四川省达州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题

达州市 2015 年普通高中二年级春季期末检测 数学试题(文科)
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1、在复平面内,复数 z ? 2 ? i 对应的点在( A.第一象限 限 2、已知函数 y ? A. ?
1 x 1 的导数为 y? , y? ? ( x

) C.第三象限 D.第四象

B.第二象限

) C. ?
1 x2

B.

1 x

D. ?1

3、顺次列出的规律相同的 20 个数中的前四个数依次是 2 ? 1 ? 1 ,2 ? 2 ? 1 ,2 ? 3 ? 1 ,
2 ? 4 ? 1 ,第 15 个数是(

) B.29 C.16 ) C.增函数 D.减函数 D.31

A.15

4、已知函数 f ? x ? ? sin x , f ? x ? 的导数是( A.偶函数 B.奇函数

5、已知命题 p : 全等三角形面积相等;命题 q : 矩形对角线互相垂直.下面四个结 论中正确的是( A. p ? q 是真命题 ) B. p ? q 是真命题 C. ? p 是真命题 D. ? q 是假命题
f ? x? 是增函数( e ? 2.718281828??? 是自然对 ex

6、 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数,函数

数的底数) , f ? ? x ? 与 f ? x ? 的大小关系是( A. f ? ? x ? ? f ? x ? B. f ? ? x ? ? f ? x ?

) C. f ? ? x ? ? f ? x ? D. f ? ? x ? ? f ? x ? )

7、 “直线 l 垂直于平面 ? 内两直线 a , b ”是“直线 l ? 平面 ? ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 8、已知 f ? x ? ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 2 x ? a ln x 在区间 ? 0, 2 ? 上不单调,实数 a 的取值范围是( 2



A. ? ?2,0? ? ? 0,2?

B. ? ?4,0? ? ? 0,4?

C. ? 0, 2 ?

D.? 0, 4 ? )

9、已知函数 f ? x ? ? ln x , f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导数, f ? ? x ? 的大致图象是(

A.

B.

C.

D. )

10、已知 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数, f ? x ? ? f ? ?1? ? 2x ? x2 , f ? ? 2? ? (
12 ? 8ln 2 A. 1 ? 2 ln 2 2 B. 1 ? 2 ln 2

4 C. D.?2 1 ? 2 ln 2 4 4 4 ? ?? 11、已知 ? ? ? 0, ? ,三个数 sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? 中( ) cos ? tan ? sin ? ? 2?

A.都小于

14 3

B.至少一个大于或等于 D.至多一个大于 5

14 3

C.都大于或等于 4 12、已知 n ? ?? ,且 n ? 1 ,三个数 ln A. C.
1 n ?1 1 ? ln ? n n n ?1 1 1 n ?1 ? ? ln n n ?1 n

n ?1 1 1 、 、 的大小关系是( n n ?1 n



B. ln D.

n ?1 1 1 ? ? n n n ?1

1 1 n ?1 ? ? ln n ?1 n n

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分. ) 13、复数计算:
2 ? 1? i



14、设 y? 是函数 y ? ex ? e? x 的导数,则 y? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15、已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量,命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆命题是 命题(填真或假) . 16 、已知 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ln x ? 是 .
1 在 ?1, ?? ? 上是增函数,实数 a 的取值范围 ax

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分)下表是随机抽取的某市五个地段五种不同户型新电梯房 面积 x (单位:十平方米)和相应的房价 y (单位:万元)统计表: 9 10 13 7 x 11

40 75 70 90 105 ? ? ? 在给定的坐标系中画出散点图;

y

?? ? ?? ? 求用最小二乘法得到的回归直线方程(参考公式和数据: b
5

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n



2 i

? n? x

2

? ?a ? ? bx ? , ? xi yi ? 4010 ) ; y

? ??? ? 请估计该市一面积为 120 m 2 的新电梯房的房价.

i ?1

18、 (本小题满分 12 分)运行如图所示的流程图

; ? ? ? 写出输出 S 的和式(即 S ? a1 ? a2 ? ??? ? an 的形式) . ? ?? ? 求 S 的最后结果(结果保留 2 i 形式的数,不含省略号)

1 1 19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? mx ? n 以 ? 0, a ? 为切点的切线 3 2 方程是 2 x ? y ? 2 ? 0 .

? ? ? 求实数 m , n 的值; ? ?? ? 求函数 f ? x ? 的单调区间; ? ??? ? 求 f ? x ? 的零点个数.

1 2 x2 y 2 x 的焦点 F 在椭圆 ? ?1 4 2 b 1 x2 y 2 ? 1 的左焦 上.命题 q : 直线 l 经过抛物线 y ? x 2 的焦点 F ,且直线 l 过椭圆 ? 4 2 b 点 F1 . p ? q 是真命题.

20、 (本小题满分 12 分)已知命题 p : 抛物线 y ?

? ? ? 求直线 l 的方程; ? ?? ? 直线 l 与抛物线相交于 ? 、 ? ,直线 l1 、 l2 分别切抛物线于 ? 、 ? ,求 l1 、 l2 的

交点 ? 的坐标.

1 21 、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a 3 ln x ? x 2 ? ? a ? a 2 ? x ( a ? R ) , 2 g ? x ? ? 3x2 ln x ? 2x2 ? x .

? ? ? 求证: g ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上单调递增; ? ?? ? 若 a ? 2 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上的最大值为 G ? a? ,求 G ? a? 的解析式,并判 断 G ? a ? 是否有最大值和最小值,请说明理由(参考数据: 0.69 ? ln 2 ? 0.7 ) .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知如图, ? 、 D 是 ? ? 上的点, ? 、 ? 、 C 三点在一条直线上,直线 CD 经过圆 ?? D? ? 心 ? , ?D ? ?C , . ?C DC ? ? ? 求证:直线 ? C 是 ? ? 的切线;

? ?? ? 若 ?? ?

5 , D? ? 2 ,求 ?? 的长.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 x?y 中, 以坐标原点 ? 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 已 ?x ? 4 ? t 知曲线 C1 : ? ( t 为参数) ,曲线 C2 : ? 2 ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 . ? y ? 5 ? 2t ? ? ? 将曲线 C1 化成普通方程,将曲线 C2 化成参数方程;

? ?? ? 判断曲线 C1 和曲线 C2 的位置关系.
24、 (本大题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 3 ? m ( m ? R ) ,不等式 f ? x ? ? 5 的解集为 ? ?4, 2? .

? ? ? 求 m 的值; ? ?? ? 实数 a , b , c 满足 a 2 ?
b2 c 2 ? ? m ,求证: a ? b ? c ? 14 . 4 9

达州市 2015 年高中二年级春季期末检测 数学(文)参考答案及评分细则
一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.D 7.B 8.D 9.C 10.C 11.B 12.A

二、填空题 13. 1 ? i
x ?x 14. e ? e

15.假

16. [1, ??)

三、解答题 17.解: (Ⅰ)散点如图所示:

……………………3 分

(Ⅱ)由表可得: x ? 10 , y ?

1 (40 ? 75 ? 70 ? 90 ? 105) ? 76 ,……………………5 分 5

?x
i ?1

5

2 i

? 72 ? 92 ? 102 ? 112 ? 132 ? 520 ,……………………6 分

4010 ? 5 ?10 ? 76 ? 10.5 ,……………………7 分 520 ? 5 ?102 ∴$ a ? y ?$ bx ? 76 ?10.5?10 ? ?29 ,……………………8 分 b? ∴$
∴所求回归直线方程是 $ y ? 10.5x ? 29 .……………………9 分 (Ⅲ)因回归直线方程是 $ 所以当 x ? 12 时,$ 即该市一面积为 120m2 的 y ? 10.5x ? 29 , y ? 97 , 新电梯房的房价约是 97 万元.……………………12 分 18.解: (Ⅰ)由流程图可得: S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? L ? 100 ? 2
1 2 3 100

.……………5 分

(Ⅱ)∵ S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? L ? 100 ? 2
1 2 3

100



∴ 2S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 99 ? 2
2 3

100

? 100 ? 2 ,……………………7 分
101

两式相减得,

?S ? (21 ? 22 ? L ? 2100 ) ?100 ? 2101 ,……………………9 分 2(1 ? 2100 ) 101 ∴ S ? 100 ? 2 ? ……………………11 分 1? 2 ? 99 ? 2101 ? 2 .……………………12 分 1 3 1 2 19.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ? x ? x ? mx ? n , 3 2
2 ∴ f ( x ) 的定义域是 (??, ??) ,且 f ?( x) ? x ? x ? m .……………………1 分

在切线方程 2 x ? y ? 2 ? 0 中,令 x ? 0 ,得 y ? 2 , 即 a ? 2 .……………………2 分 ∴ n ? f (0) ? 2 .……………………3 分 ∵切线斜率为 f ?(0) ? ?2 , ∴ m ? ?2 .……………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?( x) ? ( x ? 2)( x ? 1) ,……………………5 分 当 x 变化时,函数 f ( x ) 、 f ?( x ) 变化情况如下表:
x

(??, ?2)

?2

(?2,1)
?

1

(1, ??)

f ?( x )
f ( x)

?

0

0

?



极大值



极小值



所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ?2] , [1, ??) ,单调减区间是 [?2,1] .……9 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ∴ f ( x) 极小 ? f (1) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x ? 2 ,……………………10 分 3 2
[

5 ? 0 .……………………11 分 6

又 f (?6) ? ?40 ? 0 ,所以 f ( x) 只有一个零点,即 f ( x) 的零点个数为 1.…………12 分 20.解: (Ⅰ)抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为 F (0,1) ,……………………1 分 4

x2 y2 ? ? 1 得, b ? 1.……………………2 分 ∵ p ? q 是真命题,∴将 F (0,1) 代入 2 b
∴椭圆方程是

x2 ? y 2 ? 1 ,它的左焦点是 F1 (?1,0) .……………………3 分 2

∴直线 l 的方程是 y ? x ? 1 .……………………5 分

? x2 y ? , ? (Ⅱ)不妨假定点 A 在第二象限,由方程组 ? 得 A(2 ? 2 2,3 ? 2 2) , 4 ? y ? x ? 1. ?

B(2 ? 2 2,3 ? 2 2) .……………………7 分
由y?

1 1 2 x 得, y? ? x ,所以直线 l1 、 l2 的斜率分别是 1 ? 2 、 1 ? 2 ,…………9 分 2 4

∴ l1 、 l2 的方程分别是 y ? (3 ? 2 2) ? (1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) 、 y ? (3 ? 2 2) ?

(1 ? 2)( x ? 2 ? 2 2) .……………………10 分

解两个方程构成的方程组得 P(2, ?1) .……………………12 分 21.(Ⅰ)证明:∵ g ( x) ? 3x2 ln x ? 2x2 ? x , ∴ g ?( x) ? 6 x ln x ? x ? 1 ,… …………………1 分 设 h( x) ? 6 x ln x ? x ? 1,则 h?( x) ? 6ln x ? 5 ,……………………2 分 ∴当 2 ? x ? 4 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在区间 (2, 4) 上单调递增.……… ……………3 分 ∵ h(2) ? 3(4ln 2 ? 1) ? 0 , ∴当 2 ? x ? 4 时, h( x) ? h(2) ? 0 . ∴ g ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递增.……………………4 分 (Ⅱ)∵ f ( x) ? a ln x ?
3

1 2 x ? ( a ? a 2 ) x (a ? R ) , 2

∴ f ( x) 的定义域是 (0, ??) ,且 f ?( x) ? ……………………6 分 ∵ a ≥ 2 ,∴ a ? a ,
2

a3 ( x ? a)( x ? a 2 ) 2 ? ? x ? (a ? a ) ,即 f ( x) ? . x x

当 x 变化时, f ( x) 、 f ?( x ) 变化情况如下表:
x

(0, a )
?

a

(a, a 2 )
?

a2

(a2 , ??)
?

f ?( x )
f ( x)

0

0



极大



[来源:学科网]

极小



……………………7 分
2 ∴当 2 ? a ? 4 时, a ? 4 , f ( x) 在区间 [2, 4] 上的最大值是 f (a) ? a3 ln a ? a3 ?

1 2 a . 2

当 a ? 4 时, f ( x) 在区间 [2, 4] 上的最大值为 f (4) ? 2a3 ln 2 ? 4a2 ? 4a ? 8 .



1 2 ? 3 3 ? a ln a ? a ? a (2 ? a ? 4), G (a) ? ? ……………………9 分 2 3 2 ? ?2a ln 2 ? 4a ? 4a ? 8(a ? 4).
2 2

⑴当 2 ? a ? 4 时, G?(a) ? 3a ln a ? 2a ? a . 由(Ⅰ)知, G ?( a ) 在 (2, 4) 上单调递增. 又 G?(2) ? 2(6ln 2 ? 5) ? 0 , G?(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 ,

∴存在唯一 a0 ? (2, 4) ,使得 G?(a0 ) ? 0 ,且当 2 ? a ? a0 时, G?(a) ? 0 , G ( a ) 单调 递减, 当 a0 ? a ? 4 时 G?(a) ? 0 , G ( a ) 单调递增. ∴当 2 ? a ? 4 时, G ( a ) 有最小值 G(a0 ) .……………………10 分
2 ⑵当 a ? 4 时, G?(a) ? 6a ln 2 ? 8a ? 4 ? 6 ln 2( a ?

2 2 8 ) ? ?4, 3ln 2 3ln 2

∴ G ?( a ) 在 (4, ??) 单调递增. 又 G?(4) ? 12(8ln 2 ? 3) ? 0 , ∴当 a ? 4 时, G?(a) ? 0 . ∴ G ( a ) 在 (4, ??) 上单调递增.……………………11 分 综合 ⑴⑵及 G ( a ) 解析式可知, G ( a ) 有最小值,没有最大 值.……………………12 分 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:延长 BD 到 E ,使 DE ? DC ,连结 CE 、 AD 、 AO . ∴ ?3 ? ?E , ?4 ? ?2 .………………………1 分

BA DB BA DB ,∴ , ? ? AC DC AC DE ∴ AD ∥ CE . ………………………2 分 ∴? 1 ? ?E , ?2 ? ?3 , ∴? 1 ? ?2 .……… ………………3 分 ∴? 1 ? ?4 . ∴ BD ∥ AO .………………………4 分
∵ ∵ BD ? BC , ∴ AO ? BC ,………………………5 分 所以直线 BC 是 e O 的切线.………………………6 分 (Ⅱ)延长 BO 交 e O 于 F ,设 BO 交 e O 于 G . 由(Ⅰ)得 AB ? BG ? BF ? (BO ? DO)(BO ? DO) ,
2

………………………8 分 ∵ AB ? 5 , DO ? 2 , ∴ ( 5) ? BO ? 2 ,………………………9 分
2 2 2

解得, BO ? 3 .………………………10 分 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:(Ⅰ)∵ ?

? x ? 4 ? t, ,∴ t ? x ? 4 , ? y ? 5 ? 2t.

代入 y ? 5 ? 2t 得, y ? 5 ? 2( x ? 4) ,即 y ? 2 x ? 3 . ∴曲线 C1 的普通方程是 y ? 2 x ? 3 .………………………2 分 将? ?

x2 ? y 2 , ? cos ? ? x , ? sin ? ? y 代入曲线 C 2 的方程

? 2 ? 6? cos? ?10? sin ? ? 9 ? 0 ,得
x2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 9 ? 0 ,………………………4 分


( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 25 .………………………5 分

设 x ? 3 ? 5cos ? , y ? 5 ? 5sin ? 得 曲 线 C 2 的 参 数 方 程 : ? 数)………………………6 分

? x ? 3 ? 5cos ? , ( ? 为参 ? y ? 5 ? 5sin ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线 C1 是经过点 P(4,5) 的直线,曲线 C 2 是以 O?(3,5) 为圆心半径为 r ? 5 的 圆.………………………7 分 ∵ PO? ? 1 ? r ,………………………8 分 ∴点 P(4,5) 在曲线 C 2 内,………………………9 分 ∴曲线 C1 和曲线 C 2 相交.………………………10 分 24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)解:∵ f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 ? m ,

??2 x ? 2 ? m( x ? ?3), ? ∴ f ( x) ? ?4 ? m(?3 ? x ? 1), ?2 x ? 2 ? m( x ? 1). ?
当 x ? ?3 时,由不等式 ?2 x ? 2 ? m ? 5 得, x ? ?

m?7 .………………………2 分 2

当 ?3 ? x ? 1 时, 4 ? m ? 5 .………………………3 分 当 x ? 1 时,由不等 式 2 x ? 2 ? m ? 5 得, x ? ∵不等式 f ( x) ? 5 的解集为 (?4, 2) , ∴ ?x ?

3? m .………………………4 分 2

? ?

m?7 3? m? ?x? ? ? x ?4 ? x ? 2? , 2 2 ?

?

∴ m ? 1 .………………………6 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, a ?
2

b2 c2 ? ? 1 ,………………………7 分 4 9
b c ? 3 ? ) 2 ………………………8 分 2 3

∴ (a ? b ? c) ? (1? a ? 2 ?
2

? (12 ? 22 ? 32 )(a 2 ?

b2 c2 ? ) ………………………9 分 4 9

? 14 .
∴ a ? b ? c ≤ 14 .………………………10 分
[来源:学科网 ZXXK]


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