摩天轮设计过程中的数学边界探析_图文

2012 年 第 35 期 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ○机械与电子○ 科技信息 摩天轮设计过程中的数学边界探析 史永利 (常州技师学院 江苏 常州 213000) 【摘 要】随着世界各地越来越多的摩天轮地出现,对于摩天轮的设计者来说也提出了一定的挑战。对于在摩天轮设计过程中出现的合理、 安全与收益效率之间存在的矛盾 ,在工程中如何合理的协调 ,这是摆在设计者面前的首要问题 。 通过利用几何关系对摩天轮圆塔半径和轿厢数 量以及轿厢相关尺寸进行分析,得出其干涉边界关系,为摩天轮的后续设计工作提供可靠的保障。 【关键词】游乐园;摩天轮;数学边界;干涉 0 引言 3 数学边界问题分析 数学边界问题一直以来都是工程设计中的首要问题, 它为工程设 计的最优化提供了前期的先决条件。为节约资料以及性能和效益的最 大化提供了可能。 在世界各地纷纷兴起的摩天轮设计建造过程中,便 存在这这样的数学边界问题。摩天轮的经营者希望在一定直径的摩天 轮上安装尽可能多的轿厢,以增加单位时间内乘坐摩天轮的游客数量 来增加收入,同时又存在着轿厢的视角、摩天轮圆塔结构刚性以及所 需要达到的安全标准等等。那么本文就从几何关系方面来对摩天轮设 计过程中的数学边界进行简要探析。 1 摩天轮概述 图 1.2 轿厢截面尺寸 在设计制造摩天轮的过程中要考虑的因素有很多, 比如摩天轮圆 塔的结构、材料、安全性以及轿厢所能到达的高度的视角等等 。 这里我 们抛开这些因素仅仅就在理想状态下摩天轮的直径与所能容纳的轿 厢数量的数学边界问题展开讨论。 首 先 假 设 我 们 在 工 程 中 要 制 造 的 轿 厢 的 尺 寸 为 :宽 Bm、轿 厢 全 高 Hm、厢壁高 hm,如图 1.2 所示。 设圆塔的半径为 R,将此轿厢均匀地悬 挂于圆塔四周时,由于轿厢受自身重 以及工作状态需要其在摩天轮匀速转动时自然垂直向下。当相邻 两轿厢运行至直角坐标系 45°的整数倍角度附近时,如图 1.3 中所示, 其中轿厢 1 的右下角与相邻轿厢 2 的左上角容易发生干涉现象,即相 邻轿厢发生干涉的边界情况, 如图中 C 点所示。 图 1.1 北京朝阳公园摩天轮 随着位于北京朝阳公园的摩天轮 (图 1.1) 的落成, 这座高度达 208 米、直径达 193 米的摩天轮成为当今世界上最宏伟的摩天轮建 筑 物之一,同时也成为北京的又一标志性的现代人文景观旅游建筑。 与云霄飞车、旋转木马合称为“乐园三宝”的摩天轮是一种大型转 轮状的机械建筑设施,供乘客乘搭的座舱挂在轮边缘。 乘客坐在摩天 轮的座舱中慢慢的往上转,可以从高处俯瞰四周景色。 最常见到摩天 轮存在的场合是游乐园,作为一种游乐场机动游戏。 现在越来越多的 城市通过开发含有摩天轮的游乐园来吸引游客来观光旅游,以此推广 城市名片和发展当地经济。 2 摩天轮直径与轿厢数量的数学边界问题的重要意义 如果要设立摩天轮项目,作为游乐园的经营者首要要考虑的是要 制造一个能容纳多少游客数量的摩天轮。 这个问题要综合考虑,比如 游乐园的日游客量、在中等速度运行下每小时完成乘坐摩天轮的游客 数量、 摩天轮的项目投入与收益比以及游乐园在未来的发展预期等 等。 对于摩天轮的设计单位,要对游乐园经营者提出的各种要求作全 面细致的了解与研究。 首先,要根据现阶段和未来预期的游客吞吐量 来设计摩天轮的轿厢容量及轿厢的数量,这里重点是要确定轿厢的数 量;其次,要根据轿厢的数量来决定摩天轮的圆塔直径大小。 在轿厢数量确定情况下,圆塔直径越小制造成本越低。 反之如果 圆塔直径一定的情况下,能够安装越多的轿厢就能给游乐园带来最大 的收益。那么摩天轮直径与轿厢数量的数学边界问题的研究就显得至 关重要了。 图 1.3 轿厢干涉边界示意图 图 1.4 干涉边界几何关系图 本文仅以第一象限为例做简要分析,图 1.3 中轿厢 1、2 分 别 悬 挂 于 圆 心 为 O、半 径 为 R 的 圆 塔 圆 周 上 ,悬 挂 点 为 A、B 两 点 ,则 OA 与 OB 所形成的夹角 α 即为轿厢发生干涉的临界角。 由此可知当摩天轮 圆塔周围悬挂轿厢之间的夹角 θ 大于 α 时,相邻轿厢不会发生干涉现 象。 反之,出现干涉区域。 下面通过几何关系分析干涉临界角 α 的相 关情况: 图 1.4 为干涉边界几何关 系 ,在 AOB 中∠AOB 即 为 角 α。 OE 为 △AOB 的垂直平分线,∠EOB 为 β 角,则 α=2β。 在直角△OEB 中: 由 sinβ= EB 可得 β=arcsin EB (1) OB OB 在 直 角 △ADB 中 ,AB= 姨AD2 2 +DB ,其中 AD 即为轿厢壁高 AD= hm,DB 为轿厢宽度 DB=Bm, 则 AB= 姨B2 2 +h , 由此可得 EB= AB = 2 姨2 2 B +h ,OB 为 R。 代入(1)式可得: 2 β=arcsin EB =arcsin 姨2 2 B +h (2) OB 2R 由 (2 ) 式 可 得 α=2β=2arcsin 姨2 2 B +h (3) 2R 若使相邻轿厢无干涉现象,摩天轮圆塔周围悬挂轿厢之间的夹角 θ>α,对应于圆周均布轿厢个数 N 应满足下列关系: 626 科技信息 ○机械与电子○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2012 年 第 35 期 N= 360° < 180° (4) θ arcsin 姨2 2 B +h 2R 由 (4)式 可 知 轿 厢 数 量 N 与 圆 塔 半 径 R 之 间 的 关 系 ,在 轿 厢 尺 寸不变的情况下只要满足此关系式,轿厢就不会发生在 C 点干涉现 象。 由上述分析可知: 姨 当 α′<α 时 ,即 h> 2 H - 3 2

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