【课堂新坐标】(安徽专用)高考数学(理)一轮总复习课件第二章函数、导数及其应用 第8节 函数与方程_图文

第八节 考纲传真 函数与方程 1.结合二次函数的图象, 了解函数的零 点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性与 根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相 应方程的近似根. 1.函数零点 (1)定义:对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实 数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. (2)函数零点与方程根的关系: 方程 f(x)=0 有实根?函数 y=f(x)的图象与 x轴 有交点?函数 y=f(x)有 零点 . (3)零点存在性定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的 f(b)<0,那么函数 y 图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· = f(x) 在 区 间 (a,b) 内 有 零 点 , 即 存 在 x0 ∈ (a , b) , 使 得 f(x0)=0 . 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 Δ>0 Δ=0 Δ<0 (x1,0),(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 y=f(x), x∈D 在区间(a, b)?D 内有零点(函数图 象连续不断),则 f(a)· f(b)<0( ) (3)二次函数 y=ax2+bx+c 在 b2-4ac<0 时没有零点 ( (4)函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实根( 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ ) ) 2.(人教 A 版教材习题改编)若函数 f(x)唯一的一个零点 同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内,那么下列命题中正 确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 【解析】 故选 C. 【答案】 由题意知,函数 f(x)在区间[2,16)上无零点, C 3.在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区 间为( ) ? 1? B.?0,4? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ? ? 1 ? A.?-4,0? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? 【解析】 ?1? f?2?= ? ? 显然 f(x)=ex+4x-3 的图象连续不间断,又 e-2<0. ?1? 4 e-1>0,f?4?= ? ? ?1 1? ∴由零点存在定理知,f(x)在?4,2?内存在零点. ? ? 【答案】 C 4.(2012· 北京高考)函数 f(x)=x ?1? -?2?x 的零点的个数为 ? ? ( A.0 B.1 C.2 D.3 ) 【解析】 在同一平面直角坐标系内作出 y1=x 与 x ?1? y2=?2? ? ? 的图象如图所示,易知,两函数图象只有一个交点.因此函 ?1? -?2?x 只有 ? ? 数 f(x)=x 1 个零点. 【答案】 B 5. (2014· 山东实验中学模拟)函数 f(x)=(x+1)ln x 的零点 有( ) A.0 个 【解析】 B.1 个 C.2 个 D.3 个 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),由(x+1)ln x =0 得 ln x=0, 解得 x=1,即函数 f(x)的零点只有 1 个,故选 B. 【答案】 B 考向 1 函数零点的求解与判断 (2013· 天津高考)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零 ) B.2 C.3 D.4 【例 1】 点个数为( A.1 【思路点拨】 将函数零点个数的判断转化为两个函数 图象交点个数的判断. 【尝试解答】 令 f(x)=2x|log0.5x|-1=0, ?1? 可得|log0.5x|=?2?x. ? ? 设 ?1? g(x)=|log0.5x|,h(x)=?2?x,在同一坐标系下分别画出 ? ? 函数 g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图象一定有 2 个交 点,因此函数 f(x)有 2 个零点. 【答案】 B 规律方法 1 1.函数零点的判断常用的方法有: (1)零点存 在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2.(1)求函数的零点,从代数角度思考就是解方程 f(x)= 0;从几何角度思考就是研究其图象与 x 轴交点的横坐标; (2)本题的求解过程,其实质就是转化过程,应注意两点: ①转化的方式:变形;②转化的方向,由数到形. 变式训练 1 (2014· 烟台模拟)如图 2-8-1 是函数 f(x)=x2+ax +b 的部分图象,则函数 g(x)=ln x+f(x)′的零点所在 的区间是( ) 图 2-8-1 ?1 1? A.?4,2? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ? B.(1,2) D.(2,3) 【解析】 由函数图象可知 0<b<1,f(1)=0, 从而-2<a<-1, f′(x)=2x+a,所以 g(x)=ln x+2x+a,函数 g(x)=ln x+2x+a ?1? 在定义域内单调递增,g?2?=ln ? ? 1 2 +1+a<0, g(1)=ln 1+2+a>0, 所以函数 g(x)=ln x ?1 ? +f′(x)的零点所在的区间是?2,1?,故选 ? ? C. 【答案】 C 考向 2 二分法及其应用 若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个 【例 2】 正数零点附近的函数值如下(精确度 0.1): f(1)=-2 f(1.375) =- 0.260 f(1.5)= 0.625 f(1.25)=- 0.

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