人教版高中数学全套教案导学案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)

§1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容,是正弦 函数和余弦函数图像的继续,本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数 和余弦函数的性质。 【教学目标】
1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有 sin x, cosx 的三角式的
性质;会应用正、余弦的值域来求函数 y ? a sin x ? b(a ? 0) 和函数
y ? a cos2 x ? b cos x ? c (a ? 0) 的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、 提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯.
3. 在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 【教学重点难点】 教学重点:正弦函数和余弦函数的性质。
教学难点:应用正、余弦的定义域、值域来求含有 sin x, cosx 的函数的值域
【学情分析】 知识结构:在函数中我们学习了如何研究函数,对于正弦函数余弦函数图像的学习使学 生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。 心理特征:高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式,并了解了三角函数的周期性, 但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强;能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确 的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质”,初步把握性质的推导。 2.教师的教学准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 【课时安排】1 课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 (一)问题情境 复习:如何作出正弦函数、余弦函数的图象? 生:描点法(几何法、五点法),图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入:研究一个函数的性质从哪几个方面考虑?
生:定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 提出本节课学习目标——定义域与值域

(二)探索研究 给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察,并思考下列问题:
1.定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R (或 (??,??) ).
2.值域 (1)值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,
所以| sin x |? 1,| cosx |? 1, 即 ?1 ? sin x ? 1,?1 ? cosx ? 1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[?1,1] .
(2)最值
正弦函数 y ? sin x, x ? R ①当且仅当 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时,取得最大值1
2 ②当且仅当 x ? ? ? ? 2k? , k ? Z 时,取得最小值 ?1
2 余弦函数 y ? cosx, x ? R ①当且仅当 x ? 2k? , k ? Z 时,取得最大值1 ②当且仅当 x ? 2k? ? ? , k ? Z 时,取得最小值 ?1
3.周期性
由 sin(x ? 2k? ) ? sin x,cos(x ? 2k? ) ? cosx,(k ? Z) 知:
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f (x ? T ) ? f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知, 2? ,4? ,?,?2? ,?4? ,?,2k? (k ? Z, k ? 0) 都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数 f (x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数, 2k? ?k ? Z, k ? 0? 都是它的 周期,最小正周期是 2? .
4.奇偶性

由 sin(?x) ? ?sin x, cos(?x) ? cosx 可知: y ? sin x ( x ? R )为奇函数,其图象关于原点 O 对称
y ? cosx ( x ? R )为偶函数,其图象关于 y 轴对称

5.对称性

正弦函数 y ? sin x(x ? R) 的对称中心是 ?k?,0??k ?Z ? ,

对称轴是直线 x ? k? ? ? ?k ? Z ? ;
2

余弦函数

y

?

cos

x(x ?

R)

的对称中心是

? ??

k?

?

? 2

,

0

? ??

?

k

?

Z

?

,

对称轴是直线 x ? k? ?k ?Z ?

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与

x 轴(中轴线)的交点).

6.单调性
从 y ? sin x, x ?[? ? , ? ? ] 的图象上可看出: 22
当 x ?[? ? , ? ]时,曲线逐渐上升, sin x 的值由 ?1增大到1 22
当 x ?[? , ? ? ] 时,曲线逐渐下降, sin x 的值由1减小到 ?1 22

结合上述周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间[? ? ? 2k? , ? ? 2k? ](k ? Z ) 上都是增函数,其值从 ?1增大

2

2

到1;在每一个闭区间[? ? 2k? , ? ? ? 2k? ](k ? Z ) 上都是减函数,其值从1减小到 ?1.

2

2

余弦函数在每一个闭区间[2k? ? ? ,2k? ](k ? Z ) 上都是增函数,其值从 ?1增加到1;余

弦函数在每一个闭区间[2k? ,2k? ? ? ](k ? Z ) 上都是减函数,其值从1减小到 ?1.

三、例题分析

例 1、求函数 y=sin(2x+ ? )的单调增区间.
3

解析:求函数的单调增区间时,应把三角函数符后面的角看成一个整体,采用换元的方

法,化归到正、余弦函数的单调性.

解:令 z=2x+ ? ,函数 y=sinz 的单调增区间为[ ? ? ?2k? , ? ? 2k? ].

3

2

2

由 ? ? ?2k? ≤2x+ ? ≤ ? ? 2k? 得 ? 5? ? k? ≤x≤ ? ? k?

2

32

12

12

故函数 y=sinz 的单调增区间为 [ ? 5? ? k? , ? ? k? ](k∈Z)

12

12

点评:“整体思想”解题

变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ ? )的单调增区间
3

解:令 z=-2x+ ? ,函数 y=sinz 的单调减区间为[ ? ?2k? , 3? ? 2k? ]

3

2

2

故函数 sin(-2x+ ? )的单调增区间为[ ? 7? ? k? , ? ? ? k? ](k∈Z).

3

12

12

例 2:判断函数 f (x) ? sin( 3 x ? 3? ) 的奇偶性 42

解析:判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,然后再看 f (x) 与 f (?x)

的关系,对(1)用诱导公式化简后,更便于判断.

解:∵ f (x) ? sin( 3 x ? 3? ) = ? cos 3x ,

42

4

∴ f (?x) ? ? cos(? 3x) ? ? cos 3x

4

4

所以函数 f (x) ? sin( 3 x ? 3? ) 为偶函数. 42

点评:判断函数的奇偶性时, 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤.

变式训练 2. f (x) ? lg(sin x ? 1? sin2 x )

解:函数的定义域为 R,

f (? x) ? l g [ s i?nx( ? ) ? 12 sx=i lng(?s]in x ? 1? sin2 x)

= lg(sin x ? 1? sin2 x)?1 = ?lg(sin x ? 1? sin2 x) = ? f (x)

所以函数 f (x) ? lg(sin x ? 1? sin2 x )为奇函数.

例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解析:通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小

解:∵y=sinx 在[ ? ?2k? , 3? ? 2k? ](k∈Z),上是单调减函数,

2

2

又 2500<2600 ∴ sin2500>sin2600

点评:比较同名的三角函数值的大小,找到单 调区间,运用单调性即可,若比较复杂,

先化间;比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值,再进行比较.

变式训练 3. cos 15? 、cos 14?

8

9

解:cos 15? ? cos 14?

8

9

由学生分析,得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结,当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。

课堂小结:

1、数学知识:正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题 2、数学思想方法:数形结合、整体思想。

达标检测: 一、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2x 的奇偶数性为(

).

A. 奇函数

B. 偶函数

C.既奇又偶函数

D.

2.下列函数在[? ,? ] 上是增函数的是( 2

非奇非偶函数 )

A. y=sinx

B. y=cosx

C. y=sin2x

D. y=cos2x

? 3.下列四个函数中,既是 ??

0,

? 2

? ??

上的增函数,又是以 ?

为周期的偶函数的是(

).

A. y ? sin x

B. y ? sin 2x

C. y ? cos x

D. y ? cos 2x

二、填空题

4.把下列各等式成立的序写在后面的横线上。

① cos x ? 2

② 2sin x ? 3 ③ sin2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos2 x ? 0.5

__________________________________________________________

5.不等式 sin x ≥ ? 2 的解集是______________________.
2 三、解答题

6.求出数 y ? sin x
参考答案:1、A

? ??

? ?1x 32、2D

? ??

,

x ???2?
3、A

,

2? ? 的单调递增区间.
4、④

5、[? ? ? 2k? ? x ? 5? ? 2k? ]

4

5

六、发导学案、布置预习。

6、[5? , 2? ] 3

如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x ? ? ? 对称,求 a 的值. 8

七、板书设计

正弦函数和余弦函数的性质

一、正弦函数的性质

例1

二、余弦函数的性质

例2

定义域、值域、单调、奇偶、周期对称

例3

八、教学反思

(1)根据学生学习知识的发展过程,在推导性质的过程中让学生自己先独思考,然后小

组交流,再来纠正学生错误结论,充分体现了学生的主体性,让学生活起来。

(2)关注学生的表达,表现,学生的情感需求,课堂明显就活跃,学生的积极性完全被

调动起来,很多学生想表达自己的想法。这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。

(3)判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的,帮助学生辨析,缩

短认识这些知识的时间,减少再出现类似错误的人数,在学生学习困惑时给与帮助。 九、学案设计(见下页)

§1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
课前预习学案 一、预习目标 探究正弦函数、余弦函数的周期性,周期,最小正周期;会比较三角函数值的大小,会 求三角函数的单调区间. 二、预习内容 1. _____________________________________________________________________ 叫做周期函数,___________________________________________叫这个函数的周期. 2. _____________________________________叫做函数的最小正周期. 3.正弦函数,余弦函数都是周期函数,周期是____________,最小正周期是________. 4. 由 诱 导 公 式 _________________________ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数 . 由 诱 导 公 式
_________________________可知,余弦函数是偶函数.
5.正弦函数图象关于____________________对称,正弦函数是_____________.余弦函数
图象关于________________对称,余弦函数是_____________________.
6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在
每一个闭区间_________________上都是减函数,其值从 1 减少到-1.
7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在
每一个闭区间______________上都是减函数,其值从 1 减少到-1.
8.正弦函数当且仅当 x=___________时,取得最大值 1,当且仅当 x=_________________
时取得最小值-1.
9.余弦函数当且仅当 x=______________时取得最大值 1;当且仅当 x=__________时
取得最小值-1. 10.正弦函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________.
11.余弦函数 y ? cos2x 的周期是___________________________. 12.函数 y=sinx+1 的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x 的最 大值是_____________,最小值是_________________. 13.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量 x 的集合是_________________.

14.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________

sin 4 ? , 三、提5出疑惑

? cos 5 ? ,
4

sin 32 ?, 5

cos 5 ? 12

同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标:会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有 sin x, cosx

的 三 角 式 的 性 质 ; 会 应 用 正 、 余 弦 的 值 域 来 求 函 数 y ? a s inx ? b(a ? 0) 和 函 数

y ? a c o s2 x ? b c o sx ? c (a ? 0) 的值域

学习重难点:正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。 二、学习过程

例 1、求函数 y=sin(2x+ ? )的单调增区间.
3
解:

变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ ? )的单调增区间
3
解:
例 2:判断函数 f (x) ? sin( 3 x ? 3? ) 的奇偶性 42
解:

变式训练 2. f (x) ? lg(sin x ? 1? sin2 x )

解: 例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小

解:

变式训练 3. cos 15? 、cos 14?

8

9

解:

三、反思总结

1、数学知识: 2、数学思想方法:

四、当堂检测 一、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2x 的奇偶数性为(

).

A. 奇函数

B. 偶函数

C.既奇又偶函数

D.

2.下列函数在[? ,? ] 上是增函数的是( 2

非奇非偶函数 )

A. y=sinx

B. y=cosx

C. y=sin2x

D. y=cos2x

3.下列四个函数中,既是

? ??

0,

? 2

? ??

上的增函数,又是以 ?

为周期的偶函数的是(

).

A. y ? sin x

B. y ? sin 2x

C. y ? cos x

D. y ? cos 2x

二、填空题

4.把下列各等式成立的序写在后面的横线上。

① cos x ? 2

② 2sin x ? 3 ③ sin2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos2 x ? 0.5

__________________________________________________________

5.不等式 sin x ≥ ? 2 的解集是______________________.
2 三、解答题

6.求出数

y

?

sin

x

? ??

? 3

?

1 2

x

? ??

,

x

???2?

,

2?

?

的单调递增区间.

一、选择题

课后练习与提高

1.y=sin(x-π3 )的单调增区间是(



A. [kπ-π6 ,kπ+56π ] (k∈Z)

B. [2kπ-6π ,2kπ+56π ](k∈Z)

C. [kπ-76π , kπ-π6 ] (k∈Z)

D. [2kπ-76π ,2kπ-6π ] (k∈Z)

2.下列函数中是奇函数的是( )

A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| D. y=xsin|x| 3.在 (0,2π) 内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是( )

π A .(4

π ,2

)∪( π,

5π 4

)

π B. ( 4 ,π)

π 5π C. ( 4 , 4 )

D.(

π 4

,π)∪(

5π 4

3π ,2

)

二、填空题

4.Cos1,cos2,cos3 的大小关系是______________________.

5.y=sin(3x-π2 )的周期是__________________. 三、解答题 6.求函数 y=cos2x - 4cosx + 3 的最值


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