www.1327t.com:【数学】2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》-PPT精品文档_图文

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2.4.2《平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角》

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示

如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,

?所以 由于 a?b? a ? b c os
i ? i ?1 . j ? j ? 1 .
i ? j ? j ? i ?0 .
b

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)

a

o i

x

下面研究怎样用

a 和 b 的坐标表示 a? b . 设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则

a?xi 1 ?y 1j
2

b ?x 2i ?y 2 j,
2

a?b?(xi x 1 ?y 1 j)?( 2i ?y 2 j) ?xx 1 2i ?xy 1 2i? j ?x 2yi 1 ? j ?yy 1 2j ?xx 1 2 ?yy 1 2

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ?b ? x x y y . 1 2? 1 2

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

2、向量的模和两点间的距离公式
2

( 1 ) a ?a ? a或 a? a ?a ;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ),则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

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3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2), a? b? x x 0 1 2 ?y 1y 2?
(2)平行 设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2),

a // b? x x 0 1y 2? 2y 1?

4、两向量夹角公式的坐标运算
? 设 a 与 b 的夹角为 ?( 0? ?? ?180 ),

则 cos ??

a? b ab

设 a? ( x b? (x2, y2), 且 a 与 b 夹角为 ? , 1, y 1), (0 ?? ?180 )则 cos ??
? ? 2 1 2 1 2 2

x 1x 2 ?y 1y 2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ?0 , x ? y ?0.

三、基本技能的形成与巩固
例 1 (1) 已知 a ? ( ? 1 , 2 ?3 ), b ? ( 1 , 1 ), 求 a ?b , a ?b , a 与 b 的夹角 ? .

a?b? 1 ? 3 , a? b ?2 4?2 3?2 ( 1 ? 3 ) , a?b 1 ? ? ? cos ?? ? ,? 0? ??180 ,? ??60 . a? b 2

(2) 已知 a? ( 2 , 3 ), b? ( ? 2 ,4 ), 则( a ? b ) ( ? a? b ) ? .
法一: a ? b ? (0,7), a ? b ? (4,?1) ? (a ? b ) ( ? a ?b ) ? 0 ? 4 ? 7 ? (?1) ? ?7. 法二:( a?b ) ( ? a ?b ) ? a ?b
2 2 2 2

? a ? b ? 13 ? 20 ? ?7

练习:课本P1191、2、3.

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.

y

C(-2,5) 证明 : ? AB ? ( 2 ? 1 , 3 ? 2 ) ? ( 1 , 1 )
AC ? ( ? 2 ? 1 , 5 ? 2 ) ? ( ? 3 , 3 )
? AB ? AC ? 1 ? ( ? 3 ) ? 1 ? 3 ? 0

B(2,3) A(1,2)
0

? AB ?AC

x

? 三角形 ABC 是直角三角形 .

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角三角形OAB, ?B=90?,求点B的坐标.
y 3 7 答案: B的坐标为( ,) B 2 2 7 3 或( , ? ) 2 2 O

A x

四、逆向及综合运用
例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量,求 b .

( 2 )已知 a ?10 , b ? ( 1 , 2 ) ,且 a // b ,求 a 的坐 .

3 ? ( 3 )已知 a ? ( 3 , 0 ), b ? ( k , 5 ) ,且 a 与 b 的夹角 , 4 求 k 的值 .
3 4 34 答案:( 1 ) b ? (, ?) 或 b ? ( ?, ). 5 5 55 ( 2 )( 2 , 22 )或( ?2 , ? 22 );( 3 ) k ? ? 5 .

提高练习
29 C (?3, ) BC ? AB ,则点 C 的坐标为 3

1 、已知 OA ? ( ? 3 , 1 ) , OB ? ( 0 , 5 ) ,且 AC // OB ,

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
3、已知

小结

1、理解各公式的正向及逆向运用; 2、数量积的运算转化为向量的坐 标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式,形成转化技能。
作业

课本P119A组5(1),9,10,11.


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