【数学】北师大版必修四:1.2《角的概念的推广》ppt课件_图文

§2

角的概念的推广

1.在初中角是如何定义的? 定义1:有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点 边



定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.

B
顶点

终边

O

A

始边

2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的
1 360

为1度的角.

3.我们学过哪些角?它们的大小是多少?

锐角:大于0度小于90度
钝角:大于90度小于180度 周角:等于360度

直角:等于90度
平角:等于180度

我们以前所学过的角都是大于0度,小于或等于360

度的角.

生活中很多实例不在0°~360°范围内. 像体操运动员转体720?,跳水运动员向内、向外转 体1 080?.

本节课我们进一步研究更广泛的角.

地球绕太阳旋转,角的范围如何来表示?



这就是这节课我们所要学习的内容——角

1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点)
2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角

的概念.(重点)
3.掌握所有与角α 终边相同的角的表示方法.

(难点)

探究点1 任意角的概念 思考1:下面的角度如何表示? (1)你的手表慢了5分钟,想将它校准, 分针应该旋转多少度? 顺时针旋转30度 (2)假如你的手表快了2.5小时,想将它校

准,分针应该旋转多少度? 逆时针旋转900度
注意:旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.

思考2:类比数系的扩充,思考角的概念是否 也可以推广?

提示:类比正负数可表示具有相反意义的量,对
于旋转方向不同的角,我们猜想:也可以用正负 来表示.

任意角定义:
逆时针

注意角的 旋转方向和 旋转量.

顺时针

任 意 角

正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:一条射线从起始位置OA没 有作任何旋转,终止位置OB与起 始位置OA重合

记法:角 ? 或

?? ,可简记为 ? .

说明:
1.角的正负由旋转方向决定. 2.角可以任意大小,其数值的大小由旋转次数 及终边位置决定.

这样,我们就把角的概念推广到了任意角.

探究点2 象限角

思考1:为了进一步研究角的需要,我们常在直角
坐标系内讨论角,并使角的顶点与原点重合,角的

始边与x轴的非负半轴重合,那么对一个任意角,
角的终边可能落在哪些位置? 提示:如图,可以是坐标轴、 第一象限、第二象限、 第三象限、第四象限
y

o

x

象限角
1.角的顶点与原点重合;

2.角的始边重合于x轴的非负半轴;
则角的终边(除端点外)在第几象限,就是第

几象限角.

象限角的图形表示 终边


y
Ⅰ O Ⅲ

终边

x
始边 终边

??Ⅰ ?? Ⅱ
? ?Ⅲ ?? Ⅳ



终边

提示:象限角只能反映角的终边所在象限,不能反 映角的大小.

思考2:如图所示的角α 、 角β 是第几象限角?怎样 判断一个角是第几象限角?

提示:角α是第一象限角,角β是第三象限角.
判断方法是将角的顶点与坐标原点重合,角的始

边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象
限,就说该角是第几象限角.

坐标轴上的角 如果角的终边落在了坐标轴上,就认为这

个角不属于任何象限.
例如:角的终边落在x轴或y轴上. 按终边的位置分类

第一象限角 第二象限角 象限角 第三象限角
角 第四象限角

坐标轴上的角

想一想

1.锐角是第几象限的角? 答:锐角是第一象限的角.
2.第一象限的角是否都是锐角?

答:第一象限的角并不都是锐角. 3.小于90°的角都是锐角吗?
答:小于90°的角并不都是锐角,它也有可能是零角 或负角.

探究点3 终边相同的角 思考1:在坐标轴上画出
30°,390°,-330°, 它 们有什么共同点和内在 联系?

-330° 390°

y
30° O x

提示:终边相同,且
30°=30°+ 0×360° 390°=30°+360°=30°+1×360° -330°=30°-360°=30°-1×360° 390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角 的和,其中k为整数.

思考2:所有与30°角终边相同的角,连同30°角 在内,可构成一个集合S,你能用描述法表示集合S 吗?
o o S= β β =30 +k ? 360 ,k ? Z 提示:集合

?

?

提醒:所有与30°角终边相同的角,连同30°角在
内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任一元素 显然都与30°角终边相同.

终边相同的角的表示

所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,可构成
一个集合: {β |β =α +k×360°,k∈Z} S= _________________________. 即任何一个与角α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与周角的整数倍的和.

注意: (1)k∈Z. (2)α是任意角.

(3)k×360°与α 之间是“+”号,



k×360°-30°,应看成k×360°+(-30°).
(4)k的两层含义: ①特殊性:每对k赋一个值可得一个具体角; ②一般性:表示了所有与终边α重合的角的集合.

(5)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一
定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差 360°的整数倍.

例1

判定下列各角是第几象限角:

(1)-60°. (2)606°. (3) -950°12'.

解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,
所以它是第四象限角.

(2)因为606°=360°+246°,

所以606°与246°角的终边重合,而246°的终边在
第三象限,所以606°是第三象限角. (3)因为-950°12' = (-2)×360°-230°12', 而-230°12'的终边在第二象限,所以-950°12 ' 是第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边 关系,只要把它们化为 β + k· 360°,k∈Z,(0°≤ β <360°),然后只要考查β 的相关问题即可.

例2

在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集

合(用0°~360°的角表示).
解: 在0°~360°范围内,终边在y轴上的角有两个,即
90°与270°角(如图).因此,所有与90°角终边相同的 角构成集合S1= ?? ? ? 90? ? k ? 360? ,k ? Z ? ; 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2= ?? ? ? 270? ? k ? 360? ,k ? Z ? .

于是,终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2=

??

? ? 90? ? k ? 360? , k ∈Z? ∪

{β| β=270°+k×360°,k∈Z} ={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.

例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中
适合不等式-360°≤ β <720° 的元素β 写出来. 解:S ={β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z}.

S 中适合-360°≤ β <720°的元素是:
60°-1×360° =-300°,

60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.

1.已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°; ④495°,其中是第二象限角的是( D )

A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

三 象限角. 2.若β 是第四象限角,则180°-β 是第____

3.与600°角终边相同的角可表示为( B ) A.k·360°+220°(k∈Z)

B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z)

D.k·360°+260°(k∈Z)

4.在0°~360°范围内,找出与-990°15′角终边相
同的角,并判定它是第几象限角. 解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°, 所以在0°~360°范围内, 与-990°15′角终边相 同的角是89°45′, 它是第一象限角.

5.写出终边落在x轴上的 解:在0°~ 角的集合 . 360°范围内,终边在x
轴上的角有两个 0 ° ,180 ° . 与0°角终边相同的角构成的集合
S1={β| β=k×360°, k∈Z };

与180°角终边相同的角构成的集合 S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z }
={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.

S=S1∪S2 ={β|β=k×180°, k∈Z }.

回顾本节课的收获
1.理解角的概念推广的必要性. 2.理解任意角和象限角的概念. 3.掌握所有与角α 终边相同的角的表示方法.

不登高山,不知天之高也;不临深谷,不 知地之厚也;不闻先王之遗言,不知学问

之大也.
——荀况


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