2019年高考数学一轮复习: 坐标系与参数方程 第2节 参数方程学案 文 北师大版

第二节 曲线的参数方程. 参数方程 [考纲传真] 1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆 (对应学生用书第 161 页) [基础知识填充] 1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数 ?x=f ? ? ? ?y=g t , t 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点 M(x,y)都在这 条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参 变数,简称参数. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 一般地, 可以通过消去参数从参 数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么? 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 普通方程 参数方程 ? ?x=x0+tcos α , ? ?y=y0+tsin α ? ?x=rcos θ , ? ? ? ?y=rsin θ ?x=acos φ , ? ? ?y=bsin φ ? ? ?x=f ?y=g ? t , t 就是曲线的参数方程. y-y0=tan α (x- x0) x2+y2=r2 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 (t 为参数) 圆 (θ 为参数) 椭圆 (φ 为参数) 温馨提示:在直线的参数方程中,参数 t 的系数的平方和为 1 时,t 才有几何意义且几 何意义为:|t|是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距离. [基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)参数方程? ?x=f ? ? ?y=g t , t 中的 x,y 都是参数 t 的函数.( ) (2)过 M0(x0, y0), 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? ?x=x0+tcos α , ? ?y=y0+tsin α ? (t 为参数). 参 → 数 t 的几何意义表示:直线 l 上以定点 M0 为起点,任一点 M(x,y)为终点的有向线段M0M 的数量.( (3)方程? ) 表示以点(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆.( ?x=2cos ? ? ?y=4sin ? ?x=2cos θ , ?y=1+2sin θ ? ) (4)已知椭圆的参数方程? t, t π (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t= , 3 ) 点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为 3.( [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材改编)曲线? ? ?x=-1+cos θ , ?y=2+sin θ ? (θ 为参数)的对称中心( B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上 ) A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 B [由? ? ?x=-1+cos θ , ?y=2+sin θ , ? 2 2 ? ?cos θ =x+1, 得? ?sin θ =y-2, ? 所以(x+1) +(y-2) =1. 曲线是以(-1,2)为圆心,1 为半径的圆, 所以对称中心为(-1,2),在直线 y=-2x 上.] 2 ? ?x=2+ 2 t, 3.(教材改编)在平面直角坐标系中,曲线 C:? 2 ? ?y=1+ 2 t 为________. (t 为参数)的普通方程 x-y-1=0 [由 x=2+ 2 2 t,且 y=1+ t, 2 2 消去 t,得 x-y=1,即 x-y-1=0.] 4.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 ?x=t , C1 的极坐标方程为 ρ (cos θ +sin θ )=-2,曲线 C2 的参数方程为? ?y=2 2t 参数),则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. (2,-4) [由 ρ (cos θ +sin θ )=-2,得 x+y=-2.① 2 (t 为 ?x=t , 由? ?y=2 2t, 联立①②得? 2 消去 t 得 y =8x.② 2 ?x=2, ? ?y=-4, ? 即交点坐标为(2,-4).] 5 . (2016· 江 苏 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 1 x=1+ t, ? 2 ? ? 3 ? ?y= 2 t (t 为参数),椭圆 C 的参数方程为? ?x=cos θ , ? ? ?y=2sin θ (θ 为参数).设 直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. 【导学号:00090372】 [解] 椭圆 C 的普通方程为 x + =1. 4 1 ? ?x=1+2t, 将直线 l 的参数方程? 3 y= t ? ? 2 +16t=0, 16 16 解得 t1=0,t2=- ,所以 AB=|t1-t2|= . 7 7 2 y2 2分 y ? 1 ?2 2 代入 x + =1, 得?1+ t? + 4 ? 2 ? 2 ? 3 ?2 ? t? ?2 ? 4 =1, 即 7t 2 8分 10 分 (对应学生用书第 162 页) 参数方程与普通方程的互化 已知直线 l 的参数方程为? ? ?x=4cos θ , ? ?y=4sin θ ? ?x=a-2t, ? ? ?y=-4t (t 为参数),圆 C 的参数方程为 (θ 为参数). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. [解] (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x +y =16. (2)因为直线 l 与圆

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