第四章实数指数幂教案(共3课时)

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4.1 根式及分数指数幂(第一课时)

备课人:林友东 窦健
教学目标:掌握根式的概念和性质,灵活应用。 教学难点:根式的概念. 教学环节 课题引入 教学内容 教师活动 学生 生尝试求解并回答。 是函数,y=2^x y= =(1/2)^x + x∈N 生答:正整数指数幂 即一个数 a 的 n 次幂 等于 n 个 a 连乘积。

折纸:一张纸厚度为 这是函数吗? 1,对折次数为 1、2、 3……x 则 纸 的 厚 度 为 y,用 x 表示 y?面 今天研究这样的函数 积 s 用 x 如何表示? 板书课题 板书 an=

复习提问

n 次方根定义引出

1、4 的平方根? -27 的立方根? 2、若 X^4=a X^5=a X^n=a(a>0)

X^2=a ,x 叫 a 平方根。 ∵(±2)^2=4 ∴4 的平方根±2 X^3=a ,x 叫 a 立方根。 ∵(-3)^3=27 ∴27 的立方根-3 生归纳 n 次方根定义 师板书定义 用彩粉笔圈划名称 小结:一个数有无 n 次方根一定考虑被开 方数是正数还是负 数,还要分为奇数和 偶数。 生认识 式子 n a 叫做根式, 这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数

一、n 次方根定义

一 般 地 , 如 果

x n ? a ,那么 x 叫做

a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *.

注解:1、 a 为正数 (1) 当 n 是奇数时,a 的 n 次方根有一个,为 n a (2) 当 n 是偶数时,a 的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数,为± n a 2、 a 为负数 (1)当 n 是奇数时,a 的 n 次方根有一个,为 n a 。 (2)当 n 是偶数时,a 的 n 次方根不存在。

1

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注解 2:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0

教学环节 二、n 次方根性质

教学内容 思考: (课本 P58 探究问题) n a n = a 一定成立吗?.

教师活动 结论:当 n 是奇数时,
n

学生 学生活动:通过一组 实例计算得出结论

an ? a
当 n 是偶数时,

n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

偶数时化简得到结果先取绝对 值,再去掉绝对值这样避免出 错。

三例题讲解

例 1. (教材 P58 例 1) . 解: (略)

问:找一找结果的指数,被 开方数的指数, 根指数得到 他们有什么关系? 由正整数指数幂运算性质 推广到整数指数幂运算性 质仍成立。

请学生计算、思考并 讨论

整数指数幂运算性质

a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a mn ( ab) n ? a n b n
其中 m、n∈Z

四、巩固练习:

小结:回顾本节,根式知识,用什么方法?你有什么收获? 繁为简的目的,对含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 一、作业布置 P35 1
2

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4.1 分数指数幂的运算和性质(第二课时)
备课人:林友东 窦健

教学目的: (1)规定分数指数幂的意义; (2)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (3)理解有理指数幂的含义及其运算性质; (4)了解无理数指数幂的意义 教学重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质 教学难点:根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 教学环节 引入分数指数幂 正数的正指数幂 的意义的理解 正数的分数指数幂的意义 规定: 教学内容 教师活动 学生

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

m n

正数的负指数幂 的意义的理解

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的 负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数 幂的意义后,指数的概 念就从整数指数推广到 了有理数指数,那么整 数指数幂的运算性质也 同样可以推广到有理数 指数幂

3

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有理指数幂 的运算性质

(1) a · a ? a
r r

r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ;
(2) (a r ) s ? a rs

(a ? 0, r , s ? Q) ;
(3) (ab) r ? a r a s

(a ? 0, b ? 0, r ? Q)
例 2. (教材) 说明:让学生熟练 掌握根式与分数指 数幂的互化和有理 指数幂的运算性质 运用. 巩固练习: 无理指数幂 结合教材 P62 实例利用逼近 的思想理解无理指数幂的意 义.

指出:一般地,无理数 指 数 幂

a? (a ? 0,?是无理数)
是一个确定的实数.有 理数指数幂的运算性质 同样适用于无理数指数 幂. 巩固练习思考: (教材 P35 练习 1)

二、 归纳小结,强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算,分数指数幂是根式的另一种表示形式,根式 与分数指数幂可以进行互化.在进行指数幂的运算时,一般地,化指数为正指数,化根式为分数指 数幂,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化 繁为简的目的,对含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 三、作业布置 教材 P35 习题 2 3.

4

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4.2 实数指数幂运算
备课人: 林友东 窦健

实数指数幂及其运算法则 教 学 内 容

共 几 课 时 第 几 课 时







学 习 目 标 重 难 点 点

识记并熟悉实数指数幂的运算性质;会运用实数指数幂的运算性质进行简单的实数指数幂 的运算。

实数指数幂的运算性质,实数指数幂的运算性质综合应用与综合运算 课本

资 源 选 择 预 习 设 计

学 生 活 动 设 计 活动一:回顾初中学过的整数指数幂的运算性质: 1、填空: (m,n∈Z) ①a ?a ?
m n

教 师 导 学 设 计 一.复习引入 用多媒体展示并显 示答案,目的复习整 数指数幂的运算性 质利于填下表 。

教学反思或 修改意见

;2 ?2 ?
1 2

=





am ? an

(m>n,a≠0) ; ; (2 2 ) 3 ? ; (2 ? 3) 2 ?

23 ? 22
= =

=

③ (a m ) n ? ④ (ab) m ? ⑤( ) ?
n

。 。 = 。 二.新授 分组填表,培养合作 学习能力。
1 2
1 1

a b

(b≠0) ;( ) ?
2

2 3

活动二: 第 一 组 结 果 表达式 第 二 组 结 果 表达式 第 三 组 结 果 表达式

3 ?3

1 2

1 2

3

1 1 ? 2 2

(3 )

1 3 6

3

1 ( ?6 ) 3

(4 ? 9)

42 ?92

讨论交流: (1) 、 指数由整数推广到实数范围以后, 整数指数幂的相关性质在实数 范围内适用吗?

5

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(2) 、请你仿照整数指数幂运算性质写出实数指数幂的运算法则: ①、 a ? a = a
? ?
? ??

②、

a? ? ?? =a a?

③、 (a? ) ? = a ?? ④、 (ab)? = a ? b ⑤、 ( ) =
? ?

a b

?

a? b?

三、例题解析, 形成技能

思考交流,巩固新知: 1、求下列各式的值:
1

⑴、 1002 解: 100 = (10 ) ⑵、 8 解: 8
1 ? 2 3
2 3 1 2

2

1 2 =10

?

= (2 3 )
2

?

2 3

=2

2 3?( ? ) 3

=2 =

?2

1 1 = 2 4 2

⑶83 ? 83
1 2 1

解: 8 3 ? 8 3 = 8 3



2 3

=81=8

2、化简下列各式: ⑴、 a3 a
1

解: a3 a = aa3 = a ⑵、 3 3 ? 3 3 ? 6 3

1?

1 3

4

=a3

解: 3 3 ? 3 ? 3 = 3 ? 3 ? 3 ? 3
3 6

1 2

1 3

6

1

=3

1 1 1 1? ? ? 2 3 6

= 3 =9 四、归纳小结,反思提高 同学们,在本节课中你有什么收获与感悟吗? 五、布置作业

2

6

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课堂作业: 书 37 页第 1、2 题

1、求下列各式的值: 课 ⑴、 2
?3

? 16

3 4



⑵、 4 2 ? 4 8

检 检 测 反 馈 设 计 测 2、化简下列各式: 课 后 巩 固 ⑶a ?a
2 3 ? 5 3

⑶2

?3

? 4 5 ? 0.255

⑴ (3x)

?2

x 2 ?2 ⑵( 3 ) y

? a 0 ? a 2 (a≠0)

7

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1

1

⑷ (a 3 b 4 )

实数指数幂及其运算法则
①、 a
?

? a ? = a? ??
=a
? ??

板 书 设 计

②、

a? a?

例题

小结

③、 (a

? ?

)

=a

??

练习

作业

④、 (ab) = a

?

?

? b?

⑤、 (

a ? a? ) = ? b b

8


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