广州市高二学业水平测试数学试题+答案

秘密★启用前
上学期广州市高中二年级学生学业水平测试 数 学(必修)

本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答 的答案无效.
4.本次考试不允许使用计算器. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的.
1. 已知全集U ? ?1, 2,3, 4,5?,集合 A ? ?1,3? ,则 ?U A ? ( ).

A. ?

B. ?1, 3?

C.?2, 4,5?

D.?1, 2,3, 4,5?

2. 已知点 P ?3, ?4? 是角? 终边上的一点,则 tan? ? (

A. ? 4

B. ? 3

C. 3

3

4

4

). D. 4 3

3. 若直线 y ? ax ? 3与直线 y ? ?2x ? a 垂直,则实数 a 的值为( ).

A. ?2

B. 2

C. ? 1

D. 1

2

2

4. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 9 的矩形框,不考虑焊接损耗,则需要铁丝

的长度至少为( ).

A.24

B. 12

C. 6

D. 3

数学学业水平测试答案 第 1 页 共 10 页

5. 如图 1,在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 P ,

分别以 A、B、C、D 为圆心、1 为半径作圆,在正方形

D

C

ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为 M

(阴影部分),则点 P 取自区域 M 的概率是(

).

M

A. ? 2
C. 1? ? 4

B. ? 4
D.1? ? 2

A

B

图1

6. 某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺

示,则该几何体的体积为( ).

A. 1 6

B. 1 3

C. 1

D. 1

2

7. 函 数 f ? x? ?

A.

? ??

0,

1 2

? ??

x? 2 的 零 点 所 在 的 区 间 为 x

B.

? ??

1 2

,1???

C.

???1,

3 2

? ??

寸如图 2 所

图2

D.

? ??

3 2

,

2 ???

( ).

8. 已知等差数列{an}的首项为 4,公差为 4,其前 n 项和为 Sn ,则数列 n 项和为( ).

A. n 2(n ?1)

B. 1 2n(n ?1)

C. 2 n(n ?1)

D. 2n n ?1

的前

?1?

? ?

Sn

? ?

9. 在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ?1,则 AC ?CD ? (

A. 4

B. 2

C. ?2

). D. ?4

10. 设函数 f ? x? 的定义域为 R ,若存在与 x 无关的正常数 M ,使 f ? x? ≤M x 对

一切实数 x 恒成立,则称 f ? x? 为有界泛函.有下面四个函数:

① f ?x? ?1; ② f ?x? ? x2 ;
其中属于有界泛函的是( ).

③ f ? x? ? 2xsin x ;



f

?

x?

?

x2

x ?x

?

2



A. ①②

B. ③④

C. ①③

D. ②④

数学学业水平测试答案 第 2 页 共 10 页

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
? ? 11. 已知幂函数 f (x) ? x? 的图象过点 2, 2 ,则

函数 f (x) 的定义域是

.

12. 如图 3 给出的是计算 S ? 1? 1 ? 1 ? ??? ? 1 值的

23

n

一个程序框图,当程序结束时, n 的值为

.

13. 已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A?2, 4,0? ,

B?2,0,3?, C ?2, 2, z?,若 ?C ? 90 ,则 z 的值





14.

设实数

x,

y

满足

?? ?

x x

≤3, ? y?2



0,则

x2

?

y2

的取值范围是

??x ? y ? 4≥0,

开始

i=1, S=0

i ? 2013?

S=S+ 1
i


输出 S
结束

i=i+1
图3

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A?3,1? , C ?1,0? .
(1)求以点 C 为圆心,且经过点 A 的圆 C 的标准方程; (2)若直线l 的方程为 x ? 2y ?9 ?0 ,判断直线l 与(1)中圆C 的位置关系,并说明理由.

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? sin x ? 3 cos x, x ? R .(1)求函数 f (x) 的最小正周期;
数学学业水平测试答案 第 3 页 共 10 页

(2)若

f

? ??

?

?

? 3

? ??

?

6 5

,?

?

? ??

0,

? 2

? ??

,求

f

? ??

2?

?

? 3

? ??

的值.

17.(本小题满分 14 分) 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 N 名学生作为样本,得到这 N 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下:

分组

频率/组距
a

?3, 6?

?6, 9?

?9,12 ?

?12,15?

3 6 9 合计12 15 次数

频数 10 n 4 2 N

频率 m p q 0.05 1

(1)求出表中 N , p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 9 次的学生中任选 2 人,求至少有一
人参加社区服务次数在区间?12,15? 内的概率.

数学学业水平测试答案 第 4 页 共 10 页

18.(本小题满分 14 分) 如图 4 所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 圆周上不同于 A、B 的任意一点,PA ? 平面
ABC,点 E 是线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 MO∥AC. (1)求证:BC ? 平面 PAC; (2)求证:平面 EOM∥平面 PAC.
P 图4

E C

A

O

B

M

19.(本小题满分 14 分) 已知数列{an}满足 a1 ?1, an?1 ? an ? ? ? 2n ( n ? N* ,? 为常数),且 a1 , a2 ? 2 , a3 成等差数列. (1)求 ? 的值;(2)求数列{an}的通项公式;

(3)设数列 {bn } 满足

,证明:



n2 bn ? an ? 3

bn

≤9 16

数学学业水平测试答案 第 5 页 共 10 页

20.(本小题满分 14 分)
设 a 为常数, a ?R ,函数 f ? x? ? x2 ? x ? a ?1, x ?R . (1)若函数 f ? x? 是偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x? 的最小值.
数学学业水平测试答案 第 6 页 共 10 页

广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

选项 C

A

D

B

C

B

D

A

D

B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其 中第 13 题填对 1 个给 3 分,填对 2 个给 5 分.

11. [0, ??)

12. 2012

13. ?1或 4

14. ?8,34?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15.本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识.本小题满分 12 分.
解:(1)因为圆 C 的圆心为 C(1, 0) , 可设圆 C 的标准方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? r2 .

因为点 A?3, 1? 在圆 C 上, 所以 ?3 ?1?2 ?12 ? r2 ,即 r2 ? 5 .

所以圆 C 的标准方程为 (x ?1)2 ? y2 ? 5 .

(2)圆心 C 到直线 l 的距离为 d ? 1? 2? 0 ? 9 ? 2 5 . 22 ?12

因为 2 5 ? 5 ,即 d ? r ,所以直线 l 与圆 C 相离.

16.本小题主要考查周期的概念,考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想.本 小题满分 12 分.

解:(1) f (x) ? sin x ?

3 cos x

?

? 2 ???

1 2

sin

x

?

3 2

cos

? x ???

?

2

sin

? ??

x?

? 3

? ??



所以函数 f (x) 的最小正周期是 2? .

(2)由(1)得,

f

?

x?

?

2 sin

? ??

x

?

? 3

? ??



因为

f

? ??

?

?

? 3

? ??

?

6 5



所以

f

????

?

? 3

? ??

?

2 sin

????

?

? 3

?

? 3

? ??

?

2 sin ?

?

6 5



即 sin? ? 3 . 5

因为

?

?

? ??

0,

? 2

? ??



所以 cos? ? 1? sin2 ? ? 4 . 5

所以

f

? ??

2?

?? 3

? ??

?

2

sin

? ??

2?

?? 3

?? 3

? ??

? 2sin 2?

? 4sin? cos?

?

4? 3? 4 55

?

48 25



数学学业水平测试答案 第 7 页 共 10 页

17.本小题主要考查频数、频率等基本概念,考查古典概型等基础知识.本小题满分 14 分. 解:(1)由分组[12,15) 内的频数是 2 ,频率是 0.05 ,
得 2 ? 0.05 ,所以 N ? 40 . N
因为频数之和为 40 ,所以10 ? n ? 4 ? 2 ? 40 ,解得 n ? 24 . 所以 p ? n ? 24 ? 0.6 .
N 40 因为 a 是对应分组[6,9) 的频率与组距的商,所以 a ? p ? 0.6 ? 0.2 .
33
(2)记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15) 内”为事件 A .
这个样本中参加社区服务次数不少于 9 次的学生共有 4 ? 2 ? 6 人.
记在区间[9,12) 内的 4 人为 a1, a2 , a3, a4 ,在区间[12,15) 内的 2 人为 b1,b2 .

从这 6 人中任选 2 人的所有可能结果有:{a1, a2},{a1, a3},{a1, a4},{a1, b1},{a1, b2},

{a2 , a3},{a2 , a4},{a2 , b1},{a2, b2},{a3, a4},{a3, b1},{a3, b2},{a4, b1},{a4, b2},{b1, b2} , 共 15 种.

事件 A 包含的结果有:{a1,b1},{a1,b2},{a2 ,b1},{a2 , b2},{a3, b1},{a3, b2},{a4, b1},

{a4 ,

b2},{b1, b2}

,共

9

种.所以所求概率为

P(

A)

?

9 15

?

3 5

?

0.6



18.本小题主要考查直线与平面的位置关系,考查空间想象能力.本小题满分 14 分.

证明:(1)因为点 C 是以 AB 为直径的⊙O 圆周上不同于 A、B 的任意一点,

所以 ?ACB ? 90 ,即 BC ? AC.

P

因为 PA ? 平面 ABC,BC ? 平面 ABC,

所以 PA ? BC.

E

C
因为 AC ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC,AC PA=A,

所以 BC ? 平面 PAC.

A

O

B

(2)因为点 E 是线段 PB 的中点,点 O 是线段 AB 的中点, M 所以 EO∥PA.

因为 PA ? 平面 PAC,EO ? 平面 PAC,

所以 EO∥平面 PAC.

因为 MO∥AC,AC ? 平面 PAC,MO ? 平面 PAC,

所以 MO∥平面 PAC.

因为 EO ? 平面 EOM,MO ? 平面 EOM,EO MO=O,

所以平面 EOM∥平面 PAC.

数学学业水平测试答案 第 8 页 共 10 页

19.本小题主要考查等差数列的概念,考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能力、 推理论证能力等.本小题满分 14 分. (1)解:因为 a1 ?1, an?1 ? an ? ? ? 2n ( n ? N* ),
所以 a2 ? a1 ? ? ? 21 ?1? 2? , a3 ? a2 ? ? ? 22 ?1? 6? .
因为 a1 , a2 ? 2 , a3 成等差数列,
所以 a1 ? a3 ? 2(a2 ? 2) ,即 2 ? 6? ? 2(3 ? 2?) , 解得 ? ? 2 .

(2)解:由(1)得, ? ? 2 ,所以 an?1 ? an ? 2n?1 ( n ? N* ),所以 an ? an?1 ? 2n ( n≥2 ). 当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ??? ? (an ? an?1)

? 1? 22 ? 23 ? ??? ? 2n ? 1? 22 (1? 2n?1) ? 2n?1 ? 3 . 1? 2

又 a1 ?1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为 an ? 2n?1 ? 3( n ? N* ).

(3)证明:由(2)得, an

?

2n?1

? 3,所以 bn

?

n2 2n?1



因为 bn?1

? bn

?

(n ?1)2 2n?2

?

n2 2n?1

?

?n2 ? 2n ?1 2n?2

?

?(n ?1)2 2n?2

?

2



当 n≥3时, ??n ?1?2 ? 2 ? 0 ,

所以当 n≥3时, bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn?1 ? bn .

又 b1

?

1 4

< b2

?

1 2

< b3

?

9 16



所以

bn≤b3

?

9 16

(

n?

N*

).

20.本小题主要考查偶函数的概念,考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求解 能力、分类讨论思想等.本小题满分 14 分.
解:(1)因为函数 f ? x? 为偶函数,
所以对任意的 x ?R 都有 f ??x? ? f ? x? ,
即对任意的 x ?R 都有 ??x?2 ? ?x ? a ?1 ? x2 ? x ? a ?1,
即对任意的 x ?R 都有 x ? a ? x ? a ,即对任意的 x ?R 都有 ? x ? a?2 ? ? x ? a?2 ,
数学学业水平测试答案 第 9 页 共 10 页

即对任意的 x ?R 都有 4ax ? 0 ,所以 a ? 0 .

(2)①当

x≤a

时,

f

?x?

?

x2

?

x

?

?1?

a?

?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

? ??

3 4

?

a

? ??



若 a≤ 1 ,则函数 f ? x? 在 ???, a? 上单调递减.
2

所以函数 f ? x? 在 ???, a? 上的最小值为 f ?a? ? a2 ?1.



a

?

1 2

,则函数

f

?

x?



? ??

??,

1? 2 ??

上单调递减,在

? ??

1 2

, a???

上单调递增.

所以函数

f

?x?



???, a? 上的最小值为

f

? ??

1 2

? ??

?

3 4

?

a



②当

x

?

a 时,

f

?x?

?

x2

?

x ? ?1?

a?

?

? ??

x

?

1 2

?2 ??

?

? ??

3 4

?

a

? ??





a≤ ?

1 2

,则函数

f

?x?



???a,

?

1 2

? ??

上单调递减,在

? ??

?

1 2

,

??

? ??

单调递增.

所以函数

f

?x?

在?a, ???

上的最小值为

f

? ??

?

1 2

? ??

?

3 4

?

a



若 a ? ? 1 ,则函数 f ? x? 在?a, ??? 单调递增.
2

所以函数 f ? x? 在?a, ??? 上的最小值为 f ?a? ? a2 ?1.

综上所述,当 a≤? 1 时,函数 f ? x? 的最小值是 3 ? a ;当 ? 1 ? a≤1 时,函数 f ? x? 的最小值

2

4

22

是 a2 ?1 ;当 a ? 1 时,函数 f ? x? 的最小值是 3 ? a .

2

4

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