2018年高中数学北师大版必修三:第1章 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差含解析

[A 基础达标] 1.已知一组数据 10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 解析:选 D.中位数、平均数、众数都是 50,从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同. - - 2.如图所示,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B,样本标准差分别 为 sA 和 sB,则( ) ) - - A. x A> x B,sA>sB - - C. x A> x B,sA<sB - - B. x A< x B,sA>sB - - D. x A< x B,sA<sB - - 解析:选 B.A 中的数据都不大于 B 中的数据,所以 x A< x B,但 A 中的数据比 B 中的数据波动幅度大,所以 sA>sB. 3.期中考试后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M,如果把 M 当成一个同学的分数,与原来 的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均数为 N,那么 M∶N 为( 40 A. 41 B.1 41 C. 40 D.2 ) x1+x2+…+x40 x1+x2+…+x40+M 40M+M 解析: 选 B.设 40 位同学的成绩为 xi(i=1, 2, …, 40), 则 M= , N= = 40 41 41 =M. 故 M∶N=1. 4.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如下表,则这 100 人成绩的标准差为( 分数 人数 A. 3 C.3 5 20 4 10 2 10 B. 5 8 D. 5 3 30 2 30 1 10 ) - 20×5+10×4+30×3+30×2+10×1 解析:选 B. x = =3, 100 1 160 8 2 10 所以 s2= (20×22+10×12+30×12+10×22)= = ,所以 s= ,故选 B. 100 100 5 5 5.一组数据中的每一个数据都减去 80,得到一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方差是 4.4,则原 来数据的平均数和方差分别是( A.81.2,4.4 C.81.2,84.4 ) B.78.8,4.4 D.78.8,75.6 解析:选 A.由平均数和方差的计算公式知,如果数据中的每一个数都减去 80,则平均数就减去 80,因而原 来数据的平均数为 80+1.2=81.2,而方差并不发生变化,仍为 4.4.因此答案选 A. - - 6.若 a1,a2,…,a20,这 20 个数据的平均数为 x ,方差为 0.20,则数据 a1,a2,…,a20, x 这 21 个数据 的方差为________. 1 - - - 解析:这 21 个数的平均数仍为 x ,从而方差为 ×[20×0.2+( x - x )2]≈0.19. 21 答案:0.19 7.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy=________. 解析:由平均数是 10,得 x+y=20,由标准差是 2,得 1 [(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2]= 2, 所以(x-10)2+(y-10)2=8, 5 所以 xy=96. 答案:96 8.已知总体的各个个体的值由小到大依次为 3,7,a,b,12,20,且总体的中位数为 12,若要使该总体的 标准差最小,则 a=________. a+b 3+7+a+b+12+20 解析:由中位数为 12 可得 =12,所以 a+b=24,所以总体的平均数为 =11,要使 2 6 该总体的标准差最小,需要(a-11)2+(b-11)2 最小,而(a-11)2+(b-11)2=(a-11)2+(24-a-11)2=2(a-12)2 +2,所以 a=12 时总体的标准差最小. 答案:12 9.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩情况如图. (1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和(1)算得的结果,对两人的训练成绩做出评价. 解:(1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为: 甲 乙 10 分 13 分 13 分 14 分 12 分 14 分 12 分 12 分 16 分 14 分 10+13+12+14+16 甲的平均得分为 =13, 5 13+14+12+12+14 乙的平均得分为 =13. 5 1 2 2 2 2 2 s2 甲= [(10-13) +(13-13) +(12-13) +(14-13) +(16-13) ]=4, 5 1 2 2 2 2 2 s2 乙= [(13-13) +(14-13) +(12-13) +(12-13) +(14-13) ]=0.8. 5 2 (2)由 s甲 >s2 乙可知乙的成绩较稳定. 从折线统计图看,甲的成绩基本上呈上升状态,而乙的成绩在平均线上下波动,可知甲的成绩在不断提高, 而乙的成绩无明显提高. 10.在射击比赛中,甲、乙两名运动员分在同一小组,统计出他们命中的环数如下表: 甲 乙 9 2 6 4 7 6 6 8 2 7 7 8 7 9 9 7 8 9 9 10 赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者,如果你是裁判,你将给出怎样的评判? 解:为了分析的方便,先计算两人的统计指标如下表所示. 平均数 甲 乙 7 7 方差 4 5.4 中位数 7 7.5 命中 10 环次数 0 1 (1)平均环数和方差相结合,平均环数高者胜.若平均环数相等,则再看方差,方差小者胜,则甲胜. (2)平均环数与中位数相结合,平均环数高者胜,若平均环数相等,则再看中位数,中位数大者胜,则乙胜. (3)平均环数与命中 10 环次数相结合,平均环数高者胜.若平均环数相等,则再看命中 10 环次数,命中 10 环次数多者胜,则乙胜. [B 能力提升] 11. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1

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