否为函数的方法:(1)任取一 条垂直于 x 轴的直线 l; (2)在定义域内平行移动直线 l; (3) 若 l 与图形有且只有一个交点,则对应是函数,否则不是 函数. 3.两个函数相等,当且仅当定义域与对应关系分别 对应相同.

[变式训练] 设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2}, 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函 数关系的是( )

解析:对 A,由于 M 中的元素 2 在 N 中无元素与之 对应,因此不是从 M 到 N 的函数关系;易知 B 正确;对 C,M 中的元素 2 的对应元素为 3,不在 N 中,因此不是 从 M 到 N 的函数关系;对 D,M 中的元素 2 在 N 中有两 个元素与之对应,因此不是从 M 到 N 的函数关系. 答案:B

类型 2 求函数的定义域
[典例?] 求下列函数的定义域; ( x+ 1 ) 2 5- x (1)y= - 1-x;(2)y= . x+1 |x|-3 解:(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足 ?x+1≠0, ? 解得 x≤1 且 x≠-1, ?1-x≥0. 即函数定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}.

(2) 要使函数有意义 , 自变量 x 的取值必须满足 ? ?5-x≥0, ? 解得 x≤5 且 x≠±3, ? ?|x|-3≠0, 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠±3}.

归纳升华 1.求函数的定义域,其实质是以使函数的表达式所 含运算有意义为准则,其原则有:(1)分式中分母不为零; (2)偶次根式中, 被开方数非负; (3)对于 y=x0 要求 x≠0.(4) 实际问题中函数定义域,要考虑实际意义.
2.函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示.

[变式训练] (1)函数 y= 3-x· x-1的定义域是 ____________. (2)函数 y=(x-1) +
0

2 的定义域是________. x+ 1

? ?3-x≥0, 解析: (1) 函数有意义,当且仅当 ? 解得 ? ?x-1≥0, 1≤x≤3,所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.

?x-1≠0, ? ? 2 ≥0,解得 x>-1,且 (2)函数有意义,当且仅当? ?x+1 ? ?x+1≠0, x≠1,所以这个函数的定义域为{x|x>-1,且 x≠1}. 答案:(1){x|1≤x≤3} (2){x|x>-1,且 x≠1}

类型 3 求函数值和值域 1 [典例 3] 已知 f(x)= (x∈R,且 x≠-1),g(x) 1+x =x2+2(x∈R). (1)求 f(2)、g(2)的值; (2)求 f(g(2))的值; (3)求 f(x)、g(x)的值域.

1 解:(1)因为 f(x)= , 1+ x 1 1 所以 f(2)= = ; 1+2 3 又因为 g(x)=x2+2,所以 g(2)=22+2=6. 1 1 (2)f(g(2))=f(6)= = . 1+6 7

1 (3)f(x)= 的定义域为{x|x≠-1}, x+1 所以值域是(-∞,0)∪(0,+∞). g(x)=x2+2 的定义域为 R,最小值为 2. 所以值域是[2,+∞).

归纳升华 求函数值应注意的事项 1.求 f(g(a))的值应遵循由里往外的原则;用来替换 表达式中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值, 否则函数无 意义.

2.一次函数的值域为 R,求二次函数的值域可用配 方法或图象法,反比例函数可用图象法求值域.注意:在 求值域时,一定要考虑定义域,如 y=x2-2x(-1≤x<2) 的值域,要根据定义域结合图象配方后求解.

x2 [变式训练] 已知函数 f(x)= 2. 1+x
?1? ?1? (1)求 f(2)与 f?2?,f(3)与 f?3?; ? ? ? ? ?1? (2)由(1)中求得的结果, 你能发现 f(x)与 f?x?有什么关 ? ?

系?试证明. x2 1 解:(1)由 f(x)= , 2=1- 2 1+x x +1

1 4 ?1? 1 1 ? ? 得 f(2)=1- 2 = ,f 2 =1- = . 5 1 5 2 +1 ? ? +1 4 1 9 ?1? 1 1 f(3)=1- 2 = ,f?3?=1- = . 1 10 3 +1 10 ? ? +1 9

?1? (2)由(1)中求得的结果发现 f(x)+f?x?=1. ? ?

证明如下:
?1? x2 f(x)+f?x?= 2+ ? ? 1+x

x2 1 = + =1. 1 1+x2 x2+1 1+ 2 x

1 x2

1.对函数相等的概念的理解. (1)函数有三个要素:定义域、值域、对应关系.函 数的定义域和对应关系共同确定函数的值域,因此当且 仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两 个函数才是同一个函数.

(2)定义域和值域都分别相同的两个函数,它们不一 定是同一函数,因为函数对应关系不一定相同.如 y=x 与 y=3x 的定义域和值域都是 R,但它们的对应关系不 同,所以是两个不同的函数.

2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点 所对应的实数值的集合,即用端点所对应的数、“+ ∞”(正无穷大)、 “-∞”(负无穷大)、 方括号(包含端点)、 小圆括号 ( 不包含端点 ) 等来表示的部分实数组成的集 合.如{x|a<x≤b}=(a,b],{x|x≤b}=(-∞,b]是数集描 述法的变式.


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