高学期线性回归方程同步练习题(文科)(教师版)

高二第二学期第一章线性回归方程同步练习题(文科) ( 1)
一、选择题 1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( D ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 2.某市纺织工人的月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为 y=50+80x,则下列说法中正确 的是( C ) A.劳动生产率为 1000 元时,月工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,月工资提高约为 130 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,月工资提高约为 80 元 D.月工资为 210 元时,劳动生产率为 2000 元 3.设有一个回归方程为 y=2-1.5x,则变量 x 每增加一个单位时,y 平均 ( C ) A.增加 1.5 单位 B.增加 2 单位 C.减少 1.5 单位 D.减少 2 单位 4.实验测得四组(x,y)的值为(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),则 y 与 x 之间的回归直线方程为( A )
^ ^ ^ ^

A.y=x+1

B.y=x+2

C.y=2x+1 D.y=x-1
^

5.由一组样本(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)得到的回归直线方程y=a+bx,下面有四种关于回归直线 方程的论述:
^

(1)直线y=a+bx 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点;
n

∑i=1xiyi-n x (2)直线y=a+bx 的斜率是 n 2 ∑i=1xi-n x
^ ^

y
2

^

;(3)直线y=a+bx 必过( x , y )点;
n
2

(4)直线y=a+bx 和各点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的偏差∑i=1 (yi-a-bxi) 是该坐标平面上所有 的直线与这些点的偏差中最小的直线. 其中正确的论述有( D )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
n

∑i=1xiyi-n x y 解析 线性回归直线不一定过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的任何一点;b= 就 n 2 2 ∑i=1xi-n x 是线性回归直线的斜率,也就是回归系数;线性回归直线过点( x , y );线性回归直线是平面上所有直
n

线中偏差∑i=1 (yi-a-bxi) 取得最小的那一条.故有三种论述是正确的,选 D. 6. 某化工厂为预测产品的回收率 y, 需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系, 现取 8 对观测值,
8 8 8 2 8

2

计算,得∑i=1xi=52,∑i=1yi=228,∑i=1xi=478,∑i=1xiyi=1849,则其线性回归方程为( A )
^ ^ ^ ^

A.y=11.47+2.62x B.y=-11.47+2.62x C.y=2.62+11.47x D.y=11.47-2.62x
^

解析 利用回归系数公式计算可得 a=11.47,b=2.62,故y=11.47+2.62x. 7. 下列变量之间的关系是函数关系的是( A ) A.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c ,其中 a,b 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数的判别式
2

Δ ? b 2 ? 4ac
B.光照时间和果树的亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩用肥料量和粮食亩产量 8. 列有关线性回归的说法,不正确是( D ) A.变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 C.线性回归直线方程最能代表观测值 x,y 之间的关系 1 / 10

D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 9.已知 x 与 y 之间的一组数据:

x y

0 1

1 3 ).

2 5

3 7

则 y 对 x 的线性回归方程 y=bx+a 必过点( D

A. (2,2) B. (1.5,3.5) C. (1,2) D. (1.5,4) 10. 设回归直线方程为 y=2-1.5x,若变量 x 增加 1 个单位,则( A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 二、填空题 11.下列关系中,是相关关系的为 (填序号). ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系;②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系;④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 答案 ①② 12.下列有关线性回归的说法,正确的是 (填序号). ①相关关系的两个变量不一定是因果关系②散点图能直观地反映数据的相关程度 ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系④任一组数据都有回归直线方程 答案 ①②③ 13.下列命题:①线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示;
? x +a ? ,可以估计和预测变量的取值和变化趋势. ? 及回归系数 b ? =b ③通过回归直线 y

C ).

其中正确命题的序号是 .答案 ①②③ 14.下列关系: ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③苹果的产量与气候之 间的关系;④森林中的同一树木,其截面直径与高度之间的关系;⑤学生的身高与其学号之间的关系,其 中有相关关系的是___①③④_____(填序号). ? =0.50x-0.81,则 x=25 时, y ? 的估计值为 15.已知回归方程为 y .答案 11.69 16.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 1 2 3 4 用水量 y 4.5 4 3 2.5
^

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是y=-0.7x+a,则 a 等于______. 解析

x =2.5, y =3.5,∵回归直线方程过定点( x , y ),∴3.5=-0.7×2.5+a.∴a=5.25.

17.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系,随机统计了某 4 个月的 月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 月平均气温 x(℃) 月销售量 y(件)
^

17 24

13 33

8 40

2 55

由表中数据算出线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2, 气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃, 据此估计, 该商场下个月毛衣的销售量约为________件. 答案 46 解析 由所提供数据可计算得出 x =10,y =38, 又 b≈-2 代入公式 a= y -b x 可得 a=58,
^

即线性回归方程y=-2x+58,将 x=6 代入可得. 2 / 10

18.正常情况下,年龄在 18 岁到 38 岁的人们,体重 y(kg)依身高 x(cm)的回归方程为 y=0.72x-58.5。 张红红同学不胖不瘦,身高 1 米 78,他的体重应在 69.66 kg 左右。 19.观察下列散点图,则①正相关;②负相关;③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .

答案 a,c,b ? =1.5x-15,则下列说法正确的有 20.回归方程 y 个. 答案 1 ① y =1.5 x -15②15 是回归系数 a③1.5 是回归系数 a④x=10 时,y=0 21.(2009.湛江模拟)某地区调查了 2~9 岁儿童的身高,由此建立的身高 y(cm)与年龄 x(岁)的回归模 ? =8.25x+60.13,下列叙述正确的是 型为 y . 答案 ② ①该地区一个 10 岁儿童的身高为 142.63 cm②该地区 2~9 岁的儿童每年身高约增加 8.25 cm ③该地区 9 岁儿童的平均身高是 134.38 cm④利用这个模型可以准确地预算该地区每个 2~9 岁儿童的身高 ? =1.75x+5.75 21.三点(3,10) , (7,20) , (11,24)的回归方程是 .答案 y 22.某人对一地区人均工资 x(千元)与该地区人均消费 y(千元)进行统计调查,y 与 x 有相关关系,得到 ? =0.66x+1.562.若该地区的人均消费水平为 7.675 千元,估计该地区的人均消费额占人均 回归直线方程 y 工资收入的百分比约为 .答案 83% 23.某化工厂为预测产品的回收率 y,需要研究它和原料有效成分含量 x 之间的相关关系,现取 8 对观测值, 计算,得 答案
? y

?
i ?1

8

xi =52,

?
i ?1

8

y i =228,

?
i ?1

8

x i2 =478,

?x y
i ?1

8

i i

=1 849,则其线性回归方程为

.

=11.47+2.62x

24.有下列关系:①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;②曲线上的点与该点的坐标之间的关系; ③苹果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系.其中,具有 相关关系的是 .答案 ①③④ 25.已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元) ,有如下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 .答案 (4,5)

? x+ a ? 表示的直线一定过定点 ? =b 若 y 对 x 呈线性相关关系,则回归直线方程 y

26.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5
^

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y =-0.7x+a, 则 a=___5.25_____. 27.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉__ D ____组数据后,剩下的 4 组数据的线性相关性最大.

三、解答题 28.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下: 3 / 10

零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

2 2.5

3 3

4 4

5 4.5

^

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时? 解析 (1)散点图如图.

4

(2)由表中数据得:∑i=1xiyi=52.5,
4

x =3.5, y =3.5,∑i=1x2 ∴a=1.05, i=54,∴b=0.7,

^

^

∴y=0.7x+1.05.回归直线如图所示. (3)将 x=10 代入回归直线方程, 得y=0.7×10+1.05=8.05(小 时 ).∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时. 29.随着我国经济的快速发展,城乡居民的生活水平不断提高,为研究某市家庭平均收入与月平均生活支 出的关系,该市统计部门随机调查了 10 个家庭,得数据如下: 家庭编号 xi(收入)千 元 yi(支出)千 元 1 0.8 0.7 2 1.1 1.0 3 1.3 1.2 4 1.5 1.0 5 1.5 1.3 6 1.8 1.5 7 2.0 1.3 8 2.2 1.7 9 2.4 2.0 10 2.8 2.5

(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关?(2)若二者线性相关,求回归直线方程. 解 (1)作出散点图:

5分 观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近,所以二者呈线性相关关系. 4 / 10 7分

(2) x =
y

1 (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74, 10

=

1 (0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)=1.42, 10

9分

?= b

? x y ? nx ? y
i i i ?1 n

n

?
i ?1

? =1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3, ≈0.813 6, a

13 分

xi2

? nx

2

? =0.813 6x+0.004 3. ∴回归方程 y

14 分

30.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨) 标准煤的几组对照数据.

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;
? x+ a ?; ? =b (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y

(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解 (1)散点图如下图:

(2) x =

3? 4?5?6 2.5 ? 3 ? 4 ? 4.5 =4.5, y = =3.5 4 4

?x y
i ?1

4

i i

=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.

?
i ?1

4

x i2

?= =3 +4 +5 +6 =86.∴ b
2 2 2 2

?x y
i ?1

4

i i

? 4x ? y

?
i ?1

4

=
? 4x
2

66.5 ? 4 ? 3.5 ? 4.5 86 ? 4 ? 4.5 2

=0.7

xi2

? a

? x =3.5-0.7×4.5=0.35.∴所求的线性回归方程为 y ? =0.7x+0.35. = y -b

(3)现在生产 100 吨甲产品用煤 y=0.7×100+0.35=70.35,∴降低 90-70.35=19.65(吨)标准煤. 31.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对于不同的温度观测它在水中的溶解度,得观测结果如下: 5 / 10

温度(x) 溶解度 (y)

0 66.7

10 76.0

20 85.0

50 112.3

70 128.0

由资料看 y 与 x 呈线性相关,试求回归方程.



66.7 ? 76.0 ? 85.0 ? 112.3 ? 128.0 ?= =93.6. b x =30, y = 5

?x y
i ?1 5

5

i i

? 5x ? y

≈0.880 9.
? 5x
2

?
i ?1

x i2

? a

? x =93.6-0.880 9×30=67.173.∴回归方程为 y ? =0.880 9x+67.173. = y -b

32.某公司利润 y 与销售总额 x(单位:千万元)之间有如下对应数据: x y 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)估计销售总额为 24 千万元时的利润. 解 (1)散点图如图所示:

(2) x = (10+15+17+20+25+28+32)=21, y = (1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,

1 7

1 7

?x
i ?1

7

2 i

=10 +15 +17 +20 +25 +28 +32 =3 447,

2

2

2

2

2

2

2

?x
i ?1

7

i

y i =10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,

?= b

?x y
i ?1 7

7

i i

? 7x ? y

=
? 7x
2

346.3 ? 7 ? 21? 2.1 3 447 ? 7 ? 212

?
i ?1

? x =2.1-0.104×21=-0.084,∴ y ? = y -b ? =0.104x-0.084. ≈0.104, a

x i2

? =2.412(千万元). (3)把 x=24(千万元)代入方程得, y

∴估计销售总额为 24 千万元时,利润为 2.412 千万元. 33.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大? 解 (1)根据表中所列数据可得散点图如下: 6 / 10

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算: i xi yi xiyi
25 250 =5, y = =50, 5 5
5

1 2 30 60

2 4 40 160

3 5 60 300

4 6 50 300

5 8 70 560

因此, x =

?
i ?1

5

x i2 =145,

?
i ?1

5

y i2 =13 500,

?x
i ?1

5

i

y i =1 380.

?= 于是可得: b

?x y
i ?1 5

i i

? 5x ? y

=
? 5x 2

?x
i ?1

2 i

1 380 ? 5 ? 5 ? 50 ? x =50-6.5×5=17.5. ? = y -b =6.5; a 145 ? 5 ? 5 ? 5

? =6.5x+17.5. 因此,所求回归直线方程为: y ? =6.5×10+17.5=82.5(百万元),即 (3)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时, y

这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元. 34.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此做了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 加工的时间 y(小时) (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; 2 2.5 3 3 4 4 5 4.5

^

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间? 解

(1)散点图如图所示. 7 / 10

4

(2)由表中数据得∑ xiyi=52.5, i=1
4 ^ ^ ^

x =3.5, y =3.5,∑ x2 x =1.05. i=54,∴b =0.7.(7 分)∴a = y -b i=1
^

∴y =0.7x+1.05.回归直线如图中所示.(10 分) (3)将 x=10 代入线性回归方程,得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时), ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时 .(14 分) 35.某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图;(2)求线性回归方程;(3)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大? 解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示:

(2)计算得: x =
5 5

25 250 =5, y = =50, 5 5
5

∑xiyi-5 x y 1 380-5×5×50 i=1 2 ∑ x = =6.5,(7 分) i=145,∑ xiyi=1 380.于是可得 b= 5 2 i=1 i=1 145-5×5 2 2 ∑ x i-5 x i=1
^

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,因此,所求线性回归方程是y =6.5x+17.5. (10 分)
(3)由上面求得的线性回归方程可知,当宣传费支出为 10 万元时,
^

y =6.5×10+17.5=82.5(万元),即这种产品的销售大约为 82.5 万元.(14 分)
36.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: 月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程;(2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元?
6 6



(1)n=6,∑ xi=21,∑ yi=426, x =3.5, y =71, i=1 i=1
6 2 6

∑xi=79,∑ xiyi=1 481, i=1 i=1
6

∑xiyi-6 x y 1 481-6×3.5×71 i=1 b= 6 = ≈-1.82. 2 79-6×3.5 2 2 ∑ x i-6 x i=1
^

(5 分)

a= y -b x =71+1.82×3.5=77.37.∴线性回归方程为y =a+bx=77.37-1.82x. (8 分)
(2)因为单位成本平均变动 b=-1.82<0, 且产量 x 的计量单位是千件, 所以根据回归系数 b 的意义有: 产量每增加一个单位即 1 000 件时,单位成本平均减少 1.82 元. (12 分) (3)当产量为 6 000 件时,即 x=6,代入线性回归方程:
^

y =77.37-1.82×6=66.45(元).∴当产量为 6 000 件时,单位成本为 66.45 元.(14 分)

8 / 10

28.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下: 零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

^

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少小时? 29.随着我国经济的快速发展,城乡居民的生活水平不断提高,为研究某市家庭平均收入与月平均生活支 出的关系,该市统计部门随机调查了 10 个家庭,得数据如下: 家庭编号 xi(收入)千 元 1 0.8 2 1.1 3 1.3 4 1.5 5 1.5 6 1.8 7 2.0 8 2.2 9 2.4 10 2.8

9 / 10

yi(支出)千 元

0.7

1.0

1.2

1.0

1.3

1.5

1.3

1.7

2.0

2.5

(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关?(2)若二者线性相关,求回归直线方程. 30.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨) 标准煤的几组对照数据.

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;
? x+ a ?; ? =b (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y

(3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生 产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 31.在研究硝酸钠的可溶性程度时,对于不同的温度观测它在水中的溶解度,得观测结果如下:

温度(x) 溶解度 (y)

0 66.7

10 76.0

20 85.0

50 112.3

70 128.0

由资料看 y 与 x 呈线性相关,试求回归方程. 32.某公司利润 y 与销售总额 x(单位:千万元)之间有如下对应数据: x y 10 1 15 1.3 17 1.8 20 2 25 2.6 28 2.7 32 3.3

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)估计销售总额为 24 千万元时的利润. 33.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?

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