课时跟踪检测(三十九) 合情推理与演绎推理

课时跟踪检测(三十九) 合情推理与演绎推理 一、选择题 1.(2015· 合肥模拟)正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2 +1)是奇函数,以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 ) B.大前提不正确 D.全不正确

2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2
2 2

) D.4
3 4 4

C.3
3

3.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=( A.28 ) B.76 C.123 D.199

4.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2, S1 1 则 = ,推广到空间可以得到类似结论:已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1,外接球 S2 4 V1 体积为 V2,则 =( V2 1 A. 8 ) 1 B. 9 1 C. 64 ) 1 D. 27

5.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(

A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,?,推断: Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对?x∈R 都成立,推断:f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2,推断:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积 S=πab a b D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,?,推断:对一切 n∈N*,(n+1)2>2n 6. (2015· 西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个“整数对”是( A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) ) D.(10,1)

二、填空题 a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30 7.(2015· 福建厦门模拟)已知等差数列{an}中,有 = , 10 30 则在等比数列{bn}中,会有类似的结论:__________________________________________. 8.将全体正整数排成一个三角形数阵:根据以上排列规律,数阵 中第 n(n≥3)行从左至右的第 3 个数是________. 9.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截 下的一个直角三角形,按下图所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设 2 4 1 3 5 6 7 8 9 10 ??

想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三 棱锥 OLMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积,S4 表示截面面积,那么类比得到的结 论是________.

10.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,?,xn,都 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? 有 ≤f n n ? ?.若 y=sin x 在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ ABC 中,sin A+sin B+sin C 的最大值是________. 三、解答题 11.在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.

12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin213° +cos217° -sin 13° cos 17° ; ②sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° ; ③sin218° +cos212° -sin 18° cos 12° ; ④sin2(-18° )+cos248° -sin(-18° )cos 48° ; ⑤sin2(-25° )+cos255° -sin(-25° )cos 55° .

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

答案 1.选 C 因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确. 2.选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 3.选 C 记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5) =f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则 f(6)=f(4)+f(5) =18; f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以 a10+b10=123. V1 1 4.选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故 = . V2 27 5.选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列{an}是等差数列,其 n +2n- 前 n 项和等于 Sn= =n2,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确. 2 6.选 B 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整数 n?n+1? 对”的和均为 n+1,且第 n 组共有 n 个“整数对”,这样的前 n 组一共有 个“整数 2 10×?10+1? 11×?11+1? 对”, 注意到 <60< , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整 2 2 数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置,结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各 对数依次为:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,因此第 60 个“整数对”是(5,7),选 B. 7.解析:由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20, ∴ 10 b11b12?b20= 30 b1b2?b30.

答案:

10

b11b12?b20=

30

b1b2?b30

n?n-1? n2-n 8.解析:前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)= 个,即 个,因此第 n 2 2 n2-n n2-n+6 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第 +3 个,即为 . 2 2 n2-n+6 答案: 2 9.解析:将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,
2 2 2 可得 S2 1+S2+S3=S4. 2 2 2 答案:S2 1+S2+S3=S4

10.解析:由题意知,凸函数满足 f?x1?+f?x2?+?+f?xn? ?x1+x2+?+xn? ≤f n n ? ?, A+B+C π 3 3 又 y=sin x 在区间(0, π)上是凸函数, 则 sin A+sin B+sin C≤3sin =3sin = . 3 3 2 3 3 答案: 2 11.证明:∵△ABC 为锐角三角形, π π ∴A+B> ,∴A> -B, 2 2 π? ∵y=sin x 在? ?0,2?上是增函数, π ? ∴sin A>sin? ?2-B?=cos B, 同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 12.解:(1)选择②式,计算如下: 1 sin215° +cos215° -sin 15° cos 15° =1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 (2)法一:三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α) =sin2α+(cos 30° cos α+sin 30° sin α)2-sin α· (cos 30° cos α+sin 30° sin α) 3 3 1 3 1 =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α- sin αcos α- sin2α 4 2 4 2 2

3 3 = sin2α+ cos2α 4 4 3 = . 4 法二:三角恒等式为 3 sin2α+cos2(30° -α)-sin α· cos(30° -α)= . 4 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sin αcos(30° -α) = 1-cos 2α 1+cos?60° -2α? + -sin α· (cos 30° cos α+sin 30° sin α) 2 2

1 1 1 1 3 1 = - cos 2α+ + (cos 60° cos 2α+sin 60° sin 2α)- sin αcos α- sin2α 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α- sin 2α- (1-cos 2α) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α- + cos 2α= . 4 4 4 4


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