高考(苏教版)数学(文科)一轮复习讲义函数的奇偶性与周期性名师公开课省级获奖课件(66张)_图文

第二章 函数概念与基本初等函数 I §2.3 函数的奇偶性与周期性 内容 索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分 基础知识 自主学习 1 奇偶性 知识梳理 1.函数的奇偶性 定义 如果对于任意的x∈A,都有 图象特点 f(-x)=f(x),那么称函数y 偶函数 一般地, __________ 设函数y =f(x)是偶函数 . y轴 对称 关于____ =f(x)的定 如果对于任意的x∈A,都有 f(-x)=-f(x),那么称函数 奇函数 义域为A ____________ 原点 对称 关于_____ y=f(x)是奇函数. 答案 2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数, 域内的任何值时,都有____________ 称T为这个函数的周期. (2) 最小正周期:如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小 ____________ 的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 答案 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( × ) (2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ ) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期 函数.( √ ) (4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ ) (5) 如果函数 f(x) , g(x) 为定义域相同的偶函数,则 F(x) = f(x) + g(x) 是偶函 数.( √ ) (6)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ ) 答案 2 考点自测 1.(2015· 福建改编)下列函数中, ①y= x; ②y=|sin x|; ③y=cos x; ④ 填函数序号) ④y=ex-e-x 为奇函数的是___.( 解析 对于④,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x), 故y=ex-e-x为奇函数. 而 y= x的定义域为{x|x≥0},不具有对称性, 故 y= x为非奇非偶函数. y=|sin x|和y=cos x为偶函数. 1 2 3 4 5 解析答案 2. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, f(x+ 1) 是偶函数,则 f(1) + f(2) + f(3) + f(4)=___. 0 解析 由f(x+1)是偶函数得f(-x+1)=f(x+1), 又f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(-x+1)=-f(x-1),即-f(x-1)=f(x+1), 所以f(x+2)=-f(x),即f(x)+f(x+2)=0, 所以f(1)+f(3)=0,f(2)+f(4)=0, 因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 1 2 3 4 5 解析答案 3.(2015· 天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记 c<a<b a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为________. 解析 由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0, 所以f(x)=2|x|-1, 当x>0时,f(x)为增函数, log0.53=-log23, 所以log25>|-log23|>0, 所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0). 1 2 3 4 5 解析答案 4.(2014· 天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x) 2 ? ?-4x +2, -1≤x<0, 3 1 =? 则 f( )=__. 2 ? ?x, 0≤x<1, 解析 函数的周期是2, 3 3 1 所以 f( )=f( -2)=f(- ), 2 2 2 1 12 根据题意得 f(-2)=-4×(-2) +2=1. 1 2 3 4 5 解析答案 5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x), x(1-x) 则x<0时,f(x)=________. 解析 当x<0时,则-x>0, ∴f(-x)=(-x)(1-x). 又f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x). 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类 深度剖析 题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 解 定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x), ∴函数为奇函数. 解析答案 (2)f(x)=(x+1) 1-x ; 1+x 解 1-x 由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x ∵函数定义域不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数. 解析答案 2 ? x ? +x, (3)f(x)=? 2 ? ?-x +x, x<0, x>0. 解 当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x, ∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x, ∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x =-(x2+x)=-f(x). ∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 均有f(-x)=-f(x). ∴函数为奇函数. 思维升华 解析答案 跟踪训练1 ln x (1)下列四个函数:①f(x)=-x|x|;②f(x)=x ;③f(x)=sin x;④

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